不动点理论,吸引
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某个集值不动点理论及应用
姓 名 罗贤强
指导教师
石忠锐
背景
• 处理非线性问题有很多种方法，不动点是 其中之一，不动点理论是非线性泛函分析 的重要组成部分，它与近代数学的许多分 支有着紧密的联系。特别是在建立各类方 程(其中包括各类线性或非线性的，确定的 或非确定型的微分方程，积分方程以及各 类算子方程)解的存在唯一性问题中起着重 要的作用。
*
yT ( x )
• 问题是当参与者有无穷多，比如 它不是Hilbert空间，也不是局部凸拓扑线性 p p 空间,它是赋拟范空间： l an n1 an ， 拟范为 a a 。它的对偶空间为 l ， x l p , x 0, f l , s.t. f x 0）。 是丰满的（ * * x T x 值得 • 在什么情况下有Nash均衡点： 探讨。 • 又当策略集K非凸时，结果有如何？
1 1
• 1989年Tarafdar对Browder集值不动点定理作了一些 推广，应用的是“紧集的有限开覆盖的单位分解 法，”以及“紧集中的闭集族具有有限交性质”等。 后来张石生，S.Park等在赋范线性空间中证明内向 集与外向集定理【6】。1988年上海交大的陈志强 应用几乎下半连续，证明了一个集值映射的连续选 择定理，并得到了不动点定理，推广了brouwer不动 点定理【6】。2000年浙大的向淑文证明了上半连 续集值映射的连续选择逼近定理。【6】 • Kakutani,Fan,Glicksberg等在局部凸Hausdorff拓扑线 性空间证明了Kakutani—Fan —Glicksberg不动点定理 【6】： • 设E为局部凸Hausdorff 拓扑线性空间，X为E的非空 X 紧凸集，设T：X→ 2 ，是具非空闭凸值的上半连 续映射。则T在X中存在不动点。
我要研究的内容
• 在更一般的拓扑线性空间，把Kakutani—Fan — Glicksberg不动点定理中的“局部凸”条件改为“具 有丰满的对偶空间 ”即“对任意 * 的 x, y E, p E , s.t. p( x) p( y) ”， 并用来研究广义 拟变分不等式，隐变分不等式等。这两个条件中， 后者是更弱的，参考文献中的《拓扑线性空间》 （兰州大学出版）对此做了较详尽的说明。 • 2. 把压缩（伪压缩）集值映射应用到一般的拓扑线 性空间，得出新的不动点定理，在Banach空间引入 正规映射，并应用到吸引点（attractive point）理论。 • 3. 在orlicz空间找到某些不动点的应用 •
x C
n 2 n 2 n n
• 2012年Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu证明吸收 点存在定理【84】： T :C C 。 • 设H是Hilbert空间，C是H的非空子集， n x C 若存在 ，使得 T x 有界，且存在 l 上的 Banach极限 ，使得 T x Ty T x y , y C 。 则 A(T ) 是非空。另外若C是闭凸的，则 F (T ) 非空。
p 1 p
l p 0<p<1，
n
n 1
n
我预想得出的结果：
• 1. 设E为拓扑线性空间，对偶空间E *是丰满的，X为E 的非空紧凸子集， T：X→2 X 是非空紧凸值的集值 * p E 映射，而且对每一 ， sup p, y 关于x是上半连 续的。则T在X中存在不动点。并用来研究广义拟变 分不等式，隐变分不等式等。 • 2.广义拟设变分不等式：E是Hausdorff拓扑线性空间， , : X X R 对偶空间 E * 是丰满的，X是E中的紧凸集设 ， 且F : X 2 X 满足:对每一个y X , x, y 关于x下半连续； x, y x, y , x, y X ； • x, y 关于y是 对角凹的； • F：X→ 2 X 是具非空闭凸值的映射，对每一 p E* ， • sup p, y 关于x是上半连续的,且 x X : sup x, y • 是X中的闭集则存在 x X ，使得 x F x , sup x , y 。
n 2 n 2 n n
• 在Hilbert空间，内积起到重要的作用，而在 Banach空间中无内积概念，引入：正规对 偶映射 J : X 2 , J x f X , f , x x f 。当 Banach空间是光滑，严格凸，自反的空间 时，J是单值的。设E是光滑Banach空间， • 定义函数 : E E , 为：
