形式语言与自动机课件_slide
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形式语言与自动机-课程介绍 ppt
计算机科学：是关于计算知识的有系统的整 体。
-
8
2、为什么学习形式语言与自动机
计算机科学的两个主要部分：
构成计算基础的一些基本概念和模型；
设计计算系统(软件和硬件)的工程技 术（设计理论的应用）
本课程着重介绍第一部分（涉及到一些 第二部分的应用），通过形式化技术对 大家进行思维训练，为今后的学习打好 理论基础。
最初的应用：编译 ―― 让计算机按照语法规 则将高级语言方便地翻译成机器语言。
-
15
为什么用形式语言
现在： 已广泛应用在人工智能、图象处理、 通信协议、通信软件等多个领域
在计算机理论科学方面：
是可计算理论（算法―在有限步骤内求得 解、算法复杂性、停机问题、）、定理自 动证明、程序转换（程序自动生成）、模 式识别等的基础。
形式语言是某个字母表上的字符串的集合， 有一定的描述范围。
-
12
为什么用形式语言
例1： 汉语： <主> <谓> <宾> ―― 用数 字、符号等形式化的东西来描述语言 我吃饭 ―― 语法正确 我饭吃 ―― 语法错误 饭吃我 ―― 语法正确，语义错误
-
13
为什么用形式语言
例2：T为PASCAL语言所用的全部符号的集合。 正确的PASCAL程序就是T上的语言。
-
4
经典参考书
书名 Introduction to Automata Theory,
Languages, and Computation （Second Edition）
作者
John E. Hopcroft （Cornell） Rajeev Motwani （Stanford） Jefferey D. Ullman （Stanford）
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8
2、为什么学习形式语言与自动机
计算机科学的两个主要部分：
构成计算基础的一些基本概念和模型；
设计计算系统(软件和硬件)的工程技 术（设计理论的应用）
本课程着重介绍第一部分（涉及到一些 第二部分的应用），通过形式化技术对 大家进行思维训练，为今后的学习打好 理论基础。
最初的应用：编译 ―― 让计算机按照语法规 则将高级语言方便地翻译成机器语言。
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15
为什么用形式语言
现在： 已广泛应用在人工智能、图象处理、 通信协议、通信软件等多个领域
在计算机理论科学方面：
是可计算理论（算法―在有限步骤内求得 解、算法复杂性、停机问题、）、定理自 动证明、程序转换（程序自动生成）、模 式识别等的基础。
形式语言是某个字母表上的字符串的集合， 有一定的描述范围。
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12
为什么用形式语言
例1： 汉语： <主> <谓> <宾> ―― 用数 字、符号等形式化的东西来描述语言 我吃饭 ―― 语法正确 我饭吃 ―― 语法错误 饭吃我 ―― 语法正确，语义错误
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13
为什么用形式语言
例2：T为PASCAL语言所用的全部符号的集合。 正确的PASCAL程序就是T上的语言。
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4
经典参考书
书名 Introduction to Automata Theory,
Languages, and Computation （Second Edition）
作者
John E. Hopcroft （Cornell） Rajeev Motwani （Stanford） Jefferey D. Ullman （Stanford）
形式语言与自动机 文法的一般理论ppt课件
算术表达式>） <算术运算符>: := +|-|*|/ <常量>: := 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9 <变量>::= a|b|c|d|e|f|g|h|i|j|k|l|m|n|o|p|q|r|s|t|u|v|w|x|y|z
2020/6/30
.
4
问题的提出
例2.2 根据例2.1中的各规则，下述的字符串 WHILE x≤5 DO x := (x+2) 是一个合法的语句;
因为： 整个符合<当语句>的定义结构； x≤5是<布尔表达式>的一种； x := （x+1）是<赋值语句>的一种（从而也是<语
句>的一种）；
2020/6/30
.
5
语法树(分析树，Parser Tree)
2020/6/30
.
6
问题的提出
例2.3 用下述语法规则定义英语中的句子。
<Sentence> →<Noun phrase><Verb phrase> <Noun phrase> →<Article><Noun> <Article> →the∣a <Noun> →apple∣cat∣man <Verb phrase> →<Verb><Noun phrase>∣<Verb> <Verb> →eats∣sings∣runs
S 000 111。在这个推导中，0A1，00A11，000A111 ,
G
000111都是句型，而000111又是句子。
在今后写推导式子的时候，若所指的文法是明确无误的，则可将
2020/6/30
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4
问题的提出
例2.2 根据例2.1中的各规则，下述的字符串 WHILE x≤5 DO x := (x+2) 是一个合法的语句;
因为： 整个符合<当语句>的定义结构； x≤5是<布尔表达式>的一种； x := （x+1）是<赋值语句>的一种（从而也是<语
句>的一种）；
2020/6/30
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5
语法树(分析树，Parser Tree)
2020/6/30
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6
问题的提出
例2.3 用下述语法规则定义英语中的句子。
<Sentence> →<Noun phrase><Verb phrase> <Noun phrase> →<Article><Noun> <Article> →the∣a <Noun> →apple∣cat∣man <Verb phrase> →<Verb><Noun phrase>∣<Verb> <Verb> →eats∣sings∣runs
S 000 111。在这个推导中，0A1，00A11，000A111 ,
G
000111都是句型，而000111又是句子。
在今后写推导式子的时候，若所指的文法是明确无误的，则可将
形式语言与自动机基础PPT课件
f(qoe,0)= qee f(qoe,1)= qoo f(qeo,0)=qoo f(qeo,1)= qee
f（ qeo ,1）= qeeZ
