数学物理方法第二篇第2章

第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类
§2.2.1数学物理方程
数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程.
数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类：
1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播
速度.tt u 表示22t u ∂∂，xx u 表示22x
u ∂∂；二维波动方程u a u tt ∆=2，∆是拉普拉斯算符2222y x ∂∂+∂∂≡∆（二维的），22
2222z
y x ∂∂+∂∂+∂∂≡∆（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程.
3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程.
02222=∂∂+∂∂≡∆y
u x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要
的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型.
对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题.
边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n
u t M u D M =∂∂+∂∈βα，D ∂表示区域D 的边界，n 是D ∂的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述.
如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题.
例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)
端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.
设杆的两端的坐标分别为x =0与x =l ,
(1)端点固定，表明端点无位移，所以有
0),(,0),0(==t l u t u ,
(2)端点自由，此时在端点处无外力作用，因此有边界条件
0),0(=∂∂t x
u 或0),0(=t u x , 因为在端点x =0点的拉力为S t x
u E ⋅∂∂⋅),0()0(，E 为杨氏模量，S 为细杆的截面积.
同理在端点x =l 处有边界条件
0),(=∂∂t l x
u 或0),(=t l u x . (3)端点固定在弹性支承上，此时端点受的外力与支承的变形成比例.例如，在杆的左端x =0处有弹性支承,支承的弹性系数为k ，支承对杆的作用力为S t x
u E ⋅∂∂⋅
),0()0(,且其正向与x 轴方向相反，因此杆对支承的作用力亦为S t x
u E ⋅∂∂⋅),0()0(,但其正向与x 轴方向相同，支承的伸长与杆的位移一致，因此有),0(),0()0(t ku S t x u E =⋅∂∂⋅，亦即 0)(0=+∂∂-
=x u x u σ， 其中S E k )0()0(=
=σσ.
同理，对x =l 处弹性支承的情形，类似地有
0)(=+∂∂=l
x u x u σ， 这里S l E k l )()(=
=σσ. 例2．对于热传导问题的边界条件
设物体所占的空间域为Ω，其边界为Σ，即Ω∂=∑.
(1)如果边界Σ上的温度已知，则边界条件为第一边界条件， ),,(t M u ϕ=Σ Σ∈M
这里ϕ为已知的函数.
(2)如果边界Σ上流入的热流密度为已知),(t M Q n ψ=-Σ，这里
n Q 代表热流密度在边界面的外法线方向n 的分量，
ψ为已知的函数，按傅立叶定律，n
u k Q n ∂∂-=，因而得第二边界条件 ),,(1t M k
n u ψ=∂∂Σ Σ∈M 如果边界是绝热的.则0=ψ，即边界绝热的条件为0=∂∂Σ
n u . (3)如果物体的表面与外界通过辐射或者对流等过程交换热量，则得边界条件为第三边界条件
0][hu hu n
u =+∂∂Σ，
这里0u 代表外界温度，h 是一个正的常数.
§2.2.2二阶线性偏微分方程分类和简化
2.2.2.1二阶方程的分类
上一段我们讨论了三种典型的数理方程：
波动方程：),(2t x f u a u xx tt +=,
热传导方程或扩散方程：),(2t x f u a u xx t +=,
拉普拉斯方程：0=+yy xx u u .
这些方程各代表不同性质的物理过程，因此它们的解也各有不同的特性，但是这些方程都是二阶线性偏微分方程，这里以两个自变量的二阶线性偏微分方程
02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx
为例，讨论分类和简化，其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 都只是自变量x 和y 的函数.
二阶线性偏微分方程怎样进行分类和简化呢？我们通过作自变量的变换
⎩
⎨⎧==),(),(y x y x ψηϕξ 并假设在所考虑的平面区域内雅可比（Jacobi ）行列式0)
,(D ),(D ≠y x ηξ，将方程化为标准型，这里要求雅可比行列式不为零是为了保证这种变换是可逆的，从而对二阶线性偏微分方程进行分类，那么这样的
),(),,(y x y x ψηϕξ==是如何确定的呢？为此，称一阶常微分方程
02)(2=+-c x
y b x y a d d d d 为二阶线性偏微分方程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx 的特征方程.请注意，它的特征方程的系数与二阶线性偏微分方程的二阶偏导数yy xy xx u u u ,,的系数有一定的对应关系，xx u 的系数a 与特征方程中x y d d 的二次项系数相同，而xy u 的系数与特征方程中x y d d 的系数互为相反数，yy u 的系数与特征方程的常数项相一致.
