圆的标准方程及切线问题

(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 y
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
C
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等 O 于半径r
M x
根据点到直线的距离公式，得
| 3×1— 4×3 — 7 | r=
说明： 1、特点：明确给出了圆心坐标和半 径。
2、确定圆的方程必须具备三个独 立条件。
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-3)2+(y-4)2=5
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习： 写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2
M ( x0 , y的0 )切线的方程。
P(x , y )
解法三（利用平面向量知识）：
M (x0 , y0 )
OM MP
OM MP= 0
O
x
x0x +y0 y = r2 x2 + y2 = r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为： (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
当P点在圆外时，常量K就是通过P点的切线长PT的二次
TT 幂径，垂即直的K弦长；P当T一P2点半在的圆平内方时，，即常量是与过点kP的(直1 TT )2
用解析几何阐述一下上述定理：
2
设圆的方程为：
Baidu Nhomakorabea
P
A C
f (x, y) x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 - 4F 0),
32+(-4)2
16
= 5
因此，所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2
256 =
25
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。 x 2+y2=196
例2 已知圆的方程是
x2 ，y求2经过圆r 2上一点
M ( x0 , y的0 切) 线的方程。
解:设切线的斜率为 则k， k - 1 .
2
12+(-1)2
所以切线方程为：y = x±
2
（2）在y轴上截距是 的切线2 方程。
y = ± x+ 2
例6：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y
解：建立如图所示的坐标系，设圆 心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆 的方程是x2+(y-b)2=r2 。
切 线 长
D 当f (x0, y0 ) 0时,一方面由f (x0, y0)的符号即可知P点在圆
内或圆外,另一方面它有上述定理的几何意义
B
例5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆 为A、B，求直线AB的方程。
的x两2条 切y2线，k 2切点
解：设切点A、B的坐标分别为 则切线AP、BP的方程分别为
(x1, y1), (x2 , y2 )
直线AB的方程为 ax by k 2
练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， ) 的切线方程。6
2x + y6 =10
练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求： （1）斜率等于1的切线的方程；
提示：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半径1，得： |b|
=1 解得b=±
1 k2
p A
y
B ox
解出k，进而求出切线方程。
例4、已知圆切线的斜率为k，求证：圆的切线方程为
y kx r 1 k2
证明：设切线方程为 y=kx+b，则圆心到切线的距离为
b
d
r
已
1 k2
知
切 线
b r 1 k2
斜
率
求 切
b r 1 k2
线
直线方程 y kx r 1 k2
y x
对于平面几何中的切割线定理与圆内相交弦定理，如图，两个定 理有统一的形式：PA*PB=PC*PD=K（常量）且有以下结论；
x1x y1 y k 2 , x2 x y2 y k 2 A
切 这两条切线都过点 P(a,b),
点
弦 ax1 by1 k 2 , ax2 by2 k 2
y
P
B
O
x
由以上二式可以看出：
ax by k 2
A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 都适合方程
它是一条直线方程，而过A、B的直线只有一条。
例3、若圆方程为
x2 y2 r 2点 P(x0 , y0 ) 在圆外，
求过点P与圆相切的直线方程。
x x 解：1)验证
0 即斜率k不存在时直线是否与圆相切。
2）设切线的斜率为k ,则直线方程为
过
圆 外
y - y0 k(x - x0 )
一
所以，圆心到切线的距离为
点
作 切 线
d kx0 - y0 r
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，所 以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可 表示为：
O
M r C
x
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
B 点P(x0, y0 )是平面上任意一点 .
若P点在圆外，则过P点的圆的切线长：| PT | f (x0, y0)
若P点在圆内，则过P点且与过P点的直径垂直的弦长的一半
| PT | - f (x0, y0)
证明只需要用到勾股定理即可。
显然，若P点在圆上，则 f (x0, y0 ) 0
T
D AC
P
例2 已知圆的方程是
M ( x0 , y的0 )切线的方程。
x2 ，求y经2 过圆r上2 一点 y
P(x , y )
解法二（利用平面几何知识）：
M (x0 , y0 )
在直角三角形OMP中
O
x
由勾股定理：OM2+MP2=OP2
x0x +y0 y = r2
例2 已知圆的方程是
x2 ，y求2经过圆r 2上一点 y
kOM
y
kOM
y0 x0
,
k - x0 . y0
经过点M的切线方程是
y
-
y0
-
x0 y0
(x
-
x0
),
O
因为点M在圆上,所以 x02 y02 r2,
所求的切线方程是
x0x y0 y r2.
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
M (x0 , y0 )
x
过 圆 上 一 点 作 切 线