所以串$1= 110101可以被M1接受。
f(qoo,0)=qeo f(qoo,1)= qoe
f（ qee , 110101 ）= f(f（ qee ,11010）,1)=
Ch2 形式语言自动机理论基础 2.2 自动机基础 2.2.2 非确定的FA(NFA)
一. NFA的定义
DFA的确定性表现在其映射函数是一个单值函 数。但是实际问题中，映射函数往往是一个多值函 数。
例如，源程序中扫描到一个字母时，不同的语言 对应多种情况：
FORTRAN中： 标识符/格式转换码E、D…
Ch2 形式语言自动机理论基础 2.2 自动机基础
第 2 章 形式语言与自动机基础
2.2 有限自动机基础 2.2.1 确定的有限状态自动机(DFA) 2.2.2 非确定的有限状态自动机(NFA) 2.2.3 NFA确定化 2.2.4 DFA化简
Ch2 形式语言自动机理论基础 2.2 自动机基础 2.2.1 确定的FA（DFA）
Q
q0
Z
其中状态转换函数f为：
f（q0，0）= {q0,q3}
f（q1，0）=
f（q2，0）= {q2} f（q3，0）= {q4} f（q4，0）= {q4}
f（q0，1）= {q0, q1} f（q1，1）={ q2} f（q2，1）= {q2}
f（q3，1）=
f（q4，1）={ q4}
Ch2 形式语言自动机理论基础 2.2 自动机基础 2.2.2 非确定的FA(NFA)
1) p0＝q0 2) f（pi，wi＋1）＝pi＋1，i＝0，1，，n－1 3) pnZ
形式语言与自动机理论电子教案01PPT课件
• 知识
–掌握正则语言、下文无关语言的文法、识别模 型及其基本性质、图灵机的基本知识。
• 能力
–培养学生的形式化描述和抽象思维能力。 –使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、
自动化（计算机化）”这一最典型的计算机问 题求解思路。
13.11.2020
4
主要内容
• 语言的文法描述。 • RL
– RG、 FA、RE、RL的性质 。
•考虑的对象的不同，所需要的思维方式和能力就不 同，通过这一系统的教育，在不断升华的过程中， 逐渐地培养出了学生的抽象思维能力和对逻辑思维 方法的掌握。
•创新意识的建立和创新能力的培养也在这个教育过 程中循序渐进地进行着。
•内容用于后续课程和今后的研究工作。 •是进行思维训练的最佳知识载体。
•是一个优秀的计算机科学工作者必修的一门课程。
13.11.2020
16
1.4.3 基本概念
• 字母表(alphabet)
– 字母表是一个非空有穷集合，字母表中的元素 称为该字母表的一个字母(letter)。又叫做符号 (symbol)、或者字符(character)。
– 非空性。 – 有穷性。
• 例如：
{a，b，c，d} { a，b，c，…，z}
{0,1}
13.11.2020
17
1.4.3 基本概念
• 字符的两个特性
– 整体性(monolith)，也叫不可分性。 – 可辨认性(distinguishable)，也叫可区分性。
• 例（续）
{a，a′，b，b′} {aa，ab，bb} {∞，∧，∨，≥，≤}
13.11.2020
18
1.4.3 基本概念
• CFL
– CFG(CNF、GNF)、PDA、CFL的性质。
–掌握正则语言、下文无关语言的文法、识别模 型及其基本性质、图灵机的基本知识。
• 能力
–培养学生的形式化描述和抽象思维能力。 –使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、
自动化（计算机化）”这一最典型的计算机问 题求解思路。
13.11.2020
4
主要内容
• 语言的文法描述。 • RL
– RG、 FA、RE、RL的性质 。
•考虑的对象的不同，所需要的思维方式和能力就不 同，通过这一系统的教育，在不断升华的过程中， 逐渐地培养出了学生的抽象思维能力和对逻辑思维 方法的掌握。
•创新意识的建立和创新能力的培养也在这个教育过 程中循序渐进地进行着。
•内容用于后续课程和今后的研究工作。 •是进行思维训练的最佳知识载体。
•是一个优秀的计算机科学工作者必修的一门课程。
13.11.2020
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1.4.3 基本概念
• 字母表(alphabet)
– 字母表是一个非空有穷集合，字母表中的元素 称为该字母表的一个字母(letter)。又叫做符号 (symbol)、或者字符(character)。
– 非空性。 – 有穷性。
• 例如：
{a，b，c，d} { a，b，c，…，z}
{0,1}
13.11.2020
17
1.4.3 基本概念
• 字符的两个特性
– 整体性(monolith)，也叫不可分性。 – 可辨认性(distinguishable)，也叫可区分性。
• 例（续）
{a，a′，b，b′} {aa，ab，bb} {∞，∧，∨，≥，≤}
13.11.2020
18
1.4.3 基本概念
• CFL
– CFG(CNF、GNF)、PDA、CFL的性质。
形式语言与自动机总结精品PPT课件
–DPDA 接受非歧义文法，但并不是所有非歧 义文法都可由DPDA接受。S->0S0|1S1|e
–定理6.20,6.21空栈机、终态机与非歧义文 法
• 前缀性质与DPDA
第7章 上下文无关语言的性质
本章是重点
SUCCESS
THANK YOU
2020/12/26
7.1 上下文无关文法的范式
• 文法的化简
• ~代数定律
第4章 正则语言的性质
• 正则语言的泵引理及其应用（重点！）
第4章 正则语言的性质 对于给定的同态（或逆同态）
映射，应能计算映射后的符
• ~的封闭性
号串及语言
– 交、并、补、差、闭包（*）、连 接
– 反转
– 同态
– 逆同态
• 判定性质（各种表示之间的转换、空性、 成员性）
• 最小化（状态的等价性、最小化的填表 算法P106）
7.4 CFL的判定性质
• CFL与PDA转换的复杂度（略） • CFG变换到CNF复杂度（不要求） • 测试空性 • 测试成员性（CYK算法 P209 必须掌握） • 不可判定问题一览（参阅P211）
第8章 图灵机导引
重点
8.2 图灵机
• ~的定义 • ID: q • ~的图形表示 • ~的设计技术（必须掌握） • ~的语言 • ~作为函数（程序） • 停机问题
6.2 PDA的语言（必须掌握）
• 以终态方式接受 • 以空栈方式接受 • 从空栈方式到终态方式（包装） • 从终态方式到空栈方式 • 构造PDA技术
6.3 PDA与CFG的等价性
• 从文法到PDA（必须掌握） • 从PDA到CFG（不要求）
6.4确定型的PDA
• ~定义 • 正则语言与DPDA • DPDA与CFL • DPDA与歧义文法
–定理6.20,6.21空栈机、终态机与非歧义文 法
• 前缀性质与DPDA
第7章 上下文无关语言的性质
本章是重点
SUCCESS
THANK YOU
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7.1 上下文无关文法的范式
• 文法的化简
• ~代数定律
第4章 正则语言的性质
