复合材料层合板振动主动控制的方法研究

2 Α= 0, Β = 1, Χ = - 4 ( 3h ) ; ( 2) 一阶板理论 ( FPT ) : Α = 0, Β= 1, Χ = 0; ( 3) 古典板理论 (CPT ) : Α = - 1, Β= 0, Χ = 0
物理方程 Ρ1 Ρ2 Ρ6 = Ρ4 Ρ5
c11 c12 c16 c12 c22 c26 c16 c26 c66
中 的 应 用 时, 以 能 量 最 小 作 为 控 制 目 标; 文 献 [ 4, 5 ] 在研究板振动的控制中, 也是以能量最小为 准则确定 Q 和 R。 在直接采用外来控制力方面, 文 献 [ 6 ] 研究四边简支层合板的振动控制采用的 LQ R 方法, Q 和 R 的研究只是根据经验选取。 文 献 [ 7, 8 ] 等研究复合材料层合板和层合壳在各种 边界条件和各阶板理论的振动控制, 采用的是 L i2 ap unov 2 B ellm an 理论。但是在 LQ R 算法中, 既考 虑各种边界条件和板理论, 并在确定 Q 和 R 时给
收稿日期: 2004211209; 修改日期: 2004212214 基金项目: 教育部高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 (20030359005) 作者简介: 孙爱琴 (1972- ) , 女, 河南郑州人, 合肥工业大学硕士生; 王建国 (1954- ) , 男, 安徽怀宁人, 博士, 合肥工业大学教授, 博士生导师.
1 问题的提法
长度是 a , 宽度是 b, 总厚度是 h 的层合板, 有 n 个各向异性层。 每一层的材料属性对中面是对 称的。 上 x oy 坐标系位于中平面, z 轴垂直中平面。 表面 ( x 0 , y 0 ) 处承受交变的控制荷载 u ( t) , 将 u ( t) 按级数形式展开, 它的等效分布荷载为 q ( x , y , t) 。 如图 1 所示。
[4 ]
λ Ω 2m n Ω m n + 5 2m n 5 m n = e12 I 2W U 3m nU m n + V 3m nV m n + W 3m nW m n + { Ω 3m n Ω m n + 5 3m n 5 m n = W U 4m nU m n + V
4m n 1m n
・・
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合肥工业大学学报 ( 自然科学版)
・・
mn
第 28 卷
U m n、 V m n、 Ω m n 及 5 m n , 它们都是关于 W
,W
mn
的表
达式。 将求得的值代入方程 ( 4) 的 3 式, 可以化为 ・・ ∃m n ∃0 = W mn+ W mn Q , 其中 ∃m n , ∃ 1m n , ∃ 0 ∃ 1m n ∃ 1m n m n 详见文献 [ 4 ]。 ∃m n ∃0 当令 Ξ2 = ,l = , 方程又可以化为 ∃ 1m n m n ∃ 1m n
近年来, 系统的振动主动控制得到很大的发 展。 采用不同的控制原理和控制方法, 通过一定的 控制策略可以达到控制结构振动的目的。 LQ R 控 制方法的研究, 多是针对压电智能材料方面, 并采 用不同的物理量作为控制目标。 文献 [ 1 ] 采用独立 模态控制方法, 将结构的各阶模态的阻尼比作为 控制目标; 文献 [ 2 ] 在压电智能梁振动控制的研究 中, 以控制各阶模态所需的控制电能尽可能小为 目标; 文献 [ 3 ] 研究压电层合结构在噪声主动控制
W
mn
1 2 J 3= 0 0 0 q ( x , y , t) d x d y d t 2 其中, J 1、 动能、 控制力 q ( x , J 2、 J 3 分别是应变能、 y , t) 产生的能量。 Ν Ν Ν 1、 2、 3 是这 3 个部分在 J 函数
∫ ∫ ∫
Σ b a
中的权重。 一般取 Ν 1 = 1, Ν 2 = 1, Ν 3 = 0. 001。 将层合板振动的控制能量 J 3 Ν 3 与 LQ R 中的 控制能量
0 0 0
c44 c45
0 0 0
c45 c55
Ε 1 Ε 2 Ε 6 Ε 4 Ε 5
( 2)
0 0
0 0
0 0
在这里 ( Ε 1, Ε 2, Ε 6, Ε 4, Ε 5 ) 相当于弹性力学的 ( Ε x, Ε y, Ε z, Χ yz , Χ xz , Χ x y )。 几何方程 5u 1 ,Ε 5x 2 5u 2 Ε + 4 = 5z 5u 1 Ε + 5 = 5z 5u 1 Ε + 6 = 5y Ε 1 =
=
5u 2 ,Ε = 0 5y 3
( 3)
5u 3 5y 5u 3 5x 5u 2 5x
图 1 层合板振动
应用 H am ilton 原理, 层合板的振动控制方程最终 可以化为如下规则的形式 U 1m nU m n + V U 2m nU m n + V
1m n
ϖ (x , y ) ; 初始条件为: 初始振幅 w (x , y , 0) = A ϖ (x , y ) 。 初始速度: wα( x , y , 0) = B 求解最优化的控制荷载 q ( x , y , t) , 使得层合 板的无阻尼振动迅速消除。
V m n+ W
1m n
W
mn
+
・・
mn
λ Ω 1m n Ω m n + 5 1m n 5 m n = e6 I 2W
2m nV m n + W
W 2m n
m n+
2 基本振动控制方程
基本假设选用 ( 1) 式 5 w w 2 5 ) u1 = u + z Α + ΒΩ + Χ z ( + Ω 5x 5x 5 w w 2 5 u2 = v + z Α + Β5 + Χ z ( + 5) 5y 5y ( 1) u3 = w 其中, ( u 1 , u 2 , u 3 ) 是沿坐标轴 x , y 和 z 方向的位 移; ( u , v , w ) 是中平面上点的位移; 5 , Ω 分别是 y
z 平面和 x z 平面由于板弯曲产生的转角。 其中
, 5 详见文献 [ 4 ] 的 ( 11 ) 式, 四边简支的 u, v,w , Ω
