矩阵方程的简化求解方法

矩阵方程的简化求解方法

来源：文都教育

与通常意义上的方程类似，矩阵方程是指以矩阵为未知量的矩阵等式. 求解矩阵方程本质上就是矩阵的运算特别是矩阵乘法和求逆矩阵的运算，因此求解矩阵方程，求出未知矩阵的表达式应充分地利用矩阵的运算及其性质先化简，将其化为矩阵方程的以下几种基本形式：

(1),(2),(3).AX B XA B AXB C ===

若A 和B 均可逆，那么可求得待求矩阵分别为1111,,.X A B X BA X A CB ----===当A 和B 均不可逆时，常将矩阵方程用待定元素法转化为解线性方程组. 在实际的计算中，往往不可能恰好给出以上三种形式，需要经过一番整理和化简，再应用相关知识使其露出“庐山真面目”. 本文将就典型的情况，加以说明，为这类题目的简化求解提供帮助.

1. 对已知2

A aA bE O ++=，需求1()A kE -+或()A kE +（其中k 为常数）的矩阵方程常用凑因子矩阵的方法来求解. 可将原方程化为()A kE

B E +=或者()B A kE E +=的形式，从而B 就是待求的A kE +的逆矩阵. 下面举例加以说明.

例1 设矩阵方程满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则1()A E --= . 解 先对2

A 与A 两项分别凑出因子A E -，过程如下： 24A A E O +-=222()()4A E E A E E E O ⇔-++-+-=

()()()2A E A E A E E ⇔-++-=

()()2A E A E E E ⇔-++=.

所以，1()A E --=(2)2A E +.

2. 求解AX B =或XA B =，其中A 为不可逆矩阵

常用解方程组的方法来求解这类问题，通常设出所求矩阵的行数、列数及其待定元素，

将矩阵方程转化为待定元素的线性方程组，解此方程组即可求出待求元素，从而求出未知矩阵. 这类问题在历年考研试题中还未涉及，因此需要引起注意.

例2 若11232246X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，则X = . 解 显然矩阵1122⎡⎤⎢

⎥⎣⎦的行列式为0，故不可逆. 由矩阵乘积的性质可知，X 为2×2矩阵，设1

234x x X x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，于是有 123411232246x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 于是方程转化为非齐次线性方程组：

121234342,224,3,

226,

x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 求解此非齐次线性方程组，得

1212341223x x c c X x x c c --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦，其中12,c c 为任意常数. 以上分两种情况讨论了矩阵方程的求解方法，在复习过程中考生可能还会遇到其他形式的矩阵方程，在毛纲源教授编著的《2016考研数学客观题简化求解》一书中，有更为全面的解读，相应深入浅出的方法技巧一定会使读者看完后有所收获，考研数学的解题更上一个新台阶.