3.2 一维连续型随机变量函数的分布

函数 x h( y)，则Y g(X )是连续性随机变量．其密度函数
为
fY
(
y)
f
X
[h( y)] 0
|
h(
y)
|
当 y
其他
其中 min{g(), g()}， max{g(), g()}．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别 记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
( y)
y1 e 2 (
y 1) 2
,
y
1，
0
, y 1
即
fY
( y)
1 2
y1
e2
,
y
1．
0
, y 1
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布小结
定 理 3.2 设 随 机 变 量 X 具 有 密 度 函 数 fX (x) ， x ，又设函数 y g(x)单调且处处可导，并具有反
因 为 Y g( X ) 在 ( , ) 取 值 ， 故 当 y 时 ， FY ( y) P{Y y} 0；当 y 时， FY ( y) P{Y y} 1．
当 y 时， FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y} P{X h( y)} FX [h( y)]．
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.6 设随机变量 X 有
解：设 Y 的分布函数为 FY ( y)，
概率密度
则
x
f
X
(
x)
8
0
当0 x 4 其他
求 Y = 2X+8 的概率密度．
FY ( y) P{Y y} P{2 X 8 y}
P{X ( y 8) / 2} FX [( y 8) / 2] .
概率论与数理统计
苏敏邦
第3章 连续型随机变量
3.1 一维连续型随机变量 3.2 一维连续型随机变量函数的分布 3.3 二维连续型随机变量及其的分布 3.4 条件分布与随机变量的独立性
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例3.6
定理3.2 例3.7
例3.8
同步练习 小结
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
同步练习
1.随机变量 X 的密度函数为
ex 当 x 0
f
(x)
0
当x0
求随机变量Y 2X 1的密度函数．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
解 设 y 2x 1 ， 则 y 0 ， 反 函 数 为 x y 1 ， 于 是 2
Y 2X 1的密度函数为
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
fY
(
y
)
f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
当 g(x)单调减少时， g(x) 0，此时有
fY
(
y)
f
X
[h( 0
y)][h(
y)]
当 y
其他
合并以上两式，定理 3.2 的结论正确．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
fY
( y)
y1 e 2 (
y 1) 2
,
y
1，
0
, y 1
即
fY
( y)
1 2
y1
e2
,
y
1．
0
, y 1
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
解 设 y 2x 1 ， 则 y 0 ， 反 函 数 为 x y 1 ， 于 是 2
Y 2X 1的密度函数为
fY
于是，
fY ( y)
dFY ( y) dy
yb 1
fX[
a
] |a|
,
x 即
fY
(
y
)
|
1 a
|
2
e 1
yb
a
2 2
2
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.7 设 随 机 变 量
X ~ N (， 2 )，证明 X 的经过
线性变换Y aX b (a 0) 后仍服从正态分布．
解
1 fY ( y) | a |
2
e 1
yb
a
2 2
2
e 1
| a | 2
y(ab)2
2(a )2
x
即有
Y aX b ~ N (a b，(a )2 )
特别地，若在本例中设
a 1 , b ，则得，
Y X ~ N (0，1).
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
于是 Y 的密度函数
fY
( y)
dFY ( y) dy
f
X
[(
y
8)
/
2]
1 2
,
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.6 设随机变量 X 有 概率密度
x
f
X
(
x)
8
0
当0 x 4 其他
求 Y = 2X+8 的概率密度．
于是 Y 的密度函数
fY ( y)
f
X
[(
函数 x h( y)，则Y g(X )是连续性随机变量．其密度函数
为
fY
(
y)
f
X
[h( y)] 0
|
h(
y)
|
当 y
其他
其中 min{g(), g()}， max{g(), g()}．
• 作业 • 第63页 10
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
当 y 时，
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y} P{X h( y)} FX [h( y)]．
y )( 3
y ) 当 y 0 ,
当y0
解： X 的密度函数为
ex 当 x 0
f (x) 0
当x0
因为函数 y x3是严格单调
增函数，其反函数为 x 3 y ，由
X 的密度函可数直接求得Y 的 密度函数.
即
fY
(
y)
1 3
e
3
yBiblioteka Baidu
1 3y
当 y 0．
0
当y0
第3章 连续型随机变量
如果函数 y g(x) 不是单调函数，先求Y 的分布函数 FY ( y)，然后根据 FY( y)= fY ( y)，求的Y 的密度函数．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.8 设随机变量 X 的
服从参数为 的指数分布，求
Y X 3的概率密度．
fY ( y)
f (3 0
y
8)
/
2]
1 2
,
注意到
x
f
X
(
x)
8
0
得
当0 x 4 其他 .
y8
fY
(
y)
32
当 8 y 16
0 其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
定 理 3.2 设 随 机 变 量 X 具 有 密 度 函 数 fX (x) ， x ，又设函数 y g(x)单调且处处可导，并具有反
fY
(
y)
f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
当 g(x)单调减少时， g(x) 0，此时有
fY
(
y)
f
X
[h( 0
y)][h(
y
)]
当 y
其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
fY
(
y)
f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
例 3.7 设 随 机 变 量
X ~ N (， 2 )，证明 X 的经过
线性变换Y aX b (a 0) 后仍服从正态分布．
解： X 的密度函数
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
（ x ）
由 y ax b，得 x h(x) y b ， a
且有，h(x) 1 ． a