高中数学 必修四 课件：1-4-2-1 周期函数
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人教版高中数学必修4课件(1.4.2-1函数的周期性)
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ω x＋φ )的周期是多少？
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） y = 2 sin(x - p ) ， x∈R ； （4）y=|sinx|2 x∈6 R.
作业：P36练习：1，2，3.
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π ．
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周 期函数？
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ω x＋φ )的周期是多少？
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） y = 2 sin(x - p ) ， x∈R ； （4）y=|sinx|2 x∈6 R.
作业：P36练习：1，2，3.
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π ．
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周 期函数？
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
人教A版高中数学必修四课件：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(周期性)
正弦函数的图y 象 为sin x(x R)
y 1
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
-1
正弦函数的y 图 s象in 叫x(x正弦R)曲线
观察与思考
正弦函数的性质1——周期性
(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的； (2)规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）； (3)这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
讲授新课
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f(x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
讲授新课 问题：
(1) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少 ?
讲授新课 公式法:
函数y Asin(x )及 函数y Acos(x ), x R (其中A,,为常数,且A 0, 0) 的周期 T 2 .
讲授新课
例 x; (2) y sin 2x;
(3) y 2sin( 1 x ), x R.
(2) 若函数f ( x)的周期为T ,则kT , k Z * 也是f ( x)周期吗 ?为什么?
所以周期函数的周期不止一个， 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正 数，那么这个最小的正数叫做函数的最小正周期。 以后涉及求周期不加特殊说明，一般都是指 最小正周期
y=sinx的周期是 2 y=cosx的周期是 2
26
讲授新课
练习1.求下列三角函数的周期： (1) y sin( x );
2017-2018学年人教A版高中数学必修四课件：第一章1-4-
归纳升华 判断函数奇偶性的思路
[ 变式训练 ] (1)(2015· 北京卷 ) 下列函数中为偶函数 的是( ) B．y＝x2cos x D．y＝2
－x
A．y＝x2sin x C．y＝|ln x|
(2)判断函数 f(x)＝ 1－sin x＋ sin x－1的奇偶性．
(1)解析：因为 y＝x2 是偶函数，y＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以 A 选项为奇函数，B 选项为偶函 数；C 选项中函数图象是把对数函数 y＝ln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方，其余部分的图象保持不变， 故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数 非偶函数．
②函数 y＝|sin x|的图象如下图所示，可知其最小正 周期为π .
归纳升华 求函数周期的方法 1．公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋ 2π φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝ ω 来求．
2．图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函 数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． 3．定义法：利用周期函数的定义求函数的周期．
类型 1 三角函数的周期(自主研析) [典例 1] (1)下列函数是以π 为最小正周期的函数是 ( ) A．y＝sin x C．y＝cos 2x＋2 B．y＝sin x＋2 D．y＝cos 3x－1
(2)求下列函数的最小正周期：
π ①y＝sin2x＋ ； 3
②y＝|sin x|. [自主解答] (1)y＝sin x 及 y＝sin x＋2 的最小正周期 为 2π ，y＝cos 2x＋2 的最小正周期为π ，y＝cos 3x－1 2π 的最小正周期为 ，所以选 C. 3 答案：C
2013年高一数学必修四全册课件1-4-2-1周期函数66张
1 1 sin 2x＋2π ＝sin x， 2 1 1 1 即sin 2x＋4π ＝sin2x.∴y＝sin2x的周期为4π. x π x π (3)∵2sin3－6＋2π＝2sin3－6. 1 x π π 即2sin3x＋6π－6＝2sin3－6. x π ∴y＝2sin3－6的周期是6π.
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
三角函数
第一章
1． 4 三角函数的图象与性质
第一章
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一章
第1课时 周期函数
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是( )
5．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝________.
[答案] 2
[解析]
2π 2π 由于周期T＝ ，所以 ＝π，解得ω＝2. ω ω
[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 2π 的周期T＝ . ω
T1＋T2 函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan 16 ＝________.