0
• 3. 设E为拓扑线性空间，对偶空间 满的，X为E的非空紧子集， T：X→ 2 X 是非 * p E 空闭值的集值映射，满足：对每一 ， • inf p( x) p(T ( x)) 是下半连续的；存 在0 r 1, xn X ，使得对每 * inf p(xn ) p(T (xn )) r inf p(xn1) p(T (x p E 一 ， 。 n1 )) • 则T在X中存在不动点。
• 自上世纪初Brouwer和Banach分别证明了 Brouwer不动点定理和Banach压缩映象原理以 来，不动点理论得到了大量的研究。 目前， 不动点理论己经渗透到数学的多个领域，并被 广泛应用于各种问题的研究中。不动点理论与 变分不等式理论密切相关。事实上，某些广义 混合变分不等式问题，实质上就是不动点问题， 如Takahashi【1】。Banach压缩映象原理是最 为人熟知的不动点定理之一，自诞生以来得到 了许多学者的研究，提出了大量的伪或拟压缩 映象的不动点定理
X* * 2 2
x, y x 2 x, Jy y , x, y E
2 2
• 定义吸引点 A(T ) 为： • 则A T x C , T n x 有界。
A(T ) z H : z, Tx z, x , x C
yT ( x )
yF ( x )
yF ( x )
yF ( x )
• 3.隐变分不等式：E是Hausdorff拓扑线性空 间，对偶空间丰满，E中的紧凸集， ， X , X 0 ,X0 X z X 0 ，存在 x X ，使 设g : X X , ，任意 : X 0 , X , X R ，任意 z X 0 ， 得 g z, x 。 : z, x, x 0 。存在 x X ，使 任意 x X ， 得隐变分不等式 g x , y x , x , y g x , x , y X 成 立。
E* 是丰
第二个问题
• 1965年Browder,kirk证明X为Hilbert或一致凸 空间或有正规结构，C是X的有界闭凸集， 则映C到自身的非扩张映射T有不动点。 • 问题是： C不是有界闭凸集，或非扩张映射 T映C到X呢？
• 在近几年，吸引点（attractive point）理论 也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，并应用来获得不 同的不动点定理. T :C H 。 • 设H是Hilbert空间，C是H的非空子集， 分别用 F (T ) A(T )，表示不动点集，吸引点集， A(T ) z H : Tx z x z , x C 即 F (T ) z C : Tz z，
n n
n n
n
n
n
• 1968年，Browder应用KyFan极小极大原理证 明了Browder不动点定理【6】： • 设E为Hausdorff拓扑线性空间，X为E的紧凸 集，设S：X→ 2 X ,满足下列条件之一: • 对任意的 x X , S ( x) 是非空的凸集，且对任 一 y X , S ( y) x X , y S(x) 是X中的开集； S ( x) 是X中的开集，且对任 • 对任一 x X ， S ( y) x X , y S ( x)是X中非空的凸集。 一 y X ， • 则 S在X中存在不动点。
Fra Baidu bibliotek
• 1991年张石生等在广义拟变分不等式时， 推广了Kakutani—Fan —Glicksberg不动点定 理【6】： • 设E为局部凸Hausdorff拓扑线性空间，X为E X 的非空紧凸集，设T：X→ 2 是具非空闭凸 sup p, y 值的映射，而且对每一 p E ， 关于x 是上半连续的。则T在X中存在不动点。 • 并且应用在广义拟变分不等式，隐变分不 等式等的研究中。
在别人已定策略后，每个参与者最大化自 * U x U N zn , x n , n . 己的利益： N n , xn max z K Kn U N zn , x n , x n K n 定义Tn : K n 2 是集值映射: Tn xn Arg max z K * x T x x* x1 , , x* N K 称为Nash均衡点，若 K T : K 2 : T x T1 x1 , T2 x2 , , TN xN 则 定义 x* T x* 。在什么情况下有Nash均衡点？
