函数单调性的概念

一般情况下，单调增函数的图形是一条沿 x 轴 正向逐渐上升的曲线;单调减函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降的曲线.
如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增 的，而在另一些子区间上是单调减的，则称函数为 分段单调函数.
二.定义:设函数y=f(x)在某个区间可导，
1.如果f (x) 〉0 ，则f(x)为增函数；
例7 证明 证
例9（2003年江苏卷）已知a>0, n为正整数，
设
，对任意n≥a , 证明:
证明: 对函数
求导数:
∴ 即对任意
试做高考题
1.源自文库05福建卷）已知函数
的图象在点
M（－1，f(-1)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；(2)求函数的单调区间.
求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：
①确定函数f(x)的定义区间;
②求 ,令 = 0,解此方程,求出它在定义区 间内的一切实根;
③把函数 f(x) 的间断点(包括 f(x) 的无定义的点) 的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列 起来，然后用这些点把函数 f(x) 的定义区间分成 若干个小区间;
2.如果f (x)〈0 ，则f(x)为减函数，
3.如果在某个区间内恒有f (x) =0，则f (x) 为常数. 函数单调性的简便判断方法----导数法. 重要说明: 1.函数y=f(x)在某个区间可导.在这一条件下,其结论是 充分不必要要的;
2.结论3如果在某个区间内恒有f (x) =0，则f (x) 为常数.否则可 能使f (x) =0的点只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x轴平 行).
④确定 f(x) 在各区间内的符号,根据 f(x) 的符号 判定函数 f(x) 在每个相应小区间内的增减性.
三.应用 例1
解
单调区间为
例3.设f (x) = ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的 取值范围，并求其单调区间.
(3)(05广东卷)函数
（Ａ）
（Ｂ）
是减函数的区间为 ( )
（Ｃ）
（Ｄ）
例5 解
单调区间为 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点 另:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如
例6
证
利用单调性证明不等式的步骤：
①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x);
②求
验证f(x)在指定区间上的单调性;
③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.