[答案]
1
[解析] T1＝T2＝2π， T1＋T2 4π π 则tan 16 ＝tan16＝tan4＝1.
4．若sinx＝2m＋1，则m的取值范围是________．
[答案] {m|－1≤m≤0}
[解析] 由－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0.
5．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图．
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第一章
三角函数
第一章
1． 4 三角函数的图象与性质
第一章
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第一章
第1课时 周期函数
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是( )
5．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝________.
[答案] 2
[解析]
2π 2π 由于周期T＝ ，所以 ＝π，解得ω＝2. ω ω
[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 2π 的周期T＝ . ω
T1＋T2 函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan 16 ＝________.
[答案]
1
[解析] T1＝T2＝2π， T1＋T2 4π π 则tan 16 ＝tan16＝tan4＝1.
4．若sinx＝2m＋1，则m的取值范围是________．
[答案] {m|－1≤m≤0}
[解析] 由－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0.
5．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图．
人教A版高中数学必修4课件1.4.2周期函数 1课件
（2）若T(≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数) 也是f(x)的周期；
（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x) 的周期； （4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周 期T一定是T*的正整数倍；
周期函数
【周期函数性质】 （5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的 两个周期，则（Q是有理数集）；
知识点——
周期函数
周期函数
【定义】
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做 这个函数的一个周期.周期函数定义域必是无界的. 若T是周期，则k•T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有 周期中最小的正数叫最小正周期.一般所说的周期 是指函数的最小正周期.周期函数并非所都有最小 正周期.如常函数f(x)=C；
周期函数
【特殊情况】
3、若函数f(x)图象有两个对称中心(a，0)， (b，0)(a<b)，则2(b-a)是f(x)的一个周期；
4、若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对 称中心(b，0)(a<b),则4(b-a)是f(x)的周期.
周期函数
【周期函数性质】
（1）若T(≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；
1 1 cos 4x 1 1 (1 cos 4 x)
2
2
∴ 函数 y | sin x | | cos x | 的最小正周期
T 2 .
42
周期函数
【变形训练】
已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时， f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式.
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期 性，将要求区间上问题转化为已知解析式的 区间上.）
（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x) 的周期； （4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周 期T一定是T*的正整数倍；
周期函数
【周期函数性质】 （5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的 两个周期，则（Q是有理数集）；
知识点——
周期函数
周期函数
【定义】
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做 这个函数的一个周期.周期函数定义域必是无界的. 若T是周期，则k•T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有 周期中最小的正数叫最小正周期.一般所说的周期 是指函数的最小正周期.周期函数并非所都有最小 正周期.如常函数f(x)=C；
周期函数
【特殊情况】
3、若函数f(x)图象有两个对称中心(a，0)， (b，0)(a<b)，则2(b-a)是f(x)的一个周期；
4、若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对 称中心(b，0)(a<b),则4(b-a)是f(x)的周期.
周期函数
【周期函数性质】
（1）若T(≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；
1 1 cos 4x 1 1 (1 cos 4 x)
2
2
∴ 函数 y | sin x | | cos x | 的最小正周期
T 2 .
42
周期函数
【变形训练】
已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时， f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式.
