近世代数计算题

计算题

1、在整数环Z 中，令I = {5k |k ∈Z } （1）确定商环Z /I 中的元素。

（2）Z /I 是不是一个整环？求Z /I 的特征。 2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。 3、求模6的剩余类环Z 6的所有理想。

4、在10次对称群S 10中，σ =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1968752431010987654321.

（1）将σ表成一些不相交轮换之积。 （2）求| σ|。

5、设G = {2m 7n |m ，n ∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f ：2m 7n |→7n 是G

到G 的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。

6、设（Z 16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z 16的所有理想，求Z 16的所有非零理

想的交。

7、在7次对称群S 7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。 8、在高斯整数环Z[i]={a + bi |a , b ∈Z,i 2

=-1}中,(1)求主理想(1+i )，(2)求

)

1(]

[i i Z +。

9、给出整数加群Z 的所有自同构。

10、设R=Z 4是模4的剩余类环,确定Z 4的所有理想。

11、设R=Z[i]={a + bi |a , b ∈Z ,i 2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。 12、设G={ 2m 3n | m, n ∈Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m 3n 2m (1)验证f 是G 到G 的同态映射， (2)确定Ker f 。 13、找出三次对称群3S 的所有子群；找出3S 关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。

14、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。 15、求出模6的剩余类加群Z 6的所有自同构。

16、（10分）求模12的剩余类加群（Z 12，＋）的所有自同构映射

17、设Z

[]i ＝{}1,,|2

-=∈+i

Z b a bi a 是高斯整数环，求Z []i 的商域。

18、求数环Z[5]={a+b 5a ,b ∈Z}的全部自同构映射。

19、求高斯整数环Z[i]={a +bi a ,b ∈Z,i 2=－1}的主理想(1-i ) 以及剩余类环

)

1(]

[i i Z -

20、设Z 8是模8的剩余类环,在Z 8中求x 3的根.

21、在3次对称群S 3中,令H={(1),(12)},试确定H 在S 3中的左陪集分解式。 22、确定高斯整数环Z [i ]的全部自同构映射.

23、试写出模12的剩余类加群G ＝（Z 12，＋）的所有子群及G 的所有

生成元。

24、设Z 是整数环，求（4，6）＝？ 25、找出模8的剩余类环)

8(Z

的一切非零理想，并求它们的交。

26、 设G={2m 5n m ,n ∈Q }是关于普通的数的乘法作成的群, f:2m 5n 5n 是

G 到G 的一个同态映射,求f 的核ker f 。

27、设(Z 12,+,•)是模12的剩余类环,求Z 12的一切理想,以及一切非零理想的交。 28、试写出三次对称群的所有不变子群。

29、已知I ＝{6k|k ∈Z}是偶数环R 的理想，求商环I R 的所有元素。

30、求数环{}

Z b a b a Z ∈-+=-,7]7[的所有单位。 31、确定模10的剩余类加群的所有子群。 32、设G 是一个阶为15的交换群。 （1） 证明G 是循环群。 （2） 求出G 的所有子群。

33、若S 3是3次对称群，{}yx xy S y S x x S C =∈∀∈=,,|)(333 （1） 求C （S 3）。

（2） 当n ≥ 3时，C （S n ）呢 ?

34、在3次对称群S 3中，H =｛（1），（23）｝。

（1）试给出H 在S 3中的左陪集分解式 （2）H 是不是S 3的正规子群？

35、设G 是一个21阶交换群，H =｛x |x e x G =∈14,｝ (1) 证明：G H ≤。 （2）确定出H 。

36、设Z 是整数加群，求Z 的自同构群Aut (Z )。 37、设Z 是模6的剩余类加群，求Aut (Z 6)。 38、 在整数加群Z 中，S=｛2004,23,32｝，求。 39、设G =是一个20阶循环群，试求G 的所有生成元。 40、确定3次对称群S 3的所有正规子群。 41、设N G ，|N

G

|=12,N

G

g G g 在,14,=∈中求。

42、在5次对称群S 5中，设置换σ=（12345） （1）求置换δ，使σδ=2。 （2）求置换δ，使14-=σδ。

43、在S 9中，σ=（1965）（1487）（1923），将σ表成一些不相交轮换之积，且求σ。

44、在S 8中，H =<σ>, σ=（1487）（1865）（134），试求[G ：H ]。 45、求Z 到Z m 的所有同态映射。 46、求Z m 到Z 的所有同态映射。 47、求Z 4到Z 6的所有同态映射。 48、设H G ，N G ，)(,,:,G g gN gH N

G

H

G f N H ∈∀→⊆ 令。

（1）证明：f 是群H

G 到N

G

的一个同态映射。

（2）计算Kerf 。

49、设G=｛3m 5n |m,n Q ∈｝，G 对通常数的乘法构成群。令

Kerf Q n m G G f m n m 求),,(353,:∈→ 。

50、设G 与H 是两个群，|G |=100，|H |=21，f 是G 到H 的同态映射，求 f 。