曲边梯形面积与定积分

曲边梯形的面积与定积分
一. 定积分的实际背景 还记得“梯形”的面积公式吗？
1. 曲边梯形的概念
y
f (a)
怎么求“曲边梯形”的面积呢？
f (b)
y f (x) y f (x)
y
f (b)
f (a)
a
o
b
x
o a
b x
(1). 图中的阴影部分类似于一个梯形，但其中一边是曲 线 y=f(x) 的一段. (2). 由直线x=a，x=b (a<b)，y=0和曲线 y=f(x) 所围成的 图形称为曲边梯形.
3.若f (x)、g(x)均连续且f (x) g(x)，则 [f (x) g(x)]dx a 表示由曲线f (x)、g(x)与直线x a, x b所围成的曲边形 的面积； b
b
b
强调：当被积函数式中有加减运算时，必须加括号.
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三. 定积分的几何意义
应用定积分的几何意义求下列定积分
(1) 2 2 4 4 x dx;
基 均为 1 ，记作 x i i 1 1 ； n n n n 本 (2) 近似替代——过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，再以小区间的左端点的纵坐标为高，∆x为 步 底作n个小矩形，用这些小矩形的面积近似地替代相应的曲 骤 边梯形的面积； (3) 求和——所有小矩形面积之和等于： 总 S 0 1 2 n 1 1 1 1 1 2 1 6 n n n n n n 结 (4) 取极限——所有小矩形面积之和等于：
2 2 2 2 n
(1) 分割——将区间[0,1]等分为n个小区间，每个小区间的长度
1 1 1 1 1 S lim Sn lim 1 2 1 2 n n 6 n 6 3 n
一. 定积分的实际背景
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积
y y = f(x)
A1
O
a
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A A A1 ——差距巨大
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积
y y = f ( x)
A2
A1
O a b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1+ A2
f (x)dx 2 f (x)dx； -a 0
(8)在区间[a, b]上，若f (x) 0，则 f (x)dx 0. a
b
三. 定积分的几何意义
1.若f (x)在[a, b]上连续且f (x) 0，则 f (x)dx表示曲线f (x) a 与直线x a, x b, y 0所围成的曲边梯形的面积； 2.若f (x)在[a, b]上连续且f (x) 0，则 f (x)dx表示曲线f (x) a 与直线x a, x b, y 0所围成的曲边梯形的面积的相反数；
a
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的 面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积 A 近
似为 A A1+ A2 + + An ——比较接近 当n无限增大时，以直代曲 无限逼近
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积 例1. 求曲线y=x2与直线x=1, y=0所围成的区域的面积.
y f (x)
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积
y
f (b)
f (a)
o a
b x
【提示】“曲边图形”与“直边图形”有着密切的联系；它们
的主要区别在于前者有一条边是曲线段，而后者各边均为直线段；
(1).如果可以用适当的直线段代替图中的曲线段——以直代曲，就
可以近似地求出曲边梯形的面积；
(2).怎样“以直代曲”才能使所求的面积比较精确地表示曲边梯形
的面积呢？
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积
观察下面的实验
P
P
放大
再放大
P
实验说明：在点 P 附近我们可以用这条直线 l 来代替的曲线；
也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线；
即在很小范围内“以直代曲”可以提高精确度. 为实现“以直代曲” 将区间[a, b]分割成若干个非常小的区间
2
(2)
1 0 3
1 x 2 dx;
(3) (2x 1)dx； 1
(4) [ 1 (x 3) 2 (x 2)]dx . 2
——差距很大
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积
y = f ( x)
y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1+ A2+ A3+ A4 ——差距较大
一. 定积分的实际背景
1. 求曲边梯形的面积
y y = f ( x)
A1
O
Ai
An b x
2. 求变力所做的功 例2. 弹簧在拉伸过程中，力与弹簧的伸长量成正比，
即F(x)=kx (k是常数，x是伸长量). 求弹簧从平衡
位置拉长 b 所做的功.
二. 定积分的概念
1. 概念
设连续函数f(x)定义在区间[a, b]上。 (1)用分点a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n-1 < x n = b将区间分成 n个 小区间，其长度依次为Δx i = x i+1 - x i (i = 0,1, 2, , n - 1)， 设 λ是这些区间长度中的最大值，则当λ 0时,Δx i 0； (2) ξ i [x i , x i+1 ]，作和式 I n = f ( i ) x i；
i 0 n 1
(3)当 0时，若I n的极限存在，则称该极限值为f(x)在[a, b] b 上的定积分,记作： . a f (x)dx,读作“f (x)在[a, b]上的定积分” 即 f (x)dx lim f ( i ) x i . n a i 0 b
n 1
二. 定积分的概念
2. 关于定积分概念的几点说明
(1) f(x)叫做被积函数； a、b分别叫做定积分的下限、上限； x叫做积分变量； f(x)dx叫做被积式； [a, b]叫做积分区间. (2) 如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积； (3) a, b∈D (D为f(x)的定义域)； (4) 定积分 f (x)dx 是一个常数，只与f(x)和[a,b]有关；
a b
(5) 各小区间的长度∆xi可以不相等.
3. 用定义求定积分的基本步骤
①分割；
(化整为零）
②近似替代；
(以直代曲)
③求和；
(积零为整)
④取极限.
(使近似变精确)
三. 定积分的性质和运算法则 (设f(x)是连续函数)
(1) f (x)dx 0； a b b a (2) f (x)dx f (x)dx； a b b a (3) [k f (x)]dx k f (x)dx； a a (4) [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx; a a a (5)设a b c，则 f (x)dx f (x)dx f (x)dx ； a a b (6)若f (x)是[ a, a]上的奇函数，则 (7)若f (x)是[ a, a]上的偶函数，则 a -a a f (x)dx 0； a c b c b b b