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期 性，将要求区间上问题转化为已知解析式的 区间上.）
人教版必修4 数学1.4.2第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性 课件(33张)精选ppt课件
章 三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
1．问题导航 (1)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，那么 nT(n∈Z)是不是 f(x) 的周期？ (2)是不是所有的周期函数都有最小正周期？ (3)判断函数的奇偶性主要看几个方面？
2．例题导读 P35 例 2.通过本例学习，认识到 f(x＋T)＝f(x)中，T 是相对于 自变量 x 而言的，学会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期． 试一试：教材 P46A 组 T3 你会吗？
1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个__非__零__常__数__T_，使 得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么
函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的___正__数_____，那么这个最小___正__数_____就叫做 f(x)的 ___最__小__正__周__期____．
C．y＝－sin x
D．y＝sin x＋1
解析：y＝sin|x|的定义域为 R，且 sin|－x|＝sin|x|，所以为偶
函数．
(2)判断函数 f(x)＝sin(34x＋32π)的奇偶性． 解：因为 f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos 34x，函数的定义域为 R， 所以 f(－x)＝－cos(－34x) ＝－cos34x＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(34x＋32π)为偶函数．
4．判断函数 f(x)＝1＋s1i＋n xs－ in cxos2x的奇偶性． 解：函数应满足 1＋sin x≠0， ∴函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋32π， k∈Z}． 显然定义域不关于原点对称， 故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x为非奇非偶函数．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
1．问题导航 (1)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，那么 nT(n∈Z)是不是 f(x) 的周期？ (2)是不是所有的周期函数都有最小正周期？ (3)判断函数的奇偶性主要看几个方面？
2．例题导读 P35 例 2.通过本例学习，认识到 f(x＋T)＝f(x)中，T 是相对于 自变量 x 而言的，学会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期． 试一试：教材 P46A 组 T3 你会吗？
1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个__非__零__常__数__T_，使 得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么
函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的___正__数_____，那么这个最小___正__数_____就叫做 f(x)的 ___最__小__正__周__期____．
C．y＝－sin x
D．y＝sin x＋1
解析：y＝sin|x|的定义域为 R，且 sin|－x|＝sin|x|，所以为偶
函数．
(2)判断函数 f(x)＝sin(34x＋32π)的奇偶性． 解：因为 f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos 34x，函数的定义域为 R， 所以 f(－x)＝－cos(－34x) ＝－cos34x＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(34x＋32π)为偶函数．
4．判断函数 f(x)＝1＋s1i＋n xs－ in cxos2x的奇偶性． 解：函数应满足 1＋sin x≠0， ∴函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋32π， k∈Z}． 显然定义域不关于原点对称， 故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x为非奇非偶函数．
数学必修Ⅳ人教新课标A版1-4-2-1周期函数课件(31张)
解析答案
1＋sin x－cos2x (3)f(x)＝ 1＋sin x . 解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos32π＋2x＋x2sin x； 解 f(x)＝sin 2x＋x2sin x， 又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数.
A.y＝cos|2x|
B.y＝|sin x|
C.y＝sinπ2＋2x
D.y＝cos32π－2x
解析 y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶
函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
解析答案
(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x新知探究 点点落实
知识点一 函数的周期性 思考1 观察该实例：钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过 1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周，具有怎样的属性？
答 周而复始，重复出现.
思考2 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？ 哪个公式可以反映这种规律？
(1)f(x)＝sin－12x＋π2； 解 显然 x∈R，f(x)＝cos 12x， ∵f(－x)＝cos－12x ＝cos 12x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数.
解析答案
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1－sin x>0，
周期现象-北师大版高一数学必修4课件(共21张PPT)
02 自然界中存在丰富的周期现象
03 可以用列表、图像、解析式法刻画周期现象
04 利用函数描述周期现象时，会出现不同的自变量
时间、角度等都可以作为自变量。
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
THANKS
θ
根据物理知识， y和的变化是周期变化的 .
y
A N
例3.右图是水车的示意图.水车上点P到水面 的距离为y.
假设水车5 min 转一圈，那么y每经5 min 就会 取相同的值，因此，距离y随时间变化的现 象也是周期现象.
1.地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？
是
2.连续抛一枚质地均匀的 硬币，面值朝上我们记 为0，面值 朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出 现？
否
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗？
是
1.如图，已知水轮每分钟 转动四圈，水轮上的点 P
相对于水面的高度 y（m）与时间 x(min) 满足函数关
系f (x)，若x 0 min 时，P在最高点，则点 P到最低
点的时间最少是
（）
A.5s
B.7.5s
C.5min
D.7.5min
P
O
2. 某摩天轮有八个座舱，标号分别为1,2,3,4,5,
本章将从周期现象出发 ，引入弧度制 ，学习三角函数的图像和 性质， 并通过实例了解三角函 数在日常生活中的简单 应用.
