演化博弈

种群收益与种群的繁殖是成比例的， 所以两个种群都会不断增长。 显然，鹰的增长速度要快于鸽子。 这样，鹰和鸽子的比例就会改变， 鸟 最后，鹰和鸽子的比例会是多少呢？ A 这就是一个演化战略，即ESS.
鸟B H D
14, -9
5, 5
H
D
-25, -25
-9, 14
8.3 最优反应动态

1、协调博弈的快速学习模 型（表2）
① ② ③




因为F(x) =x(1-x)[(a-b-c+d)x+(b-d)]，该复制动态最多有3个稳定状 态，分别为x＊=0、 x＊=1、 x＊=（b-d)/(a-b-c+d)。 一个稳定状态必须对微小扰动具有稳健性才能称为进化稳定策略。 这相当于要求当干扰使x出现高于x＊时， dx/dt=F(x) 必须小于0，即 F’(x＊) ＜0 。这就是微分方程的稳定性定理。 如 F(x) =x(1-x)(1-6x) ，不难解出x＊=0、 x＊=1、 x＊=1/6。 进一步证明，只有1/6才是ESS。因为F’(1/6) ＜0 ,而F’(0) ＞0 , F’(1) ＞0 。根据图2也可以看出只有1/6才是进化稳定策略。

局中 人1
A B
50，50
0，49


2、博弈方能够对上一阶段的结果 进行总结，对策略进行调整。这 种学习和调整策略的方式，就是 “最优反应动态”（Best Response Dynamics）的思路或 者说学习调整机制。



假设有5个局中人环山而居，如图1。每 个人都与左右邻居反复博弈。 由于每个人是有限理性的，所以，第一次 可能既采用A，也可能采用B策略。初次 博弈总共有32种情况（？），右边给出 了两种情况。32种中有不少实质上是相 同的，根据采用A策略的数量和分布，总 共有“0A‖、 “1A‖、 “2A相邻”、 “2A不邻”、 “3A相连”、 “3A不相 连”、 “4A‖、 “5A‖共8中情况。 5个局中人从各种可能的初次博弈情况出 发，在反复学习调整过程中，最终结果会 怎么样？是否初始博弈的情况不同，收敛 性和稳定状态也会不同
1
x
0
X*


2、蛙鸣博弈的复制动态和ESS
―黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，青蛙为什么鸣叫呢？为什么有 的青蛙叫，有的不叫呢？演化博弈强调与生物进化论的关系，这里把 青蛙特定器官、行为的进化作为一般2*2对称博弈进行分析。 现代青蛙演变成了雄蛙能够非常响亮地鸣叫，而雌蛙则有相当好的听 力。雄蛙之所以如此热衷于“歌唱”，当然不是要给人类提供免费的 音乐会，而是为了获得更多的交配和繁殖后代的机会，把自身的基因 最大限度的遗传下去。 “歌唱”相当于竞赛，但“歌唱”也要成本的，一是要耗气力，消耗 能量；二是可能给天敌发现的机会。另外，雄蛙在鸣叫上还存在“搭 便车”现象。在这个博弈中，鸣叫的雄蛙并不总是获利较多的，因此 现实中的雄蛙既有鸣叫的，也有不叫的。 所以，我们还可忍受青蛙的“歌唱”，也才会写出上面这样优美的诗 句。（后两句是什么？）
这个博弈称为协调博弈 （coordination game）,有两个 NE：（A,A),(B,B)。后者明显 帕累托由于前者。通常的预测 结果是(B,B)。 如果考虑风险因素，那么前者 是更好的预测。 由于现实中的理性是不完全的， 因此要在有限理性的基础上来 分析这个模型。
局中人2 A B
49，0
60，60
8.5 复制动态和演化稳定性： 两人非对称博弈



如果一个群体中成员之间的地位不一样，那么博弈方之间进行就 是非对称博弈。 非对称博弈是用两个（或多个）有差别的有限理性博弈方群体的 成员，相互之间随机配对博弈。 以市场阻入博弈为例（如图4，表6）。
进入 2 打击 （0，0） 容忍 （2，2） 1
m 1
鸣叫
m=1-p-z
混合 策略
不鸣叫
m=z z 1

