第6章 离散系统状态空间分析

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第6章 离散系统状态空间分析
2．串行程序法 串行程序法也叫迭代程序法，当 G(z) 的零极点都已知时， 用这种方法比较方便。因此，在串行程序法中，应将Z传 递函数G(z)表示成零极点形式。 例6.5 设Z传递函数为 状态方程和输出方程。
G( z )
Y ( z) z 2 2z 1 G( z ) 2 试用串行法求 U ( z) z 5z 6
x(k 1) A(k ) x(k ) B(k )u(k ) y(k ) C (k ) x(k ) D(k )u(k )
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6.1.2 由Z传递函数求状态方程
设离散系统的Z传递函数的一般形式为
Y ( z ) b0 z m b1 z m1 bm1 z bm G( z ) n U ( z) z a1 z n1 an1 z an
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6.1 线性离散系统状态方程
离散时间系统可以用差分方程或脉冲传递函数来描述， 它们都是基于系统输入输出特性的描述。如何根据系统 的差分方程和 Z 传递函数描述得到它的基于输入 —— 状 态——输出的状态空间描述，是本节所要讨论的内容。
则可得到离散状态方程和输出方程分别为
x1 (k 1) x2 (k ) x (k 1) x (k ) 2 3 x (k 1) x (k ) n n 1 xn (k 1) an x1 (k ) a1 xn (k ) bu (k ) y (k ) x1 (k )
式中n≥m，ai，bj为常系数。
1．并行程序法
也称为部分分式法，当Z传递函数G(z)的极点已知时， 将 G(z) 表示成部分分式和的形式，用这种方法比较简便。 下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明这种方 法求状态方程和输出方程。
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例6.3 设Z传递函数为 状态方程和输出方程。
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其状态方程和输出方程可表示为
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ) y(k ) Cx(k ) Du (k )
式中系数矩阵A、B、C、D分别为
1 0 0 h1 0 h 0 0 2 A , B 0 0 1 hn 1 an an 1 a1 hn C 1 0 0 , D b0
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因而有关系式
zx1 ( z ) 2 x1 ( z ) U ( z ) zx2 ( z ) x2 ( z ) x3 ( z ) zx ( z ) x ( z ) U ( z ) 3 3
对应的状态方程为
x1 (k 1) 2 0 0 x1 (k ) 1 x (k 1) 0 1 1 x ( k ) 0 u ( k ) 2 2 x3 (k 1) 0 0 1 x3 ( k ) 1
0 B , C 1 0 0 0 b
an 1
例6.1 设线性定常差分方程为
y(k 3) 5 y(k 2) 3 y(k 1) 6 y(k ) 2u(k )
试写出状态方程和输出方程。
解：由已知条件知 a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到状态方 程和输出方程分别为
或
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ) y(k ) Cx(k )
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式中x(k)是n维状态向量，A、B、C 分别为n×n、n×1、 1×n矩阵称为系数矩阵。表示为
0 x1 (k ) 0 x (k ) 2 x(k ) , A 0 x ( k ) n an 1 0 0 0 0 1 a1
G( z )
是，得到
Y ( z)
Y ( z) 1 1 1 U ( z ) z 2 ( z 1) 2 z 1
1 1 1 U ( z) U ( z ) U ( z) z2 ( z 1) 2 z 1
则对应的方块图如图6.2所示。
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Y ( z) z 2 2z 1 试用并行法求 G( z ) 2 U ( z) z 5z 6
解：将G(z)表示成极点形式 于是，得到
Y ( z) z2 2z 1 1 4 G( z ) 2 1 U ( z) z 5z 6 z 2 z 3
Y ( z) U ( z) 1 4 U ( z) U ( z) z2 z 3
其中
h1 b1 a1b0 h (b a b ) a h 2 2 2 0 1 1 h3 (b3 a3b0 ) a2 h1 a1h2 hn (bn anb0 ) an 1h1 an 2 h2 a1hn 1
当m=0时，差分方程的形式为:
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k ) bu(k )
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若选取状态变量为