• 正则语言的泵引理及其应用（重点！）
第4章 正则语言的性质 对于给定的同态（或逆同态）
映射，应能计算映射后的符
• ~的封闭性
号串及语言
– 交、并、补、差、闭包（*）、连 接
– 反转
– 同态
– 逆同态
• 判定性质（各种表示之间的转换、空性、 成员性）
• 最小化（状态的等价性、最小化的填表 算法P106）
7.4 CFL的判定性质
• CFL与PDA转换的复杂度（略） • CFG变换到CNF复杂度（不要求） • 测试空性 • 测试成员性（CYK算法 P209 必须掌握） • 不可判定问题一览（参阅P211）
第8章 图灵机导引
重点
8.2 图灵机
• ~的定义 • ID: q • ~的图形表示 • ~的设计技术（必须掌握） • ~的语言 • ~作为函数（程序） • 停机问题
6.2 PDA的语言（必须掌握）
• 以终态方式接受 • 以空栈方式接受 • 从空栈方式到终态方式（包装） • 从终态方式到空栈方式 • 构造PDA技术
6.3 PDA与CFG的等价性
• 从文法到PDA（必须掌握） • 从PDA到CFG（不要求）
6.4确定型的PDA
• ~定义 • 正则语言与DPDA • DPDA与CFL • DPDA与歧义文法
形式语言与自动机slide 6-2019
Let A= (Q1,∑,1,q1,F1), B= (Q2,∑,2,q2,F2) C = (Q1Q2 , ∑, , (q1, q2), F1 F2) : (Q1Q2 ) ∑ Q1Q2 ((p, q), a) = (1(p,a), 2(q,a) )
Then L(C)= L M 17
Homomorphism
Then L(C)= L M 14
Closure properties of regular languages
Reversal LR {wR | w L}
Convert A(L) into A(LR) by : • Reverse all the arcs of A(L)
• Convert start state of A(L) to accepting state of A(LR)
11
Closure properties of regular languages
union : L M
intersection : L M
complement
difference : L M
reversal
closure(star)
concatenation
homomorphism
• Create a new state as start state of A(LR) with -
transitions to all the accepting states of A(L)
15
Closure properties of regular languages
Complement
L {w | w * and w L}
Let DFA A=(Q, , , q0, F) , and L(A)=L Let DFA B=(Q, , , q0, S) , and S=Q-F
Then L(C)= L M 17
Homomorphism
Then L(C)= L M 14
Closure properties of regular languages
Reversal LR {wR | w L}
Convert A(L) into A(LR) by : • Reverse all the arcs of A(L)
• Convert start state of A(L) to accepting state of A(LR)
11
Closure properties of regular languages
union : L M
intersection : L M
complement
difference : L M
reversal
closure(star)
concatenation
homomorphism
• Create a new state as start state of A(LR) with -
transitions to all the accepting states of A(L)
15
Closure properties of regular languages
Complement
L {w | w * and w L}
Let DFA A=(Q, , , q0, F) , and L(A)=L Let DFA B=(Q, , , q0, S) , and S=Q-F
形式语言与自动机-经典教学课件(完整版)资料讲解
3. John E Hopcroft, Jeffrey D Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Addison-Wesley Publishing Company, 1979
2020/6/20
5
第1章 绪论
2020/6/20
8
1.1.2 集合之间的关系
⑸ 如果AB，则对x∈A，有x∈B。 ⑹ 如 果 AB ， 则 对 x∈A ， 有 x∈B 并 且
x∈B，但xA。 ⑺ 如果AB且BC，则AC。 ⑻ 如果AB且BC，或者AB且BC，或者
AB且BC，则AC。 ⑼ 如果A=B，则|A|=|B|。
2020/6/20
⑵ (A× B)× C≠A× (B× C)。 ⑶ A× A≠A。
⑷ A× Φ=Φ。
2020/6/20
15
笛卡儿积(Cartesian product)
Ai
i1
A{a|AS,aA}
AS
2020/6/20
10
交(intersection)
• 集合A和B中都有的所有元素放在一起构成 的集合为A与B的交 ，记作A∩B。
A∩B={a|a∈A且a∈B}
• “∩”为交运算符，A∩B读作A交B。
• 如果A∩B=Φ，则称A与B不相交。
• ⑴ A∩B= B∩A。 ⑵ (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑶ A∩A=A。
• 1.1 集合的基础知识 • 1.1.1 集合及其表示
– 集合：一定范围内的、确定的、并且彼此可以区 分的对象汇集在一起形成的整体叫做集合(set)， 简称为集(set)。
– 元素：集合的成员为该集合的元素(element)。 – 集合描述形式。 – 基数。 – 集合的分类。
2020/6/20
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第1章 绪论
2020/6/20
8
1.1.2 集合之间的关系
⑸ 如果AB，则对x∈A，有x∈B。 ⑹ 如 果 AB ， 则 对 x∈A ， 有 x∈B 并 且
x∈B，但xA。 ⑺ 如果AB且BC，则AC。 ⑻ 如果AB且BC，或者AB且BC，或者
AB且BC，则AC。 ⑼ 如果A=B，则|A|=|B|。
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⑵ (A× B)× C≠A× (B× C)。 ⑶ A× A≠A。
⑷ A× Φ=Φ。
2020/6/20
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笛卡儿积(Cartesian product)