根据复制动态方程，很容易求出3个稳定状态点。 x＊=0、 x＊=1、 x＊=(m-z)/(1-p). （1）当0<(m-z)/(1-p)<1时，即m>z和p-z<1-m同时成立,上述3个稳定 状态都是合理的，因为都处于0≤ x ≤ 1的有效范围。相位图如图2。 但只有是x＊=(m-z)/(1-p)演化稳定策略。这意味着如果上述由环境 条件等决定的蛙鸣的利益关系是稳定的，那么一旦发生少数雄蛙从 不叫到鸣叫的变异，那么这种变异雄蛙的数量会不断增加，知道占 整个雄蛙数量的(m-z)/(1-p)。如果超过这个水平，那么少量不叫的 变异又会在种群中扩散，因为此时不叫的“搭便车”的机会和利益 比较大，最终仍会回到上述比例。 （2）当(m-z)/(1-p)<0时，即m<z时，则只有两个不动点x＊=0、 x＊=1 符合要求，其中x＊=0为ESS。（试画出相位图） （3）当(m-z)/(1-p)> 1时，即m-z>1-p，也只有x＊=0、 x＊=1两点， x ＊=1为ESS。（是画出相位图）
8.4 复制动态和演化稳定性： 两人对称博弈


有限理性博弈方有多种不同的理性层次，学习的速度 差别也很大。最优反应动态是具有较快学习速度的有 限理性博弈方的策略调整和策略稳定性。下面讨论学 习速度较慢的动态策略调整及其稳定性。 分析框架是这种博弈方组成的大群体成员的随机配对 反复博弈。这一节讨论群体中博弈方是相似的，即进 行的博弈是博弈位置无差异的两人对称博弈。下一节 讨论群体成员是有差异的，进行非对称博弈的情况。
雄蛙2
鸣叫ห้องสมุดไป่ตู้不叫
m-z, 1-m
0, 0
雄蛙 1
鸣叫
不叫
p-z,p-z
1-m, m-z


当然，通常不会认为青蛙有进行如此复杂推理分析、最优选择的 能力。要更好的反映和理解青蛙鸣叫的进化过程，只能根据基本 上没有理性要求，从本能作用下分析。 重新从上面的收益矩阵出发，利用复制动态机制，得到： F (x) = dx/dt =x(1-x)[(p-z-1+m)x+(1-x)(m-z)]





假设在某一范围内有2只雄蛙。如果都不叫，雌蛙不来，都没有交 配的机会；如果1只叫，会吸引1只雌蛙，2只雄蛙都有获得交配的 机会，但机会不一样，叫的机会为m，0.5<m<1,但鸣叫的要付出成 本z；如果都鸣叫，则能吸引多只雌蛙，获得交配的机会为p m<p<1,各有成本z。如表4。 该博弈的NE取决于p、m、z的相对水平。首先，如果m-z<0，由于 p<1，必有p-z<1-m，两只雄蛙都不叫，不叫为NE。其次，如果mz>0，但p-z<1-m仍然成立，则存在两个NE，还存在一个混合NE。 最后，如果m-z>0,p-z>1-m，则都鸣叫为NE。结果可归结为m和z 坐标平面中的几个不同区域（图3）。
8.2 引例：鹰鸽博弈

1、鹰鸽博弈
鹰鸽策略模型是博弈中的一个经典模型。为了争夺资源（比如土地、 食物、政权、配偶等），群体中的成员之间要进行斗争，设每个成员 为博弈中的局中人，局中人可以采取两种策略，一种是恶意的强硬进 攻策略“攻击对方”（不顾一切争斗下去，直到一方失败退出竞争为 止），称之为“鹰策略”，用“H‖表示；另一种是善意的平和宽容策 略“和平相处”（允许对方分享利益，不主动争斗，在对方进攻时只 是虚张声势地吓唬一番，一旦争斗起来，为避免两败俱伤，采取退让 策略，但也可能给予一定的报复），称为“鸽策略”，用“D‖表示。 2、假设有一群鸟，一部分（25%）采用H，另一部分（75%）采用D， 其支付矩阵如下表1。


由于是一群鸟在博弈，那么每只鸟的每次博弈碰到另一只鸟采用H策略 的概率就有25%，而碰到采用D策略的鸟的概率为75%，这样可以计算 期望收益。假定z为鹰在整个种群中的比例（这里为0.25）。因此（1-z) 即为鸽子所占的比例。鹰的收益期望为： EV(H)=(-25z)+14(1-z)=14-39z 而鸽子的收益期望为： EV(D)=(-9z)+5(1-z)=5-14z 这里，EV(H)=4.25, EV(D)=1.5 。
不进
2
（1，5）
打击
容忍
2, 2 1, 5
1
进入 不进
0, 0 1, 5




