等差数列的前n相和

n个 2Sn （a1 an ) （a1 an ) （a1 an )
n（a1 an )
Sn
n（a1 2
an )
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1 2
an )
an a1 ( n 1)d
Sn
na1
n（n 2
1)
d
例 例1 等差数列－10，－6，－2，
···
···
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是： 101×50＝5050．
问题 1:
1+2+3+···+100=？
S100 = 1+2+3+ ···+100
= 101×50 = 5050
=(1+100)
100
×
2
(a1 a )100 ·100 2
问题 2
一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一
32
32.
14.5 0.7
1
26,
26 (14.5 32)
S26
2
604.5.
1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1) Sn na1 2 d
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
想
一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
题 2，·······前多少项和是54 ？
解: 设题中的等差数列为{an},
解
则 设
a1= Sn=
-10，d= 54,
-6-(-10)=4. Sn
na1
n（n 2
源自文库
1)
d
析
10n n(n 1) ·4 54
得
2
n2-6n-27=0
得
n1=9, n2=-3(舍去）。
因此等差数列 －10，－6，－2，2，
课 堂 小 练
S 根据下列条件，求相应的等差数列 an 的 n
(1)a1 5, an 95, n 10;
解：S10
10 (5 2
95)
500.
(2)a1 100, d 2, n 50;
解： 5（ 0 50 1)
S50 50 100
2
(2) 2550
解： (3)a1由d14.5an,nd1a10.7,nan
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
课后作业：
课本P52习题2.3A1，2， 选做题 Ｂ１，２
支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这 样一层一层地往上放．最上面一层放120支．求这 个V形架上共放着多少支铅笔？
怎么计算呢？
想：探求三角形面积情景 先补后分
怎么计算呢？
S120 =1+2+3+ ······+120
120
= 121 · = 7260
2 120
= (1 + 120 ) · 2
由等差数列 a1, a2 , , an 的前n项和
任意的第K项与S倒n a1 a2 an
数第K项的和等于 首项、末项的和
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ] Sn an (an d ) (an 2d ) [an (n 1)d ]
120 (a1 a )120 ·
2
猜测
问题 1: S100 = 1+2+ ······+100
100 (a1 a ) 100 ·
2
问题 2:
S120=1+2+ ······+12
0
120
(a1 a ) 120 ·
2
? Sn=a1+a2+······+a
n
n
Sn (a1 an)·
2
等差数列的前n项和公式的推导
卢勇强 20090241151
思考
从小我们就开始读书，假设读小学一年级 时用了3000元，而每读一年就要多用1000 元，如今已经读高二了，那一共用了多少 钱呢？
问题 1:
1+2+3+······+100=？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
·······前9项和是54。
例 例２ 为备战2008年奥运会，“世界飞人”刘翔
的主教练孙海平制定了8月1日至7日的训
题 练计划：每天的训练量(110米栏训练次数)如 下表：
解 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 训练量 20 22 24 26 28 30 32
析 试求刘翔七天的训练量的总和 解：a1=20 a7=32 S7=7× (20+32) ÷2=182 所以刘翔七天的训练量的总和为182米．