Ai
i1
A{a|AS,aA}
AS
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交(intersection)
• 集合A和B中都有的所有元素放在一起构成 的集合为A与B的交 ，记作A∩B。
A∩B={a|a∈A且a∈B}
• “∩”为交运算符，A∩B读作A交B。
• 如果A∩B=Φ，则称A与B不相交。
• ⑴ A∩B= B∩A。 ⑵ (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑶ A∩A=A。
• 1.1 集合的基础知识 • 1.1.1 集合及其表示
– 集合：一定范围内的、确定的、并且彼此可以区 分的对象汇集在一起形成的整体叫做集合(set)， 简称为集(set)。
– 元素：集合的成员为该集合的元素(element)。 – 集合描述形式。 – 基数。 – 集合的分类。
形式语言与自动机_课件_陈有祺第03章 有穷自动机
定义3.7 给出NFA M=(Q,∑,δ,q0 , F)，若δ(q0,x)∩F非空（ x∈∑*），则称字符串x被M接受。被NFA M接受的全体字符串称 为M接受的语言，记作L(M)。也就是 L(M)={x∣x∈∑*,且δ(q0,x)∩F非空}。
从定义3.7可知，在δ(q0,x)的众多状态中，只要有一个状态属于 终结状态集F，则x就被该NFA M接受。如对例3.4中的NFA，字 符串01001是被接受的，因为δ(q0 ，01001)={q0,q1,q4} ，而 q0∈F。但字符串010是不被接受的，因为δ(q0 ,010)={q0,q3} ，其中没有一个状态在F中。
从给定集合构造接受该集合的FA
实现上述思路的FA M1如图所示
初始状态标记为“1”，表示要么还没有读入符号，要么刚读过符号1。对 于“0”状态遇1，“01” 状态遇0，“010”状态再遇0或1的情况，上 面已经做了解释。其他情况是：“0”状态遇0，此时应当保持在“0”状 态，意味着刚读过的符号是0；再有“01”状态遇1，表示这次的期望“ 半途而废”，只能从头再来，所以转回到“1”状态。
形式语言与自动机
第三章 有穷自动机
非形式化描述 有穷自动机的基本定义 非确定的有穷自动机 具有ε转移的有穷自动机 有穷自动机的应用 具有输出的有穷自动机
有穷状态系统
指针式钟表共有12*60*60个状态
围棋共有3361个状态
电梯的控制结构
某些电子产品中的开关电路，具有n个门的开关网络有 2n种状态
分析：x∈L当且仅当把x看成二进制数时，x模5与0同余。换句话说，x 要能被5整除。例如，0，101，1010，1111等都能被5整除，而10， 11，100，110等都不能被5整除。
当二进制数x的位数向右不断增加时，它的值（换算成十进制）的增加很 有规律：x0的值等于2x，x1的值等于2x+1。
从定义3.7可知，在δ(q0,x)的众多状态中，只要有一个状态属于 终结状态集F，则x就被该NFA M接受。如对例3.4中的NFA，字 符串01001是被接受的，因为δ(q0 ，01001)={q0,q1,q4} ，而 q0∈F。但字符串010是不被接受的，因为δ(q0 ,010)={q0,q3} ，其中没有一个状态在F中。
从给定集合构造接受该集合的FA
实现上述思路的FA M1如图所示
初始状态标记为“1”，表示要么还没有读入符号，要么刚读过符号1。对 于“0”状态遇1，“01” 状态遇0，“010”状态再遇0或1的情况，上 面已经做了解释。其他情况是：“0”状态遇0，此时应当保持在“0”状 态，意味着刚读过的符号是0；再有“01”状态遇1，表示这次的期望“ 半途而废”，只能从头再来，所以转回到“1”状态。
形式语言与自动机
第三章 有穷自动机
非形式化描述 有穷自动机的基本定义 非确定的有穷自动机 具有ε转移的有穷自动机 有穷自动机的应用 具有输出的有穷自动机
有穷状态系统
指针式钟表共有12*60*60个状态
围棋共有3361个状态
电梯的控制结构
某些电子产品中的开关电路，具有n个门的开关网络有 2n种状态
分析：x∈L当且仅当把x看成二进制数时，x模5与0同余。换句话说，x 要能被5整除。例如，0，101，1010，1111等都能被5整除，而10， 11，100，110等都不能被5整除。
当二进制数x的位数向右不断增加时，它的值（换算成十进制）的增加很 有规律：x0的值等于2x，x1的值等于2x+1。
形式语言与自动机slide 4-2019
• what is minimization of DFA • algorithm for minimization partition remaining states into equivalent blocks take blocks as states • minimum-state DFA for a regular language is unique
16
Example 6.6 Minimization of DFA’s
Start A
Байду номын сангаас
0
1
0 B1 0
1
0
C
D
1
0 1
E
1
F1
G
0 H
1
0
0
17
Summary
We have talked about three kinds of FA’s DFA -- NFA -- NFA
formal definition M = (Q, ∑, , q0, F ) DFA : Q ∑ Q , ( q, a ) = p NFA : Q ∑ 2Q, ( q, a ) =S
q1
q2
q3
q4 0,1
0,1
0,1 0,1
0,1
0,1
q10
q9
q8
q7
q6
q5
7
- transition
ra
q
p bs
(r , a ) = ?
(q , b ) = ?
8
- closure
BASIS : State q is in ECLOSE(q)
INDUCTION : If state p is in ECLOSE(q),and there is a transition from state p to state r labeled ,then r is in ECLOSE(q).
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Example 6.6 Minimization of DFA’s
Start A
Байду номын сангаас
0
1
0 B1 0
1
0
C
D
1
0 1
E
1
F1
G
0 H
1
0
0
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Summary
We have talked about three kinds of FA’s DFA -- NFA -- NFA
formal definition M = (Q, ∑, , q0, F ) DFA : Q ∑ Q , ( q, a ) = p NFA : Q ∑ 2Q, ( q, a ) =S
q1
q2
q3
q4 0,1
0,1
0,1 0,1
0,1
0,1
q10
q9
q8
q7
q6
q5
7
- transition
ra
q
p bs
(r , a ) = ?
