几何与代数-二次型

第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
“求x=Py, 使 xTAx 化为标准形 yTy”
“求可逆阵P, 使PTAP = 对角阵”
“将实对称矩阵A进行合同对角化”
如何进行？
正交合同对角化 (正交相似对角化)
配方法
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.1. n阶实对称矩阵A与对角阵合同.
第5章 二次型与二次曲面
第1节 二次型
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
二次曲线ax2+bxy+cy2 =1
源自文库
m(x')2+n(y')2=1
x x cos y sin
y
x sin
y cos
xy = 1 y
= /4
y
y
x2 y2 1
22
x
O x
O x
第六章 二次型与二次曲面
13x2 -10xy + 13y2 = 72
就是A的对应的n个单位正交特征向量.
正交变换下的标准形
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例2. 求二次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 在条件x12+x22+x32 = 1下的最大, 最小值.
3 12 解: f 的矩阵A = 1 3 2 ,
2 2 0
|E–A| = (–4)2(+2).
y2 …
0 0 … kn yn
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
寻求可逆的线性变换x = Py, 使得
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y)
寻求可逆矩阵P, 使得
k1 0 … 0
PTAP =
0 k2 ……
…0 ……
0 0 … kn
第六章 二次型与二次曲面
1 = [1, 0, 1]T, 2 = [0, 1, 0]T, 3 =(1, 0, –1)T.
它们是两两正交的.
第六章 二次型与二次曲面
把它们单位化可得正交矩阵
§6.1 二次型
12 0 12 Q= 0 1 0 ,
1 2 0 1 2 令x = Qy, 得该二次型的标准形为
f = xTAx = (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1
Q-1AQ=
n
Q为正交阵,
QT = Q-1
第六章 二次型与二次曲面
例1. 用正交变换将二次型
§6.1 二次型
f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.
1 0 1 解: f 的矩阵A = 0 1 0 ,
1 0 1
|E–A| = (–1)(–2).
所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(E–A)x = 求得对应的特征向量
a′x′2+c′y′2
注：可逆线性变换不改变原先图形的基本特征； 若是正交线性变换，则不改变原先图形的形状。
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
n元实二次型
f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2
+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn
000
= yT 0 1 0 y = y22 +2y32.
002
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 用正交变换化实二次型为标准形
定理6.2. (主轴定理)对于任何一个n元实二次型
f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的n个特征值, Q的列向量
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
y
= /4
y
§6.1 二次型
x2 y2 1
94
y
x
O x
O x
第六章 二次型与二次曲面
x x cos y sin
y
x sin
y cos
§6.1 二次型
可逆,且 正交
x y
=
cos sin
-sin cos
x' y′
把ax2+bxy+cy2 =1化为标准方程的关键在于 用可逆线性变换 (x, y)T =P(x′, y′)T 把 ax2+bxy+cy2化为只有平方项的形式：
xn
f 的矩阵
xTAx
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
= xTAx
f 的标准形
? x=Py
g(y) =k1y12 + k2y22 + … +knyn2
=
k1 0 … 0 y1
(y1, y2, …, yn)
0 …
k2 …
…0 ……
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
12 13 16 由此可得正交矩阵Q = 1 2 1 3 1 6 ,
0 1 3 2 6 令x = Qy, 得该二次型的标准形为
f = 4y12 +4y22 2y32. 且x12+x22+x32 = 1化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32 = 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 f = 2(y12 +y22 +y32) + 6(y12 +y22) = 2+ 6(y12 +y22) 最大值为4(最大特征值), 最小值为2(最小特征值).
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.