再议二次函数中的数学思想

初中数学教学的思想方法浅议
湖北省仙桃市西流河二中刘中树
摘要：数学思想方法是数学的精髓，在初中数学新课程标准中已把它列入基础知识的范畴.数学思想方法是学生获取知识、解决问题、建立合理而又迅速的思维结构的有效工具，是把数学知识、技能转化为数学能力的纽带.突出数学思想方法教学，是当代数学教育的必然要求也是数学素质教育的重要体现
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关键词：数学思想数形结合图形变换分类讨论数学建模化归思想
思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

常见的数学四大思想为：函数与、转化与化归、分类讨论、。

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.数学思想是数学的灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在数学教学中应对数学思想进行有效的渗透；所谓思想方法，就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。

或者说思想方法就是那些颠扑不破思维产物。

所谓数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。

是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用的来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用的方程来精确地阐明曲线的性质。

先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力.
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是
充分或必要的，要对结论进行等价方法的特点是具有灵活性和。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、、、求值求范围问题等等，都体现了等价，我们更是经常在、、之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考、中考，等价无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行
化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法.化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解.实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等.这是运用化归思想解题的真谛.随着问题的解决，认知的不断拓展，促进了知识的正迁移.
四、运用分类讨论思想，揭示事物变化规律。

分类讨论是一种重要的数学思想，在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考、高考试题中占有重要的位置。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

例4、已知抛物线y=x-x+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，得到△ABC，试根据m的取值范围把△ABC按角分类.
分析：该题可先从图形的位置的不同分为两类：抛物线与x轴的交点在x轴的同侧，该三角形为钝角三角形；抛物线与x轴的交点在X轴的两侧时，再分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类考虑.这时可以直角三角形为突破口，若△ABC为直角三角形，则OA•OB=OC，由此得到若△ABC为钝角三角形，则OA•
OB>OC，若△ABC为锐角三角形，则OA•OB<OC,从而推出m的取值范围(当m=-1时，△ABC为直角三角形；当m<-1时，△ABC为锐角三角形；当-1<m<0或0<m<时，△ABC为钝角三角形).
这道例题并不是一次分类就可完成的，需要逐级分类且在分类中应用了由特殊推广到一般的分类方法，具有一定的代表性.
五、运用数学建模思想，提高解决问题能力.
数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，所谓的建模思想就是找到一种解决问题的数学方法.初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等.
例5、行使中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140千米/时），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（千米/时）0 10 20 30 40 50 60
刹车距离（米）0
（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点；
（2）观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5米，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
分析：我们可以在直角坐标系中画出相应的点.我们发现这是抛物线的某一段图象，且图象经过原点.可以设该抛物线的解析式：y=ax ,(0≤x≤140); 把表中任一组数据代入，不难得出a=×10 , ∴y=×10 x
那么如何判断该车是超速行驶还是正常行驶？因为现场测得刹车距离46.5 米，从而计算此时得车速.
∵y=×10 x ∴当y=46.5米= 0.0465千米时，x≈145千米/时
∵145＞140 ，∴超速.
或: 因为该型号车速不超过140千米/时，∴y=×10 x =×10 ×140 =(千米)=45.12米＜46.5米，∴超速.
关于这类问题，应先从图象上估计函数的类型，即建立数学模型,再解决实际问题.
总之，在日常教学中要根植于课本，着眼于提高，注意数学思想方法的渗透和强化，这将有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，有助于提高学生的数学能力和数学水平，从而有助于培养学生良好的思维品质，从而尽快适应高中阶段的学习.
数学认识的一般性与特殊性
数学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发展过程遵循实践——认识——再实践的认识路线。

但是，数学对象（量）的特殊性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认识方法和理论形式。

由此产生数学认识论的特有问题。

数学认识的一般性
认识论是研究认识的本质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。

数学作为对客观事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践——认识——再实践这一辩证唯物论的认识路线。

事实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。

最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量，这已是不争的历史事实。

数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，归纳或概括出新的、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后，便形成的新问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套经验知识。

这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分支学科的产生，例如，17世纪的。

由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。

这时的数学经验知识是零散的感性认识，概念尚不精确，有时甚至导致推理上的矛盾。

因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升为有条理的、系统的理论知识。

数学知识由经验知识形态上升为理论形态后，数学家又把它应用于实践，解决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展。

同时，社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想，产生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。

由此可见，数学作为一种认识，与其他科学认识一样，遵循着感性具体——理性抽象——理性具体的辩证认识过程。

这就是数学认识的一般性。

数学认识的特殊性
科学的区分在于研究对象的特殊性。

数学研究对象的特殊性就在于，它是研究事物的量的规定性，而不研究事物的质的规定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不见的，只能用思维来把握，而思维有其自身的逻辑规律。

所以数学对象的特殊性决定了数学认识方法的特殊性。

这种特殊性表现在数学知识由经验形态上升为理论形态的特有的认识方法——法或，以及由此产生的特有的理论形态——公理系统和。

因此，它不能像自然科学那样仅仅使用观察、归纳和实验的方法，还必须应用。

同时，作为对数学经验知识概括的系统，是否正确地反映经验知识呢？数学家解决这个问题与不尽相同。

特别是，他们不是被动地等待实践的裁决，而是主动地应用研究系统应该满足的性质：无矛盾性、完全性和公理
的独立性。

为此，数学家进一步把公理系统抽象为形式系统。

因此，是数学认识特殊性的表现。