(q , b ) = ?
8
- closure
BASIS : State q is in ECLOSE(q)
INDUCTION : If state p is in ECLOSE(q),and there is a transition from state p to state r labeled ,then r is in ECLOSE(q).
形式语言与自动机PPT课件
第二章 语言及文法
主要内容：
定义形式语言的术语 给出文法的定义和文法的分类
要求掌握：
语言和文法的形式定义 CHOMSKY文法体系的分类。
2020/11/23
College of Computer Science & Technology,算
一、语言的一些术语： 字母表： 字符的有限集合，记为T。 字符串： 由字母表T中的字符构成的序 列称字母表T上的字符串（句子）。 常记为u,v,w,x,y,z； 常用a,b,c,d 标识单个字符。
设T={a, b}， L1和 L2是T上的语言。 L1 ={ab, ba} L2 ={aa, bb} 则 L1 L2 ={abaa, abbb, baaa, babb} L2 L1 ={aaab, aaba, bbab, bbba}
L1 L2 ≠ L2 L1 语言的积不可交换。
College of Computer Science & Technology, BUPT
5
关于字符串的运算
其它 如 取头字符，取尾部，子串匹配 等
设ω1, ω2, ω3是字母表T上的字符串，称ω1是字符 串ω1ω2的前缀，ω2是字符串ω1ω2的后缀，且ω2 是字符串ω1ω2ω3的子串。
空串是任何字符串的前缀，后缀及子串。 例：
4
关于字符串的运算
连接（concatenation） 设 x, y为串, 且 x a1a2 … am, y b1b2 … bn, 则 x 与 y 的连接 x y a1a2 … am b1b2 … bn
连接运算的性质 ( x y ) z x（ y z ）
xxx
x y x+y
2020/11/23
T* = T+ ， T+ = T*
主要内容：
定义形式语言的术语 给出文法的定义和文法的分类
要求掌握：
语言和文法的形式定义 CHOMSKY文法体系的分类。
2020/11/23
College of Computer Science & Technology,算
一、语言的一些术语： 字母表： 字符的有限集合，记为T。 字符串： 由字母表T中的字符构成的序 列称字母表T上的字符串（句子）。 常记为u,v,w,x,y,z； 常用a,b,c,d 标识单个字符。
设T={a, b}， L1和 L2是T上的语言。 L1 ={ab, ba} L2 ={aa, bb} 则 L1 L2 ={abaa, abbb, baaa, babb} L2 L1 ={aaab, aaba, bbab, bbba}
L1 L2 ≠ L2 L1 语言的积不可交换。
College of Computer Science & Technology, BUPT
5
关于字符串的运算
其它 如 取头字符，取尾部，子串匹配 等
设ω1, ω2, ω3是字母表T上的字符串，称ω1是字符 串ω1ω2的前缀，ω2是字符串ω1ω2的后缀，且ω2 是字符串ω1ω2ω3的子串。
空串是任何字符串的前缀，后缀及子串。 例：
4
关于字符串的运算
连接（concatenation） 设 x, y为串, 且 x a1a2 … am, y b1b2 … bn, 则 x 与 y 的连接 x y a1a2 … am b1b2 … bn
连接运算的性质 ( x y ) z x（ y z ）
xxx
x y x+y
2020/11/23
T* = T+ ， T+ = T*
形式语言与自动机_课件_陈有祺第01章 预备知识
定义 1.2 如果集合A和B含有的元素完全相同，则称 集合A与集合B相等，记做A=B。否则，称集合A与B不 相等，记做A≠B。
1.2 集合及其基本运算
定理 1.8 对于集合A和B,A=B的充分必要条件是：A B且B A。
证明：充分性：设A B且B A，用反证法，若A≠B，则根据定义至
少存在一个元素属于一个集合而不属于另一个集合。令此元素为
集合的基本运算
定义 1.3 集合A和B的并（或称为和），记做A∪B。它是由A的 所有元素和B的所有元素合并在一起组成的集合。即： A∪B={x∣x∈A或x∈B}。
在上述定义中，①是递归基础，这是必须有的。②是归 纳，通过它能产生无穷多个表达式。③是排他，说明表 达式不能再有其他形式。
根据上述定义第①条，显然2,3,6,8,x, y, z等是表达 式；再通过第②条的归纳，则x+3, y*6, 8*(2+x), (5+y)*(z+7)等等也都是表达式。
常用的证明方法——数学归纳法
常用的证明方法——数学归纳法
定理1.6 前n个连续自然数之和等于n(n+1)/2。
证明：我们用数学式子将上述命题写成
S(n)=
n
i
=
n(n+1)/2
归纳基础：n=1。S(1)=1,显然成立。
i 1
归纳步骤：设对于任何k≥1,S(k)=k(k+1)/2 ，要推出
S(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
在步骤(2)中,继续以命题形式写出定理假设的其余内容，即a， b，c，d 均大于或等于1(因为它们是正整数)。
在步骤(3)中,用到命题(2)作为已知，同时根据最基本的算术性 质：如果某个数至少是1，则这个数的平方也至少是1。步骤(4) 用到命题(1)和(3)作为已知。命题(1)说,x是所讨论的4个数的 平方和；命题(3)说，每个平方数至少是1。根据众所周知的不 等式中的代入性质，就得出：x至少是1+1+1+1，即x≥4 。
1.2 集合及其基本运算
定理 1.8 对于集合A和B,A=B的充分必要条件是：A B且B A。
证明：充分性：设A B且B A，用反证法，若A≠B，则根据定义至
少存在一个元素属于一个集合而不属于另一个集合。令此元素为
集合的基本运算
定义 1.3 集合A和B的并（或称为和），记做A∪B。它是由A的 所有元素和B的所有元素合并在一起组成的集合。即： A∪B={x∣x∈A或x∈B}。
在上述定义中，①是递归基础，这是必须有的。②是归 纳，通过它能产生无穷多个表达式。③是排他，说明表 达式不能再有其他形式。
