解一元二次方程优秀公开课PPT(比赛课)
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2
2
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
ax bx c 0 (a≠0)
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 配方，得
b c x x 0 a a
2
b c x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
0
，
Biblioteka Baidu△>0时，方程 ax bx c 0
2
(a≠0)
的实根可写为
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
一般地,对于一元二次方程 2 ax +bx+c=0(a≠0)
b b 4 ac 2 x . b 4 ac 0 . 2a
复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法
形如ax² +bx+c=0(其中a,b,c是 常数，a≠0)叫做一元二次方程
称：a为二次项系数，
ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
例1 下列方程哪些是一元二次方程?
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－ 8＝ 0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
2
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
0
－4
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法 公式法
配方法 因式分解法
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
2
用配方法解一元二次方程的方法的助手: 平方根的意义: 如果x2 = a, 那么x=
a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
你能说出每一种解法的特点吗?
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
这种方法称为直接开平方法。
方程的左边是完全平方式,右边是非
负数;即形如x2=a(a≥0)
x a x1 a,x 2 a
2 例1、x －4=0
解：原方程可变形为
2 X
=4
∴ x1=-2 ,x2=2
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解 : a 5 , b 4 , c 1 2
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49 两边开平方，得：3x -2=±7
2 7 所以：x= 3 5 所以x1=3， x2= 3
归纳：直接开平方法的 特点：
2 形如x =a
2
(a≥0)
或（mx n） a(a 0)
2 x +6x-7=0
什么是配方法？ 平方根的意义？
“配方法”解方程的基本步骤 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方; 2 4.变形:化成 ( x + m ) = a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x － －
3x － 1 ＝ 0
2 y (4) － 2 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
2
x1 1
x2 7
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
2
13 x 2 2 26 x2 2
2
26 26 x1 2 x2 2 2 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
b b
x x
1
b
2
4ac 4ac
2a
b
2
2
2a
即
2 b b 4ac x 2a 2 4a
2
2
因为a≠0,所以4 a >0
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2
2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac 即 x ＝0 2a 2a
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
2
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
ax bx c 0 (a≠0)
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 配方，得
b c x x 0 a a
2
b c x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
0
，
Biblioteka Baidu△>0时，方程 ax bx c 0
2
(a≠0)
的实根可写为
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
一般地,对于一元二次方程 2 ax +bx+c=0(a≠0)
b b 4 ac 2 x . b 4 ac 0 . 2a
复习回顾： 1、一元二次方程的形式 2、二次项、二次项系数 3、一次项、一次项系数 4、常数项 5、一元二次方程的解法
形如ax² +bx+c=0(其中a,b,c是 常数，a≠0)叫做一元二次方程
称：a为二次项系数，
ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
例1 下列方程哪些是一元二次方程?
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－ 8＝ 0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
2
－7x2 ＋4＝0 或－ －7x 7 2 ＋0 x＋4＝0 －7 或7x2 － 4＝0 7
0
－4
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法 公式法
配方法 因式分解法
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
2
用配方法解一元二次方程的方法的助手: 平方根的意义: 如果x2 = a, 那么x=
a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
你能说出每一种解法的特点吗?
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
这种方法称为直接开平方法。
方程的左边是完全平方式,右边是非
负数;即形如x2=a(a≥0)
x a x1 a,x 2 a
2 例1、x －4=0
解：原方程可变形为
2 X
=4
∴ x1=-2 ,x2=2
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解 : a 5 , b 4 , c 1 2
例2、（3x -2）²- 49=0
解：移项，得：（3x-2）²=49 两边开平方，得：3x -2=±7
2 7 所以：x= 3 5 所以x1=3， x2= 3
归纳：直接开平方法的 特点：
2 形如x =a
2
(a≥0)
或（mx n） a(a 0)
2 x +6x-7=0
什么是配方法？ 平方根的意义？
“配方法”解方程的基本步骤 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方; 2 4.变形:化成 ( x + m ) = a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x － －
3x － 1 ＝ 0
2 y (4) － 2 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 一次项 系 数 系 数 常数 项
2
x1 1
x2 7
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
2
13 x 2 2 26 x2 2
2
26 26 x1 2 x2 2 2 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
b b
x x
1
b
2
4ac 4ac
2a
b
2
2
2a
即
2 b b 4ac x 2a 2 4a
2
2
因为a≠0,所以4 a >0
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2
2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac 即 x ＝0 2a 2a
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a