• 4.吸引点理论的研究才刚刚起步，只有初步 的构想。 • 设E是光滑，严格凸，自反Banach空间，C 是E的非空子集，设T:C C广义非扩张映射。 Tx, y x, y , x C, y F T • 即若 F T 非空， n T • 若存在C中的某个x，使得 x 有界，则吸 引点 A(T ) z H : z,Tx z, x , x C 非空。 • 又若C是闭凸集，则T有不动点。
x n x1 , , xn1 , xn1 , , xN , zn , x n x1 , , xn1 , zn , xn1 , , xN
考虑博弈问题:有N个参与者，Kn表示第n个 人的可能策略集合（非空紧凸集）。第n个 人的目标函数 U N : K1 K2 KN R假设是 x x1, x2 , , xN , xi K是所有博弈者 连续的。 i 的策略集，计 K n K1 Kn1 Kn1 KN
• 2011年，Wataru Takahashi, Yao Jen-Chih利用 Banach极限【10】证明不动点定理【84】： • 设H是Hilbert空间，C是H的非空闭凸子集， n x C T • T : C C 若存在 使得 x有界，且存在 Banach极限 ，使得 T x Ty T x y , y C 。 则 T 在C中有不动点。
• 近几年，作为不动点理论的延伸和推广，映射对(或映 射族)的公共不动点受到广泛重视，并成为十分活跃的 领域。在广义度量空间上的不动点也成为研究的热点。 关于不动点(或公共不动点)最佳逼近的研究也成为备受 关注的课题，并得到了许多结果【1-78】。在近两年， 吸引点（attractive point）理论也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，他们 主要把 T : C C 推广到不同的非膨胀映射。并应用 来获得不同的不动点定理以及证明更一般的遍历定理。 目前国内活跃在这方面研究的代表主要有张石生，丁协 平，陈光亚，Lin laijiu, Cho Jenchih.黄南京等，国外有 AgarwalR.R，Donal o’Regan，wataru Takahashi，Sehie Park等，这些人的文章量比较大。 •
姓 名 罗贤强
指导教师
石忠锐
背景
• 处理非线性问题有很多种方法，不动点是 其中之一，不动点理论是非线性泛函分析 的重要组成部分，它与近代数学的许多分 支有着紧密的联系。特别是在建立各类方 程(其中包括各类线性或非线性的，确定的 或非确定型的微分方程，积分方程以及各 类算子方程)解的存在唯一性问题中起着重 要的作用。
*
yT ( x )
• 问题是当参与者有无穷多，比如 它不是Hilbert空间，也不是局部凸拓扑线性 p p 空间,它是赋拟范空间： l an n1 an ， 拟范为 a a 。它的对偶空间为 l ， x l p , x 0, f l , s.t. f x 0）。 是丰满的（ * * x T x 值得 • 在什么情况下有Nash均衡点： 探讨。 • 又当策略集K非凸时，结果有如何？
1 1
• 1989年Tarafdar对Browder集值不动点定理作了一些 推广，应用的是“紧集的有限开覆盖的单位分解 法，”以及“紧集中的闭集族具有有限交性质”等。 后来张石生，S.Park等在赋范线性空间中证明内向 集与外向集定理【6】。1988年上海交大的陈志强 应用几乎下半连续，证明了一个集值映射的连续选 择定理，并得到了不动点定理，推广了brouwer不动 点定理【6】。2000年浙大的向淑文证明了上半连 续集值映射的连续选择逼近定理。【6】 • Kakutani,Fan,Glicksberg等在局部凸Hausdorff拓扑线 性空间证明了Kakutani—Fan —Glicksberg不动点定理 【6】： • 设E为局部凸Hausdorff 拓扑线性空间，X为E的非空 X 紧凸集，设T：X→ 2 ，是具非空闭凸值的上半连 续映射。则T在X中存在不动点。
我要研究的内容
• 在更一般的拓扑线性空间，把Kakutani—Fan — Glicksberg不动点定理中的“局部凸”条件改为“具 有丰满的对偶空间 ”即“对任意 * 的 x, y E, p E , s.t. p( x) p( y) ”， 并用来研究广义 拟变分不等式，隐变分不等式等。这两个条件中， 后者是更弱的，参考文献中的《拓扑线性空间》 （兰州大学出版）对此做了较详尽的说明。 • 2. 把压缩（伪压缩）集值映射应用到一般的拓扑线 性空间，得出新的不动点定理，在Banach空间引入 正规映射，并应用到吸引点（attractive point）理论。 • 3. 在orlicz空间找到某些不动点的应用 •