由于是非对称博弈，问题中实际上有两个不同的博弈 方，博弈方1是潜在的进入者，博弈方2是阻入者，每 次博弈实际都是前一群体的一个成员与后一群体的一 个成员进行的。 分析框架：反复在两个群体中各随机抽取一个成员配 对进行。博弈方的学习和策略模仿局限在他们所在群 体内部，策略调整的机制仍然是与对称博弈中相似的 复制动态。 分别对两个群体成员进行复制动态和演化稳定策略分 析。 假设博弈方1中，采用“进入”策略的占的比例为x； 在博弈方2中，采用“打击”策略的占的比例为y。


关于信任博弈
Berg等人于1995年首先对信任博弈进行了研究，假设两 个参与者P（提议者，Propose）和R（响应 者,Responder），P首先从实验组织者那里得到数量为m 的钱，然后自行决定把数额为x的钱交给R（0 ≤ x ≤ m）。 实验者再把3x的钱奖励给R。最后，R可以自由返回给P 数额为y的钱。根据逆向归纳法，实验的结果应该是：不 管P给了R的x是多少，R的最优策略是y=0，因此P的最优 策略应该是x＝0。但实验的实际结果完全不是这样，大 部分的提议者总会把一定数量的钱交给R,而大部分的R也 会把一部分奖励分给P，而且，x和y之间有很强的正相关。

1、一般两人对称博弈的复 制动态和ESS
如表3是一个简单的2*2对称博弈， 如果不给出收益的具体数值，该博 弈有哪些NE并不清楚。考虑该博弈 的有限理性问题，对于有限理性的 博弈方来说，能否知道NE并不重要， 不管是否NE策略，任何策略都可能 有部分博弈方会采用。 在一个群体中，有比例为x的人采用 策略1，（1-x）的人采用策略2。采 用两种策略的博弈方的期望收益和 群体平均收益分别为：


（1）博弈方1的收益计算
设“进入”、“不进”两类博弈方的期望收益以及平均收益分别为 u1e、u1n、u1a： u1e= y*0 +(1-y)*2 =2(1-y) u1n= y*1 +(1-y)*1 =1 u1a = x u1e +(1-x) u1n =2x(1-y)+(1-x)
B B
A
A B
B A
A
A A


假设 xi(t) 为在t 时期的邻居中 i 采用策略 A 邻居的数量，该数量有0、1、 2三种可能。采用B 邻居的数量相应为2- xi(t) ，也有0、1、2三种可能。 针对第t期的情况， i 采用A的得益为: xi(t) *50+[2-xi(t)]*49= xi(t)+98 ， 采用B则得益为: xi(t) *0+[2-xi(t)]*60= 120-60xi(t)。 因此根据最优反应动态机制，当 xi(t)+98 ＞120-60xi(t) 时，即 xi(t) ＞22/61,局中人 i 在 t+1 期会采用 A ; 而当 xi(t)＜22/61 时，会采用 B 策略。 由于xi(t) 只能取0、1、2，所以，i 在t期，如果邻居中有采用A的，下一 期也采用A，如果没有，下一期就采用B。这里i在下一期采取的策略跟 上一期没有关系。 5个局中人都适应上述规则，所以，初次博弈为“0A‖时，以后都还是采 用B策略；而其余的各种情况，经过或多或少时期的最优反应动态法则 的调整，最终都会收敛到所有局中人都采用A的稳定状态。（可以对前 面2种情况演练一下）
演化博弈
8.1 有限理性


在新古典经济学和大多数的博弈论中都假定，人是 追求收益最大化的，并且可以无误地选择最优反应 战略。但很多人认识到人的真实理性是有限的。赫 伯特· 西蒙研究认为，如果人们在某一问题有满意解 时，就不会再去寻找最优解。 在经典博弈论中，假设参与人具有使自己支付最大 化的主观意识与对于对手策略的最优反应能力，在 实际中，这种假设可能是不现实的。譬如在“象棋” 中，棋手不可能在每一步都能够采取最优的反应行 动。因而有必要把参与人的完全理性行为假设推广 为不完全理性行为的假设。
乙 方
策略1 策略2
b, c
d, d
甲 策略1 方 策略2
a,a
c, b
根据上述收益得到复制动态方程： dx/dt = x (R1 - Ra) =x(1-x)[(a-b-c+d)x+(b-d)]. 令：dx/dt=F(x) F(x)为x的单元函数。

R1 = x*a +(1-x)b R2 = x*c +(1-x)d Ra = xR1 +(1-x) R2