根据上述定义第①条，显然2,3,6,8,x, y, z等是表达 式；再通过第②条的归纳，则x+3, y*6, 8*(2+x), (5+y)*(z+7)等等也都是表达式。
常用的证明方法——数学归纳法
常用的证明方法——数学归纳法
定理1.6 前n个连续自然数之和等于n(n+1)/2。
证明：我们用数学式子将上述命题写成
S(n)=
n
i
=
n(n+1)/2
归纳基础：n=1。S(1)=1,显然成立。
i 1
归纳步骤：设对于任何k≥1,S(k)=k(k+1)/2 ，要推出
S(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
在步骤(2)中,继续以命题形式写出定理假设的其余内容，即a， b，c，d 均大于或等于1(因为它们是正整数)。
在步骤(3)中,用到命题(2)作为已知，同时根据最基本的算术性 质：如果某个数至少是1，则这个数的平方也至少是1。步骤(4) 用到命题(1)和(3)作为已知。命题(1)说,x是所讨论的4个数的 平方和；命题(3)说，每个平方数至少是1。根据众所周知的不 等式中的代入性质，就得出：x至少是1+1+1+1，即x≥4 。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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Formal Languages and Automata
第五讲
针对正规语言的 Pumping 引理 （确定）有限自动机的最小化
Formal Languages and Automata
针对正规语言的 Pumping 引理
正规语言应满足的一个必要条件 可用于判定某些语言不是正规语言
Formal Languages and Automata
知识回顾：集合上的等价关系与集合的划分
等价关系与划分 设 Q 为一个集合，R 是 Q 上的一个等价关系, 由 R 产
生的所有等价类（或块）的集合构成 Q 的一个划分.
解释 1. 等价类 对任何a Q , a 所在的块用[a]表示, 定义为 [a] = {x | xRa} ； 2. 每一元素都属于唯一的块 即满足 （1）a Q [a] = Q ; 和
（确定）有限自动机的最小化
知识回顾：集合上的等价关系与集合的划分 DFA 状态集合上的一个等价关系 计算状态集划分的算法— 填表法 最小化的 DFA
Formal Languages and Automata
知识回顾：集合上的等价关系与集合的划分
等价关系 设 Q 为一个集合，二元关系 R 是 Q 上的一个等价关系,
当且仅当满足以下条件： 1. 自反性 对任何a Q , aRa 成立； 2. 对称性 对任何a,b Q , 如果 aRb 成立,
则有 bRa 成立； 3. 传递性 对任何a,b,c Q , 如果 aRb 和 bRc 成立,
则有 aRc 成立.
Formal Languages and Automata
（2）对任何a,b Q , 或者 [a]=[b] , 或者 [a][b]=
Formal Languages and Automata
DFA 状态集合上的一个等价关系
设一个 DFA D = (Q, , , q0 , F ), 定义上的一个二元关
系 R 为： 对任何 p,q Q,
pRq iff w *( '(p,w) F '(q,w) F )
Formal Languages and Automata
计算状态集划分的算法— 填表法
填表算法举例
2
Start
3x x 4x x x
5x x x x
6x x x x x 7x x x x x
123456
a
4
a
a
6
b
a
1
b b
5
b
a 7
a
a
3
b
b
2
b
(1) 区别所有终态和非终态
(2) 区别(1,3), (1,4), (2,3),
Formal Languages and Automata
最小化的 DFA
课堂练习 最小化下列 DFA:
Start
a
6
b
1
b
b
b
参考结果
a
3
b
a
[6]
a
Start
[1]
b
b
bb
[4]
a [3]
a
4
a
a 5
b
a
DFA 的“Pumping”特性
设 DFA D = (Q, , , q0 , F ), |Q|=n.
对于任一长度不小于 n 的字符串 w = a1a2…am , 其
中 mn, ak (1 k m), qQ , 考察如下状态序列
p0=q
p1='(q, a1) p2='(q, a1a2)
…
由pigeonhole 原理, p0, p1, p2, …, pn 中至少有 两个状态是重复的，即存 在 i, j, 0ijn, pi=pj .
pn='(q, a1a2…an ) pn+1='(q, a1a2…an+1 )
…
“pumping” 特性： 任一长度不小于状态数目
的字符串所标记的路径上，
pm='(q, a1a2…am )
必然出现重复的状态.
Formal Languages and Automata
DFA 的“Pumping”特性
块中的状态相互之间等价，而不同划分块中的状态之 间都是可区别的. 包含状态 q 的划分块用 [q] 表示.
4. 构造与 A 等价的 DFA B = (QB, , B, [q0], FB ) , 其中 QB={ [q] | qQ}, FB = { [q] | qF}, B([q] ,a)=[ (q,a)]
归纳 设 p 和 q 已标记为可区别的, 如果状态 r 和 s 通过某个 输入符号 a 可分别转移到 p 和 q ，即
(r,a)=p , (s,a)=q , 则 r 和 s 也标记为可区别的；
这是因为：若 p 和 q 可为字符串 w 区别, 则 r 和 s 可 为字符串 aw 区别.
（ ∵ '(r,aw) ='(p,w) , '(s,aw) ='(q,w) ）
根据假设, N 的状态数目比 M 少, 所以 M 中必然存在两个 状态, 它们分别与 N 中的同一个状态不可区分. 根据传递性， M 的这两个状态是不可区分的, 这与 M 的构造过程矛盾.
结论 对任何 DFA A, 用前述优化步骤构造出与 A 等价的 DFA M; 那么 M 的状态数目不多于任何语言为 L(A) 的 DFA .
该命题的否定形式为：
nwxyz k(wL* |w|n (w=xyz y |xy| n k 0 xykzL))
证明步骤 1. 选任意的n. 2. 找到一个满足以下条件的串wL (长度至少为n).