x C
n 2 n 2 n n
• 2012年Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu证明吸收 点存在定理【84】： T :C C 。 • 设H是Hilbert空间，C是H的非空子集， n x C 若存在 ，使得 T x 有界，且存在 l 上的 Banach极限 ，使得 T x Ty T x y , y C 。 则 A(T ) 是非空。另外若C是闭凸的，则 F (T ) 非空。
p 1 p
l p 0<p<1，
n
n 1
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我预想得出的结果：
• 1. 设E为拓扑线性空间，对偶空间E *是丰满的，X为E 的非空紧凸子集， T：X→2 X 是非空紧凸值的集值 * p E 映射，而且对每一 ， sup p, y 关于x是上半连 续的。则T在X中存在不动点。并用来研究广义拟变 分不等式，隐变分不等式等。 • 2.广义拟设变分不等式：E是Hausdorff拓扑线性空间， , : X X R 对偶空间 E * 是丰满的，X是E中的紧凸集设 ， 且F : X 2 X 满足:对每一个y X , x, y 关于x下半连续； x, y x, y , x, y X ； • x, y 关于y是 对角凹的； • F：X→ 2 X 是具非空闭凸值的映射，对每一 p E* ， • sup p, y 关于x是上半连续的,且 x X : sup x, y • 是X中的闭集则存在 x X ，使得 x F x , sup x , y 。
n 2 n 2 n n
• 在Hilbert空间，内积起到重要的作用，而在 Banach空间中无内积概念，引入：正规对 偶映射 J : X 2 , J x f X , f , x x f 。当 Banach空间是光滑，严格凸，自反的空间 时，J是单值的。设E是光滑Banach空间， • 定义函数 : E E , 为：
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• 3. 设E为拓扑线性空间，对偶空间 满的，X为E的非空紧子集， T：X→ 2 X 是非 * p E 空闭值的集值映射，满足：对每一 ， • inf p( x) p(T ( x)) 是下半连续的；存 在0 r 1, xn X ，使得对每 * inf p(xn ) p(T (xn )) r inf p(xn1) p(T (x p E 一 ， 。 n1 )) • 则T在X中存在不动点。
• 自上世纪初Brouwer和Banach分别证明了 Brouwer不动点定理和Banach压缩映象原理以 来，不动点理论得到了大量的研究。 目前， 不动点理论己经渗透到数学的多个领域，并被 广泛应用于各种问题的研究中。不动点理论与 变分不等式理论密切相关。事实上，某些广义 混合变分不等式问题，实质上就是不动点问题， 如Takahashi【1】。Banach压缩映象原理是最 为人熟知的不动点定理之一，自诞生以来得到 了许多学者的研究，提出了大量的伪或拟压缩 映象的不动点定理
X* * 2 2
x, y x 2 x, Jy y , x, y E
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• 定义吸引点 A(T ) 为： • 则A T x C , T n x 有界。
A(T ) z H : z, Tx z, x , x C
yT ( x )
yF ( x )
yF ( x )
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• 3.隐变分不等式：E是Hausdorff拓扑线性空 间，对偶空间丰满，E中的紧凸集， ， X , X 0 ,X0 X z X 0 ，存在 x X ，使 设g : X X , ，任意 : X 0 , X , X R ，任意 z X 0 ， 得 g z, x 。 : z, x, x 0 。存在 x X ，使 任意 x X ， 得隐变分不等式 g x , y x , x , y g x , x , y X 成 立。
E* 是丰
第二个问题
• 1965年Browder,kirk证明X为Hilbert或一致凸 空间或有正规结构，C是X的有界闭凸集， 则映C到自身的非扩张映射T有不动点。 • 问题是： C不是有界闭凸集，或非扩张映射 T映C到X呢？