钱塘江潮
“八月十八潮，壮观天下无。”这是北宋大诗人苏东坡咏赞钱塘 江潮的千古名句.可见，每年出现最佳观潮时间基本是相同的，其 次，潮水大约在每一昼夜时间里会涨落两次，无论是每年的最佳 观潮时间还是潮汐现象都是每间隔一段时间会重复出现的现象.
潮汐现象、地球围绕太 阳旋转、风车扇叶的旋 转、 时钟的指针的运动等都 是周期现象 .
03 可以用列表、图像、解析式法刻画周期现象
04 利用函数描述周期现象时，会出现不同的自变量
时间、角度等都可以作为自变量。
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
THANKS
θ
根据物理知识， y和的变化是周期变化的 .
y
A N
例3.右图是水车的示意图.水车上点P到水面 的距离为y.
假设水车5 min 转一圈，那么y每经5 min 就会 取相同的值，因此，距离y随时间变化的现 象也是周期现象.
1.地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？
是
2.连续抛一枚质地均匀的 硬币，面值朝上我们记 为0，面值 朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出 现？
否
3.地球同步卫星绕地球公转是周期现象吗？
是
1.如图，已知水轮每分钟 转动四圈，水轮上的点 P
相对于水面的高度 y（m）与时间 x(min) 满足函数关
系f (x)，若x 0 min 时，P在最高点，则点 P到最低
点的时间最少是
（）
A.5s
B.7.5s
C.5min
D.7.5min
P
O
2. 某摩天轮有八个座舱，标号分别为1,2,3,4,5,
本章将从周期现象出发 ，引入弧度制 ，学习三角函数的图像和 性质， 并通过实例了解三角函 数在日常生活中的简单 应用.
钱塘江潮
“八月十八潮，壮观天下无。”这是北宋大诗人苏东坡咏赞钱塘 江潮的千古名句.可见，每年出现最佳观潮时间基本是相同的，其 次，潮水大约在每一昼夜时间里会涨落两次，无论是每年的最佳 观潮时间还是潮汐现象都是每间隔一段时间会重复出现的现象.
潮汐现象、地球围绕太 阳旋转、风车扇叶的旋 转、 时钟的指针的运动等都 是周期现象 .
高中数学(福建)人教A版必修4课件：1.4.2.1 周期函数
明目标、知重点
M 目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
证明周期函数 题型一
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【例1】 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2),求证:函 数y=f(x)是周期函数. 分析:只需找到一个非零实数T,满足f(x+T)=f(x)即可. 证明:令x-2=t,则x=t+2, 于是由f(x+2)=f(x-2),得 f(t)=f[(t+2)+2]=f(t+4). ∴f(t)=f(t+4).∴f(x+4)=f(x). ∴函数y=f(x)是周期函数,4是一个周期. 明目标、知重点 反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时 ,只需
【变式训练 2】 (1)函数 y=cos ( ) A.- 6 B.-6π
π 4
+
π 6
的最小正周期是 D.6π
C.6
2π -π 3
(2)函数 y=si n ������������ +
(������ > 0)的周期是 = 6.
2π , 则������ 3
= _____.
解析 :(1)函数的最小正周期为 T= (2)由 T=
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数 f(x)=C(C为常数),x∈R,当x为定义域内的任何值时,函数值都是C,即 对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=f(x),因此f(x)是周 期函数,因为T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者, 所以f(x)没有最小正周期. (3)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值 都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加 值,周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次.
