高中数学 必修四 课件：1-4-2-1 周期函数

规律总结：求函数最小正周期的方法大致有三种：(1)
函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的最小正周
期皆用公式T＝|2ωπ|求解．(2)含绝对值符号的三角函数的最小正
周期可依据其图象得到，如函数y＝|2sin(2x＋
π 3
)|的最小正周期
为T＝π2，而函数y＝|2sin(2x＋π3)＋1|的最小正周期为π，与函数
∴f(x)＝
1 1
＝f(x＋2)
fx＋2
∴f(x)是以2为周期的周期函数．
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探索2：条件改为f(x＋2)＝f(x－2)呢？ [分析] 只需找到一个非零实数T，满足f(x＋T)＝f(x)即 可．
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自主预习 认真阅读教材P34－37回答下列问题． 1．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个 非零 常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那 么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
描点并用光滑的曲线连接起来．如图所示．
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新课引入 我们知道，地球的自转与公转、单摆的运动、弹簧的振动 和圆周运动等，都呈现一定的周期性，从正、余弦函数的定义 可知角 α 的终边每转一周又会与原来的位置重合；从图象上可 以看出，当函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值 (定值可以有很多个)，函数值也会重复出现．本节我们利用图 象观察正、余弦函数的变化情况，进一步研究这两个函数的性 质．
[小结]若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有： ①定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋ kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一 次．
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函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝ 2 ， 则f(22)＝________.
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[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 的周期T＝2ωπ.
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2．cosx>0 在 x∈[0,2π]上的解集是________． [答案] x|0≤x<π2或32π<x≤2π
[解析] 数形结合可知，当 x∈0，π2∪32π，2π时满足条件．
|cos(2x＋
π 6
)|的图象是将函数y＝cos(2x＋
π 6
)的图象在x轴下方的
部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此
可知所求函数的最小正周期为T＝π2.
(3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2. π
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[解析] (1)把 2x 看成一个新的变量 u，那么 cosu 的最小正 周期是 2π，这就是说当 u 增加到 u＋2π 且至少增加到 u＋2π 时， 函数 cosu 的值重复出现．而 u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当 自变量 x 增加到 x＋π 且至少增加到 x＋π 时，函数值重复出现， 因此 y＝cos2x 的周期为 π.
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[证明] ∵x∈R时f(x)＝－f(x＋1) ∴f(x＋1)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2) ∴函数y＝(x)是一个周期函数，2是它的一个周期．
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成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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(4)y＝－2cos－12x－1＝－2cos12x＋1， T＝21π＝4π.
2 (5)因为 y＝sin2x 的周期是22π＝π，故 y＝|sin2x|的图象是将 y＝sin2x 在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方，并且保留 x 轴上方 图象而得到的，因此周期 T＝π2.
设偶函数 f(x)对任意的 x∈R，都有 f(x＋3)＝－f1x，
y＝2sin(2x＋π3)＋1的最小正周期相同．(3)利用周期函数的定义
求函数的最小正周期．
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探索延拓创新 命题方向 2 函数周期性的规律
已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x)＝－f(x＋1)， 求证：函数 y＝f(x)是周期函数．
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[点评] 一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与 y ＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都是|2ωπ|.函数 y＝ |Asin(ωx＋φ)|与 y＝|Acos(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)最小正周期都是 π |ω|.
T1＋T2 16
＝________.
[答案] 1
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[解析] T1＝T2＝2π， 则tanT11＋6T2＝tan146π＝tanπ4＝1.
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[分析] 对于(1)(3)可利用公式T＝|2ωπ|，对于(2)应借助函数 y＝cos(2x＋6π)的周期及函数图象得到周期．
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[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π.
(2)∵函数y＝cos(2x＋
π 6
)的最小正周期为π，而函数y＝
4．在[0,2π]内，作出 y＝2sinx 的图象． [分析] 作函数图象首先要列表，然后描点，连线，对正 弦函数来说，需要用到起关键作用的五个点．
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[解析] 按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
2sinx 0 2 0 －2 0
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(2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着 一个 最小 的正数，就称它为最小正周期．在没有特殊说明的 情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期．
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求下列函数的最小正周期． (1)y＝sin(3x＋3π)； (2)y＝|cos(2x＋π6)|； (3)y＝sin(2πx－π4)．
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3．若 sinx＝2m＋1，则 m 的取值范围是________． [答案] {m|－1≤m≤0}
[解析] 由－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0.
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(2)如果令 t＝12x，则 y＝sint 是周期函数，且周期为 2π.∴ sin12x＋2π＝sin12x，
即 sin12x＋4π＝sin12x.∴y＝sin12x 的周期为 4π. (3)∵2sin3x－6π＋2π＝2sin3x－π6. 即 2sin13x＋6π－π6＝2sin3x－π6. ∴y＝2sin3x－6π的周期是 6π.
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探索1：将例2中的条件f(x)＝－f(x＋1)改为f(x)＝
1 fx＋1
其
它不变．
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[证明] ∵f(x)＝fx＋1 1
∴f(x＋1)＝fx＋1 2
课前自主预习
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温故知新 1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是( ) A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴只有一个交点 [答案] C [解析] 观察余弦函数的图象知，y＝cosx关于y轴对称．
[答案] 2 [解析] f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝ 2.
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2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它 的周期，最小正周期是 2π . (3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的 角所具有的周期性所决定的．
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规律总结：通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周 期问题，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有 f(x＋T)＝f(x)成立．
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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命题方向 3 函数周期的应用
第一章
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一章 三角函数
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第一章
第1课时 周期函数
第一章 三角函数
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课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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[证明] 令x－2＝t，则x＝t＋2， 于是由f(x＋2)＝f(x－2)，得 f(t)＝f[(t＋2)＋2]＝f(t＋4)． ∴f(t)＝f(t＋4)． ∴f(x＋4)＝f(x)． ∴函数y＝f(x)是周期函数，4是一个周期．
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
课堂典例讲练
第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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思路方法技巧
命题方向 1 三角函数的周期 求下列函数的周期．
(1)y＝cos2x； (2)y＝sin12x； (3)y＝2sin3x－π6； (4)y＝－2cos－12x－1； (5)y＝|sin2x|.