色散关系

由
Cauchy
定理，积分式（1）应等于
������(0, ������) − ������������
再加上被积函数
������(0,������′) ������′−������
在各极点
������′ = ������������ 处的留数 ������������ ，其中的������������就是各个离散能级的能量，这些留数等于:
+
1 ������
������
∞
∫
������������������(0, ������′) ������′ − ������
������������′
0
+
∑ ������
������
������������ − ������������
(5)
E> 0 的零角度散射振幅的实部就可以通过它的虚部来确定，后者直接和总散射截面相
������(0,
������)
=
������������
+
1 ������
∞
∫
0
������������������(0, ������′) ������′ − ������
������������′
+
∑
������
������
������������ − ������������
(4)
此式便是色散关系。它用 ������ > 0 的 ������(0, ������) 的虚部值确定物理叶上任意一点的
色散关系与因果性
色散关系
沈付旺,201311368
因果性就是外界对以物理系统施加作用或者输入信号，作为反应，系统产生次级作用或 者输出信号。色散关系是在研究散射问题中散射振幅的解析性质得出的一个结果，对于散射 过程，散射波必然在入射波到达之后才能产生，那么色散关系式的推导显然满足这一普遍的 反馈机制，是因果性的一个自然体现。
零角度散射振幅在整个物理叶（包括无穷远处）上是正则的，只有在左实轴上离散能 级的极点是例外。研究积分公式：
1 2������������
∮
������(0,������′)−������������ ������′−������
������������′
(1)
所选的积分路线图如下：
它由一个无穷远处的圆和绕右半轴割线的曲线所组成。沿圆弧的积分等于零，因为
值。
当 E 点趋于割线的上沿时,(4)式中沿实轴的积分应从下面绕过 E=E’极点，如果作一个无
限小的半圆绕过这一点如图：
色散关系式右边积分的相应部分给出 iImf (0,E) ，剩下从 0 到 ∞ 的积分必须取做主
值。结果得:
������e������(0, ������)
=
������������
关。
色散关系与复变函数
把散射振幅看作是进行散射的粒子能量 E 的函数，并把 E 形式地看作复变量，可以确 立有关散射振幅的一系列重要性质。然而非零角度的散射振幅的解析性质由于可能出现多余 的“奇点”以及无穷远处的非正则性而变得复杂。而零角度（向前）散射振幅的解析性质就简 单的多，色散关系正是在研究零角度散射振幅的解析性质得出的。在解决问题的过程中，复 变函数积分的重要定理--- Cauchy 定理起着重要作用。
������������
=
������������ ������������−������
,
������������
=
−(−1)������������ (2������������
+
1)
ℏ2������02������ 2������
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(3)
������������是能量为������������ 的状态的角动量。因此得:
������(0, ∞) − ������������ = 0,沿割线两沿积分后给出:
1 ������
∫0∞
������������������(0,������′) ������′−������
������������
′
(2)
对于正实值的 E，这个物理振幅是由割线的上沿给出的，割线的下沿则给出复共轭值。