• 在近几年，吸引点（attractive point）理论 也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，并应用来获得不 同的不动点定理. T :C H 。 • 设H是Hilbert空间，C是H的非空子集， 分别用 F (T ) A(T )，表示不动点集，吸引点集， A(T ) z H : Tx z x z , x C 即 F (T ) z C : Tz z，
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• 1968年，Browder应用KyFan极小极大原理证 明了Browder不动点定理【6】： • 设E为Hausdorff拓扑线性空间，X为E的紧凸 集，设S：X→ 2 X ,满足下列条件之一: • 对任意的 x X , S ( x) 是非空的凸集，且对任 一 y X , S ( y) x X , y S(x) 是X中的开集； S ( x) 是X中的开集，且对任 • 对任一 x X ， S ( y) x X , y S ( x)是X中非空的凸集。 一 y X ， • 则 S在X中存在不动点。
Fra Baidu bibliotek
• 1991年张石生等在广义拟变分不等式时， 推广了Kakutani—Fan —Glicksberg不动点定 理【6】： • 设E为局部凸Hausdorff拓扑线性空间，X为E X 的非空紧凸集，设T：X→ 2 是具非空闭凸 sup p, y 值的映射，而且对每一 p E ， 关于x 是上半连续的。则T在X中存在不动点。 • 并且应用在广义拟变分不等式，隐变分不 等式等的研究中。
在别人已定策略后，每个参与者最大化自 * U x U N zn , x n , n . 己的利益： N n , xn max z K Kn U N zn , x n , x n K n 定义Tn : K n 2 是集值映射: Tn xn Arg max z K * x T x x* x1 , , x* N K 称为Nash均衡点，若 K T : K 2 : T x T1 x1 , T2 x2 , , TN xN 则 定义 x* T x* 。在什么情况下有Nash均衡点？
• 4.吸引点理论的研究才刚刚起步，只有初步 的构想。 • 设E是光滑，严格凸，自反Banach空间，C 是E的非空子集，设T:C C广义非扩张映射。 Tx, y x, y , x C, y F T • 即若 F T 非空， n T • 若存在C中的某个x，使得 x 有界，则吸 引点 A(T ) z H : z,Tx z, x , x C 非空。 • 又若C是闭凸集，则T有不动点。
x n x1 , , xn1 , xn1 , , xN , zn , x n x1 , , xn1 , zn , xn1 , , xN
考虑博弈问题:有N个参与者，Kn表示第n个 人的可能策略集合（非空紧凸集）。第n个 人的目标函数 U N : K1 K2 KN R假设是 x x1, x2 , , xN , xi K是所有博弈者 连续的。 i 的策略集，计 K n K1 Kn1 Kn1 KN
• 2011年，Wataru Takahashi, Yao Jen-Chih利用 Banach极限【10】证明不动点定理【84】： • 设H是Hilbert空间，C是H的非空闭凸子集， n x C T • T : C C 若存在 使得 x有界，且存在 Banach极限 ，使得 T x Ty T x y , y C 。 则 T 在C中有不动点。
• 近几年，作为不动点理论的延伸和推广，映射对(或映 射族)的公共不动点受到广泛重视，并成为十分活跃的 领域。在广义度量空间上的不动点也成为研究的热点。 关于不动点(或公共不动点)最佳逼近的研究也成为备受 关注的课题，并得到了许多结果【1-78】。在近两年， 吸引点（attractive point）理论也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，他们 主要把 T : C C 推广到不同的非膨胀映射。并应用 来获得不同的不动点定理以及证明更一般的遍历定理。 目前国内活跃在这方面研究的代表主要有张石生，丁协 平，陈光亚，Lin laijiu, Cho Jenchih.黄南京等，国外有 AgarwalR.R，Donal o’Regan，wataru Takahashi，Sehie Park等，这些人的文章量比较大。 •