3. 任选满足w=xyz y |xy| n 的x,y,z
4. 找到一个 k 0, 使 xykz L.
x = a1a2…ai , y = ai+1ai+2…aj , z = aj+1aj+2…am 则对任何k 0，都有 xykz L(D). (参考下图)
y = ai+1ai+2…aj
Start
p0 x = a1a2…ai
pi z=aj+1aj+2…am pm
Formal Languages and Automata
假设存在一个这样 DFA N. 现将 M 和 N 相并, 即状态、 转移规则都相并, 这里假定 M 和 N 之间没有重名的状态, 因而也没有相交的转移边, 原来的终态还是终态, 原来的两 个初态中任选一个作为新的初态. 同时还假定 M 和 N 的每 一状态都是从其相应的初态可以到达的，否则我们将去掉 不可打状态，得到状态数目更小的 DFA.
Formal Languages and Automata
通过合并等价的状态进行 DFA 的优化
步骤 1. 删除所有从开始状态不可到达的状态及与其相关的边,
设所得到的 DFA 为 A = (Q, , , q0 , F ) ；
2. 使用填表算法找出所有等价的状态偶对； 3. 根据 2 的结果计算当前状态集合的划分块，每一划分
(2,4), (5,6), (5,7) (3) 区别 (3,4)
(4) 结束. 划分结果：{1,2}, {3}, {4}, {5}, {6,7}
Formal Languages and Automata
计算状态集划分的算法— 填表法
填表算法的正确性 如果两个状态没有被填表算法标记， 则这两个状态一定是等价的.
– 新的状态集合： [1], [3], [4], [5], [6]
Formal Languages and Automata
最小化的 DFA
问题 假定一个 DFA 为 A, 用上述优化步骤构造出与 A 等 价的DFA M; 那么是否存在一个状态数目比 M 还少的DFA N, 它接受的语言同 A 和 M 完全一样?
证明 反证法. 假定状态 p 和q 没有被填表算法标记， 但这两个状态不是等价的，即是可区别的.
设字符串 w 可用于区别状态 p 和q，即 '(p,w) 和 '(q,w) 两个状态中，一个是终态，一个是非终态. 不
妨设前者为终态, 后者为非终态.
首先不可能有 w=, 否则, 状态 p 为终态, 而q 为
Formal Languages and Automata
DFA 状态集合上的一个等价关系
若pRq, 称 p 和 q 等价（equivalent）. 若p 和q 不等价， 则称 p 和q 是可区别的（distinguashable）.
关系 R 对应有限状态集 Q 的一个划分； 该划分的每个块是 Q 的一个子集； 同一划分块中的所有状态之间都是相互等价的； 分属不同划分块的任何两个状态之间都是可区别的.
针对正规语言的 Pumping 引理
Pumping Lemma for Regular Language 设 L 是正规 语言, 则存在常数 n, 使得任一长度不小于n 的字符串wL, |w|n, 都可以分成三部分, 即 w=xyz, 且满足下列条件：
1. y.
2. |xy| n. 3. 对任何k 0, 都有 xykzL.
结论 上述关系 R 是等价关系. 证明：1. 自反性 对任何q Q , qRq 成立； 2. 对称性 对任何p,q Q , pRq qRp 成立； 3. 传递性 对任何p,q,r Q , 设pRq 和 qRr 成立,
即对任何w *, '(p,w) F '(q,w) F 和 '(p,w) F '(q,w) F 成立；由此，也有 '(p,w) F '(r,w) F 成立. 所以，qRr 成立
DFA 的优化 通过合并等价的（或不可区别的）状态. 关键：如何计算上述划分？
第五讲
针对正规语言的 Pumping 引理 （确定）有限自动机的最小化
Formal Languages and Automata
针对正规语言的 Pumping 引理
正规语言应满足的一个必要条件 可用于判定某些语言不是正规语言
Formal Languages and Automata
知识回顾：集合上的等价关系与集合的划分
等价关系与划分 设 Q 为一个集合，R 是 Q 上的一个等价关系, 由 R 产
生的所有等价类（或块）的集合构成 Q 的一个划分.
解释 1. 等价类 对任何a Q , a 所在的块用[a]表示, 定义为 [a] = {x | xRa} ； 2. 每一元素都属于唯一的块 即满足 （1）a Q [a] = Q ; 和
（确定）有限自动机的最小化
知识回顾：集合上的等价关系与集合的划分 DFA 状态集合上的一个等价关系 计算状态集划分的算法— 填表法 最小化的 DFA
Formal Languages and Automata
知识回顾：集合上的等价关系与集合的划分
等价关系 设 Q 为一个集合，二元关系 R 是 Q 上的一个等价关系,
当且仅当满足以下条件： 1. 自反性 对任何a Q , aRa 成立； 2. 对称性 对任何a,b Q , 如果 aRb 成立,
则有 bRa 成立； 3. 传递性 对任何a,b,c Q , 如果 aRb 和 bRc 成立,
则有 aRc 成立.
Formal Languages and Automata
（2）对任何a,b Q , 或者 [a]=[b] , 或者 [a][b]=
Formal Languages and Automata
DFA 状态集合上的一个等价关系
设一个 DFA D = (Q, , , q0 , F ), 定义上的一个二元关
系 R 为： 对任何 p,q Q,
pRq iff w *( '(p,w) F '(q,w) F )
Formal Languages and Automata
计算状态集划分的算法— 填表法
填表算法举例
2
Start
3x x 4x x x
5x x x x
6x x x x x 7x x x x x
123456
a
4
a
a
6
b
a
1
b b
5
b
a 7
a
a
3
b
b
2
b
(1) 区别所有终态和非终态
(2) 区别(1,3), (1,4), (2,3),
Formal Languages and Automata
最小化的 DFA
课堂练习 最小化下列 DFA:
Start
a
6
b
1
b
b
b
参考结果
a
3
b
a
[6]
a
Start
[1]
b
b
bb
[4]
a [3]
a
4
a
a 5
b
a
DFA 的“Pumping”特性
设 DFA D = (Q, , , q0 , F ), |Q|=n.