x1 (k ) y (k ) x (k ) y (k 1) x (k 1) 2 1 x3 (k ) y (k 2) x2 (k 1) xn (k ) y (k n 1) xn 1 (k 1)
解：将G(z)表示成零极点形式
Y ( z) 3 z 5 / 3 1 U ( z) z 2 z 3
3 z 5 / 3 U ( z) z 2 z 3
于是，得到
Y ( z) U ( z)
则对应的方块图如图6.3所示。
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U ( z)
3 z2
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2．差分方程包含输入函数的高阶差分
当m=n（也适用于m<n）时，差分方程的形式为
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k ) b0u(k n) b1u(k n 1) bnu(k )
若选取状态变量为
x1 (k ) y (k ) b0u (k ) x (k ) y (k 1) x (k 1) h u (k ) 2 1 1 x3 (k ) y (k 2) x2 (k 1) h2u (k ) xn (k ) y (k n 1) xn 1 (k 1) hn 1u (k )
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以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法， 由于状态变量的选择不是惟一的，因此状态方程也不是 惟一的，上面只介绍了线性定常差分方程，而对于线性 时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方程， 且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方 程，只是由于时变差分方程的系数 ai，bj（i=1,2,…,n； j=0,1,…,m）都是 k的函数，即 ai(k)，bj(k)，因此，系数 矩阵A，B，C，D也都是k的函数，即A(k)，B(k)，C(k)， D(k)。于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程 和输出方程的一般形式为：
x1(z)
z 5/3 z 3
Y ( z) x2(z)
3 x ( z ) U ( z) 选取的状态变量为： 1 z2 x ( z) z 5 / 3 x ( z) 2 1 z 3
图6.3 例6.5方块图
Y ( z) 1 1 1 U ( z) U ( z ) U ( z) z2 ( z 1) 2 z 1 x1 ( z ) x2 ( z ) x3 ( z )
由于
则有 y(k ) x1 (k ) x2 (k ) x3 (k )
或
x1 (k ) y (k ) 1 1 1 x ( k ) 2 x3 (k )
1 z2
x1(z) Y(z)
U ( z)
1 z 1
-1
1 z 1
x3(z)
x2(z)
图6.2 例6.4方块图
选取的状态变量为
1 x ( z ) U ( z) 1 z2 1 x3 ( z ) x2 ( z ) z 1 1 x ( z ) U ( z) 3 z 1
x1 (k 1) 2 x1 (k ) u (k ) x2 (k 1) 3x2 (k ) u (k )
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对应的状态方程为
x1 (k 1) 2 0 x1 (k ) 1 x (k 1) 0 3 x (k ) 1 u (k ) 2 2
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6.1.1 由高阶差分方程求状态方程
设n阶线性定常差分方程的一般形式为
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k ) b0u(k m) b1u(k m 1) bmu(k )
式 中 ai，bj（i=1,2,…,n，j=0,1, …,m） 由系 统 结 构 参 数决定的常系数，一般有n≥m。 1．差分方程不含输入函数的高阶差分
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x1 (k 1) 0 1 0 x1 (k ) 0 x (k 1) 0 0 1 x (k ) 0 u (k ) 2 2 x3 (k 1) 6 3 5 x3 (k ) 2 x1 (k ) y (k ) 1 0 0 x ( k ) 2 x3 (k )
则对应的方块图如图6.1所示。
第6章 离散系统状态空间分析 1 U ( z)
1 z2
x1(z)
Y ( z)
x2(z)
-4
图6.1 例6.3方块图
选取的状态变量为
1 x ( z ) U ( z) 1 z2 x ( z) 1 U ( z) 2 z 3
则对应的差分方程为
系数矩阵A的对角线上的两个元素即为G(z)的两个极点。 由于
Y ( z) U ( z)
则有
1 4 U (z) U ( z ) x1 ( z ) 4 x2 ( z ) U ( z ) z2 z 3 y(k ) x1 (k ) 4x2 (k ) u(k )
于是得到输出方程为
x1 ( k ) y (k ) 1 4 u (k ) x ( k ) 2
第6章 离散系统状态空间分析 Y ( z) 1 G ( z ) 例6.4 设Z传递函数为 试用并 U ( z ) ( z 1) 2 ( z 2)
行法求状态方程和输出方程。 解：将G(z)表示成极点形式