边界条件对应的位移详见文献 [ 4 ] 的 ( 12 ) 式。 在 ( 1 ) 式中根据系数 ( Α ) 的选择, 可实现 3 种不 , Β, Χ 同板壳理论的基本假定: ( 1) 高阶板理论 (H PT ) :
+ W
・
mn
Ξm n = lm nQ m n
2
( 5)
令 X = [W
B = [ 0
mn
( t)
W
Ξm n
m n ( t)
] ,A =
T
0 - Ξm n
Ξm n
0
,
∫ F ( t) R F ( t) d t 相对应即 ΝJ = F ( t) R F ( t ) d t ∫
0 T
∞
∞源自文库
0
T
3
3
4 lm n T ] , 则通过变换可将 ( 5 ) 式转化成一 abΞm n ( 6)
第 28 卷 第 10 期 2005 年 10 月
合肥 工 业 大 学 学 报
( 自然科学版)
JOU RNAL O F H EFE I U N I V ER S IT Y O F T ECHNOLO GY
Vol . 28 N o. 10 O ct. 2005
复合材料层合板振动主动控制的方法研究
Study on active v ibra tion con trol of com pos ite lam ina ted pla tes
SU N A i2qin, W AN G J ian 2guo
( Schoo l of C ivil Eng ineering, H efei U n iversity of T echno logy, H efei 230009, Ch ina)
孙爱琴, 王建国
( 合肥工业大学 土木建筑工程学院, 安徽 合肥 230009)
摘 要: 根据 H am ilton 原理, 推导出复合材料层合板在四边简支的边界条件和各阶板理论下的振动控制方 程, 求得系统的频率、 振幅。 利用能量准则求出线性二次型最优调节器 (LQ R ) 方法中的权系数矩阵 Q 和 R 的 值, 求解 R icca ti 方程后, 得到位移和控制力; 并利用 M a them a tic 对系统进行仿真分析, 得到各种因素对系统 振动控制的影响, 为以后控制和优化系统提供有力的根据。 关键词: H am ilton 原理; 复合材料层合板; LQ R; 振动控制; 系统仿真 中图分类号: O 328 文献标识码: A 文章编号: 100325060 ( 2005) 1021312205
Abstract: A cco rd ing to the H am ilton p rincip le, the equa t ion of vib ra t ion con t ro l of com po site lam ina t 2 ed p la tes w ith the sim p ly suppo rted bounda ry cond it ion u sing va riou s p la te theo ries is deduced, and the frequency and am p litude of the system a re ga ined. T hen acco rd ing to the energy criterion the w eigh t coefficien t m a t rix Q and R in u sing the linea r quad ra t ic regu la to r m ethod a re g iven. T h rough so lving the R icca t i equa t ion, the d isp lacem en t and con t ro l fo rce a re ob ta ined. Sim u la t ion ana lysis of the system is ca rried ou t by u sing the M a them a t ic p rog ram , and the effect s of va riou s facto rs on the vi2 b ra t ion con t ro l of the system a re ana lyzed. T he resu lt s a re u sefu l to the vib ra t ion con t ro l and op t i2 m iza t ion of the system. Key words: H am ilton p rincip le; com po site lam ina ted p la te; linea r quad ra t ic regu la to r (LQ R ) ; vib ra 2 t ion con t ro l; sim u la t ion ana lysis
第 10 期
孙爱琴, 等: 复合材料层合板振动主动控制的方法研究
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予明确依据的目前还没有报导。 本文就是利用 H am ilton 原理, 求出复合材料 层合板在四边简支的边界条件和各阶板理论下的 振动控制方程, 利用能量准则并将其与 LQ R 中 的能量相对应, 确定出 Q 和 R 值。求解 R icca t i 方 程后, 给出系统主动振动控制的位移和控制力的 数值解。 分析了在四边简支的边界条件下, 各种板理 论, 不 同 板 厚 对 位 移, 控 制 力 的 影 响。 并 利 用 [ 9, 10 ] 。 M a them a t ic 对系统进行仿真分析
・・
mn
・・
W
mn
- Qmn
V m n+ W
4m n
W
mn
+
・・
2m n
{ Ω 4m n Ω m n + 5 4m n 5 m n = W U 5m nU m n + V 5m nV m n + W 5m nW m n +
W
mn
{ ( 4) Ω 5m n Ω m n + 5 5m n 5 m n = W 3m nW m n 其中, m , n 为振动的阶数。 利用 方 程 ( 4 ) 的 1、 2、 4 和 5 式, 可 以 求 出