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题型一 题型二 题型三 题型四
证明周期函数 题型一
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Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【例1】 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2),求证:函 数y=f(x)是周期函数. 分析:只需找到一个非零实数T,满足f(x+T)=f(x)即可. 证明:令x-2=t,则x=t+2, 于是由f(x+2)=f(x-2),得 f(t)=f[(t+2)+2]=f(t+4). ∴f(t)=f(t+4).∴f(x+4)=f(x). ∴函数y=f(x)是周期函数,4是一个周期. 明目标、知重点 反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时 ,只需
【变式训练 2】 (1)函数 y=cos ( ) A.- 6 B.-6π
π 4
+
π 6
的最小正周期是 D.6π
C.6
2π -π 3
(2)函数 y=si n ������������ +
(������ > 0)的周期是 = 6.
2π , 则������ 3
= _____.
解析 :(1)函数的最小正周期为 T= (2)由 T=
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D典例透析
IANLI TOUXI
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数 f(x)=C(C为常数),x∈R,当x为定义域内的任何值时,函数值都是C,即 对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=f(x),因此f(x)是周 期函数,因为T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者, 所以f(x)没有最小正周期. (3)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值 都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加 值,周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次.
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1-4-2 第一课时 精品
教案·课堂探究
三角函数的周期 自主练透型
求下列函数的周期． (1)y＝3sinπ2 x＋3； (2) y＝|cos x|.
解析： (1)y＝3sinπ2 x＋3 ＝3sinπ2 x＋3＋2π ＝3sinπ2 （x＋4）＋3， 即 3sinπ2 x＋3＝3sinπ2 （x＋4）＋3， ∴y＝3sinπ2 x＋3的周期为 4.
(2)函数 y＝|cos x|的图象如图所示． 由图象知 T＝π.
[归纳升华] 求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的周期，一般有两种方法： (1)公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形
式，再利用 T＝|2ωπ|求得；
(2)图象法，利用交换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.
三角函数的奇偶性 多维探究型
(1)函数 f(x)＝ 2sin 2x 的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)判断函数 f(x)＝sin34x＋3π 2 的奇偶性．
[边听边记] (1)∵f(x)的定义域是 R. 且 f(－x)＝ 2sin2(－x)＝－ 2sin 2x＝－f(x)， ∴函数为奇函数． (2)∵f(x)＝sin34x＋3π 2 ＝－cos 34x， ∴f(－x)＝－cos－34x＝－cos 34x， ∴函数 f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数． 答案： (1)A
法二：(公式法) ∵y＝cos2x＋π3 ，∴ω＝2.
又 T＝|2ωπ|＝2π 2 ＝π，
∴函数 f(x)＝cos2x＋π3 的周期 T＝π. (2)法一：∵f(x)＝|sin x|， ∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的周期为π.
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规律总结：求函数最小正周期的方法大致有三种：(1)
函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的最小正周
期皆用公式T＝|2ωπ|求解．(2)含绝对值符号的三角函数的最小正
周期可依据其图象得到，如函数y＝|2sin(2x＋
π 3
)|的最小正周期
为T＝π2，而函数y＝|2sin(2x＋π3)＋1|的最小正周期为π，与函数
∴f(x)＝
1 1
＝f(x＋2)
fx＋2
∴f(x)是以2为周期的周期函数．
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探索2：条件改为f(x＋2)＝f(x－2)呢？ [分析] 只需找到一个非零实数T，满足f(x＋T)＝f(x)即 可．
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高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4 第一章 1.4 1.4.2 第1课时
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自主预习 认真阅读教材P34－37回答下列问题． 1．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个 非零 常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那 么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
描点并用光滑的曲线连接起来．如图所示．
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新课引入 我们知道，地球的自转与公转、单摆的运动、弹簧的振动 和圆周运动等，都呈现一定的周期性，从正、余弦函数的定义 可知角 α 的终边每转一周又会与原来的位置重合；从图象上可 以看出，当函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值 (定值可以有很多个)，函数值也会重复出现．本节我们利用图 象观察正、余弦函数的变化情况，进一步研究这两个函数的性 质．
[小结]若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有： ①定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋ kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一 次．
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函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝ 2 ， 则f(22)＝________.