对于任一长度不小于 n 的字符串 w = a1a2…am , 其
中 mn, ak (1 k m), qQ , 考察如下状态序列
p0=q
p1='(q, a1) p2='(q, a1a2)
…
由pigeonhole 原理, p0, p1, p2, …, pn 中至少有 两个状态是重复的，即存 在 i, j, 0ijn, pi=pj .
pn='(q, a1a2…an ) pn+1='(q, a1a2…an+1 )
…
“pumping” 特性： 任一长度不小于状态数目
的字符串所标记的路径上，
pm='(q, a1a2…am )
必然出现重复的状态.
Formal Languages and Automata
DFA 的“Pumping”特性
块中的状态相互之间等价，而不同划分块中的状态之 间都是可区别的. 包含状态 q 的划分块用 [q] 表示.
4. 构造与 A 等价的 DFA B = (QB, , B, [q0], FB ) , 其中 QB={ [q] | qQ}, FB = { [q] | qF}, B([q] ,a)=[ (q,a)]
归纳 设 p 和 q 已标记为可区别的, 如果状态 r 和 s 通过某个 输入符号 a 可分别转移到 p 和 q ，即
(r,a)=p , (s,a)=q , 则 r 和 s 也标记为可区别的；
这是因为：若 p 和 q 可为字符串 w 区别, 则 r 和 s 可 为字符串 aw 区别.
（ ∵ '(r,aw) ='(p,w) , '(s,aw) ='(q,w) ）
根据假设, N 的状态数目比 M 少, 所以 M 中必然存在两个 状态, 它们分别与 N 中的同一个状态不可区分. 根据传递性， M 的这两个状态是不可区分的, 这与 M 的构造过程矛盾.
结论 对任何 DFA A, 用前述优化步骤构造出与 A 等价的 DFA M; 那么 M 的状态数目不多于任何语言为 L(A) 的 DFA .
该命题的否定形式为：
nwxyz k(wL* |w|n (w=xyz y |xy| n k 0 xykzL))
证明步骤 1. 选任意的n. 2. 找到一个满足以下条件的串wL (长度至少为n).
3. 任选满足w=xyz y |xy| n 的x,y,z
4. 找到一个 k 0, 使 xykz L.
x = a1a2…ai , y = ai+1ai+2…aj , z = aj+1aj+2…am 则对任何k 0，都有 xykz L(D). (参考下图)
y = ai+1ai+2…aj
Start
p0 x = a1a2…ai
pi z=aj+1aj+2…am pm
Formal Languages and Automata
假设存在一个这样 DFA N. 现将 M 和 N 相并, 即状态、 转移规则都相并, 这里假定 M 和 N 之间没有重名的状态, 因而也没有相交的转移边, 原来的终态还是终态, 原来的两 个初态中任选一个作为新的初态. 同时还假定 M 和 N 的每 一状态都是从其相应的初态可以到达的，否则我们将去掉 不可打状态，得到状态数目更小的 DFA.
Formal Languages and Automata
通过合并等价的状态进行 DFA 的优化
步骤 1. 删除所有从开始状态不可到达的状态及与其相关的边,
设所得到的 DFA 为 A = (Q, , , q0 , F ) ；
2. 使用填表算法找出所有等价的状态偶对； 3. 根据 2 的结果计算当前状态集合的划分块，每一划分
(2,4), (5,6), (5,7) (3) 区别 (3,4)
(4) 结束. 划分结果：{1,2}, {3}, {4}, {5}, {6,7}
Formal Languages and Automata
计算状态集划分的算法— 填表法
填表算法的正确性 如果两个状态没有被填表算法标记， 则这两个状态一定是等价的.
– 新的状态集合： [1], [3], [4], [5], [6]
Formal Languages and Automata
最小化的 DFA
问题 假定一个 DFA 为 A, 用上述优化步骤构造出与 A 等 价的DFA M; 那么是否存在一个状态数目比 M 还少的DFA N, 它接受的语言同 A 和 M 完全一样?
证明 反证法. 假定状态 p 和q 没有被填表算法标记， 但这两个状态不是等价的，即是可区别的.
设字符串 w 可用于区别状态 p 和q，即 '(p,w) 和 '(q,w) 两个状态中，一个是终态，一个是非终态. 不
妨设前者为终态, 后者为非终态.
首先不可能有 w=, 否则, 状态 p 为终态, 而q 为
Formal Languages and Automata
DFA 状态集合上的一个等价关系
若pRq, 称 p 和 q 等价（equivalent）. 若p 和q 不等价， 则称 p 和q 是可区别的（distinguashable）.
关系 R 对应有限状态集 Q 的一个划分； 该划分的每个块是 Q 的一个子集； 同一划分块中的所有状态之间都是相互等价的； 分属不同划分块的任何两个状态之间都是可区别的.
针对正规语言的 Pumping 引理
Pumping Lemma for Regular Language 设 L 是正规 语言, 则存在常数 n, 使得任一长度不小于n 的字符串wL, |w|n, 都可以分成三部分, 即 w=xyz, 且满足下列条件：
1. y.
2. |xy| n. 3. 对任何k 0, 都有 xykzL.
结论 上述关系 R 是等价关系. 证明：1. 自反性 对任何q Q , qRq 成立； 2. 对称性 对任何p,q Q , pRq qRp 成立； 3. 传递性 对任何p,q,r Q , 设pRq 和 qRr 成立,
即对任何w *, '(p,w) F '(q,w) F 和 '(p,w) F '(q,w) F 成立；由此，也有 '(p,w) F '(r,w) F 成立. 所以，qRr 成立
DFA 的优化 通过合并等价的（或不可区别的）状态. 关键：如何计算上述划分？