特征方程是关于x
y d d 的一元二次方程，它的判别式ac b y x -≡∆2),( 的符号决定着特征方程解的情况.依据判别式),(y x ∆的符号对二阶线性偏微分方程进行分类：
当0),(>∆y x 时称方程为双曲型方程；当0),(=∆y x 时称为抛物型方程；当0),(<∆y x 时称为椭圆型方程.
2.2.2.2二阶线性偏微分方程的标准形式
现在分别就三种类型的方程讨论它的简化问题
(1)双曲型方程
例3．把方程
06232=++--y x yy xy xx u u u u u
化为标准形式，并确定它的类型.
解：写出它的特征方程
032)(
2=-+x
y x y d d d d ， 解得 01=-x y d d ，或03=+x y d d . 积分得方程的通解
1c x y =-，23c x y =+，21,c c 为任意常数.
特征方程的解称为特征线，因此0),(2>-≡∆ac b y x 有两族实的特征线.这里0431>=+=∆，故这个偏微分方程属于双曲型方程. 作变量变换，令
x y -=ξ，x y 3+=η， 它的雅可比行列式041
311),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ， 为方便仍用),(ηξu 记为),(y x u ，所以
ηξηξu u u u u x 33)1(+-=⋅+-=, ηξu u u y +=,
ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx 9633)1(33+-=⋅+-+⋅-=,
ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xy 3233++-=++--=,
ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u yy ++=+++=2,
把它们代入原方程，原方程就简化成
012416=++-ηξξηu u u ，
化简得双曲型方程的标准形式
ηξξηu u u 4
341+= (2)抛物型方程
例4．确定方程
02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ，
（0≠a 常数） 的类型并把它化为标准形式.
写出它的特征方程
02)(2=+-a x
y a x y a d d d d ， 判别式022=-=∆a a ，故方程是抛物型的，这时特征方程只有一族特征线 1c x y =-，
那么做变量变换只有 x y -=ξ，另一个变量η怎么引进呢？可以做最简单的变换，只要保证这种变换的雅可比行列式不为零就可以.例如这里令x =η，那么有
010
111),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ 记),(),(ηξu y x u =，就有
ηξηξu u u u u x +-=⋅+-=1)1(, ξηξu u u u y =⋅+⋅=01,
ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+⋅-+--=2)1(1)()1(, ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=⋅+⋅+⋅-⋅-=0101,
ξξξηξξu u u u yy =⋅+⋅=01,
代入原方程中，化简为
0)(=++--u bu u c b au ηξηη，
得到这个方程的标准形式为
u a
u a b u a c b u 1---=ηξηη. (3)椭圆型方程
例5．试确定方程
0254=++++y x yy xy xx u u u u u
的类型，并把它化为标准型.
写出它的特征方程
054)(2=+-x
y x y d d d d ， 这时01522<-=-=∆，所以方程是椭圆型的.
解特征方程 0)2(=--i x y d d ，或0)2(=+-i x
y d d 积分得两组复特征曲线：
12c ix x y =+-，22c ix x y =--，
取实部、虚部，引进变量变换，令
y x +-=2ξ，x =η， 这是实变量的实变换，且010112)
,(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，
记),(),(ηξu y x u =，于是有
ηξηξu u u u u x +-=+-=2)2(, ξηξu u u u y =⋅+⋅=01,
ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+-=44)2(24,
ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=⋅+⋅+⋅--=201022,
ξξξηξξu u u u yy =⋅+=0,
代入方程，化简得
0=++ηηηξξu u u ，
于是有椭圆型方程的标准形式
ηηηξξu u u -=+
应当指出，由于所取的自变量的变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=的形式不是唯一的，所以方程的标准形式也不是唯一的，但方程的类型是不变的，即判别式ac b -=∆2的符号与自变量变换的选取无关.
因为判别式ac b -=∆2一般是),(y x 的函数，因此一个一般的线性方程
02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx
在不同区域内可以属于不同类型.例如特里谷米(Tricomi)方程
0=+yy xx u yu
的判别式y -=∆，因此，当0<y 时方程属于双曲型的；当0=y 时方
- 11 - 程是抛物型的；当0>y 时方程为椭圆型的.
由此可见，数理方程中的波动方程),(2t x f u a u xx tt =-是双曲型方程；一维热传导方程),(2t x f u a u xx t =-是抛物型方程；拉普拉斯方程是椭圆型方程，这三类方程所描述的物理现象的本质不同，因而这三类方程的性质也不同，而二阶线性偏微分方程的分类正是这种客观现象的实际反映.。