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[拓展]函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0) 的周期T＝2ωπ.
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高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学周期分别是T1，T2，则tan
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2．cosx>0 在 x∈[0,2π]上的解集是________． [答案] x|0≤x<π2或32π<x≤2π
[解析] 数形结合可知，当 x∈0，π2∪32π，2π时满足条件．
|cos(2x＋
π 6
)|的图象是将函数y＝cos(2x＋
π 6
)的图象在x轴下方的
部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此
可知所求函数的最小正周期为T＝π2.
(3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2. π
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[解析] (1)把 2x 看成一个新的变量 u，那么 cosu 的最小正 周期是 2π，这就是说当 u 增加到 u＋2π 且至少增加到 u＋2π 时， 函数 cosu 的值重复出现．而 u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当 自变量 x 增加到 x＋π 且至少增加到 x＋π 时，函数值重复出现， 因此 y＝cos2x 的周期为 π.
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[证明] ∵x∈R时f(x)＝－f(x＋1) ∴f(x＋1)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2) ∴函数y＝(x)是一个周期函数，2是它的一个周期．
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成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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(4)y＝－2cos－12x－1＝－2cos12x＋1， T＝21π＝4π.
2 (5)因为 y＝sin2x 的周期是22π＝π，故 y＝|sin2x|的图象是将 y＝sin2x 在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方，并且保留 x 轴上方 图象而得到的，因此周期 T＝π2.
设偶函数 f(x)对任意的 x∈R，都有 f(x＋3)＝－f1x，
y＝2sin(2x＋π3)＋1的最小正周期相同．(3)利用周期函数的定义
求函数的最小正周期．
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探索延拓创新 命题方向 2 函数周期性的规律
已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x)＝－f(x＋1)， 求证：函数 y＝f(x)是周期函数．
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[点评] 一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与 y ＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都是|2ωπ|.函数 y＝ |Asin(ωx＋φ)|与 y＝|Acos(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)最小正周期都是 π |ω|.
T1＋T2 16
＝________.
[答案] 1
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[解析] T1＝T2＝2π， 则tanT11＋6T2＝tan146π＝tanπ4＝1.
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[分析] 对于(1)(3)可利用公式T＝|2ωπ|，对于(2)应借助函数 y＝cos(2x＋6π)的周期及函数图象得到周期．
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[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π.
(2)∵函数y＝cos(2x＋
π 6
)的最小正周期为π，而函数y＝
4．在[0,2π]内，作出 y＝2sinx 的图象． [分析] 作函数图象首先要列表，然后描点，连线，对正 弦函数来说，需要用到起关键作用的五个点．
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[解析] 按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
2sinx 0 2 0 －2 0
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(2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着 一个 最小 的正数，就称它为最小正周期．在没有特殊说明的 情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期．
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求下列函数的最小正周期． (1)y＝sin(3x＋3π)； (2)y＝|cos(2x＋π6)|； (3)y＝sin(2πx－π4)．
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3．若 sinx＝2m＋1，则 m 的取值范围是________． [答案] {m|－1≤m≤0}
[解析] 由－1≤2m＋1≤1， 解得－1≤m≤0.
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(2)如果令 t＝12x，则 y＝sint 是周期函数，且周期为 2π.∴ sin12x＋2π＝sin12x，
即 sin12x＋4π＝sin12x.∴y＝sin12x 的周期为 4π. (3)∵2sin3x－6π＋2π＝2sin3x－π6. 即 2sin13x＋6π－π6＝2sin3x－π6. ∴y＝2sin3x－6π的周期是 6π.
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探索1：将例2中的条件f(x)＝－f(x＋1)改为f(x)＝
1 fx＋1
其
它不变．
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[证明] ∵f(x)＝fx＋1 1
∴f(x＋1)＝fx＋1 2
课前自主预习
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