第九章 格与布尔代数 - 同济大学

定理9.3.6 设(B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S是B 是布尔代数， 是 定理 是布尔代数 的子代数， 是 的同态像 的同态像， 的子代数，T是B的同态像，则 S和T都是布 和 都 尔代数。 尔代数。
证（1）由于 是B的子代数，因此 对于运算封闭，说明 是 的子代数， 对于运算封闭， ）由于S是 的子代数 因此S对于运算封闭 说明S是 B的子格，又由 对于求补封闭知 是有补格，而分配律在 的子格， 对于求补封闭知S是有补格 的子格 又由S对于求补封闭知 是有补格， B中成立在 也成立，于是 是有补分配格，即S是布尔代 中成立在S也成立 是有补分配格， 中成立在 也成立，于是S是有补分配格 是布尔代 数。 的同态。 知存在x,y （2）设T=f(B) ，f 是B到B’的同态。由a, b ∈ T知存在 ∈B ） 到 的同态 知存在 使得a=f(x), b=f(y)， 使得 ， 所以T对于运算封闭 由此推出T是的子代数 根据（ ） 对于运算封闭， 是的子代数， 所以 对于运算封闭，由此推出 是的子代数，根据（1） T是布尔代数。 是布尔代数。 是布尔代数
9.3 布尔代数
定义9.3.1 设 L是一个格，若L有最大元和最小元， 是一个格， 有最大元和最小元， 定义 是一个格 有最大元和最小元 为有界格， 则称 L为有界格，最大元记为 ，最小元记为 。 为有界格 最大元记为I，最小元记为O。 是集合， 例9.3.1 设S是集合，则(P(S), ⊆ )是有界格。 是集合 是有界格。 的全体子群S(G)，群G的全体正规子群 的全体正规子群H(G) 群G的全体子群 的全体子群 ， 的全体正规子群 以及环 的全体理想 的全体理想I(R)对于偏序 ⊆ 构成的格， 对于偏序 构成的格 以及环R的全体理wk.baidu.com 对于 线性空间V 的全体子空间S(V)对于偏序⊆ 的格， 对于偏序 线性空间 的全体子空间 对于偏序⊆ 有界格。 都是有界格。
定义9.3.3 设L是格，若对任意 b, c ∈ L，有 是格， 定义 是格 若对任意a, ， 分配律) ∧ （1）a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) (∧对∨的分配律 ） ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ 分配律) （2）a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) (∨对∧的分配律 ） ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ 则称L是分配格 是分配格。 则称 是分配格。 是集合， 是分配格。 例9.3.2 设S是集合，则(P(S), ⊆ )是分配格。 是集合 是分配格
定义9.3.2 设L是一个格，如果 是一个有限集合， 是一个格， 是一个有限集合， 定义 是一个格 如果L是一个有限集合 则称L为有限格 为有限格。 则称 为有限格。 定理9.3.1 设L是一个有限格，则L是有界格。 是一个有限格， 是有界格。 定理 是一个有限格 是有界格 设有限格L= 设有限格 { x1, x2,⋯, xn}, 则有 ⋯ , I = x1∨x2∨⋯∨xn , O = x1∧x2∧⋯∧xn
定义9.3.7 设(B1, ∨, ∧, ¯ ), (B2, ∨, ∧, ¯ )是两个布尔代 定义 是两个布尔代 的一个映射, 对任意a, ∈ 数，f 是B1到B2的一个映射 若对任意 b∈B1, 均有 f (a∨b)= f (a)∨f(b), f (a∧b)= f (a)∧f(b), f (a)= f ∨ ∨ ∧ ∧ (a), 的同态映射， 则称 f 是B1到B2的同态映射，称 f (B1)为B1的同态 为 像； 是单射(满射 双射)时 满射， 单同态(满同 当 f 是单射 满射，双射 时，称 f 为单同态 满同 态，同构)。如果存在B1到B2的同构映射，则称B1 同构 。如果存在 的同构映射，则称 同构， 表示。 和B2同构，用B1≅ B2表示。
试问格(D 是否是有补格？ 例9.3.7 试问格 n, | )是否是有补格？ 是否是有补格 （1）D20={ 1, 2, 4, 5, 10, 20 } ） （2）D30={ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } ） 解 在D20中, O=1, I=20, 由2∧x=1知, x =1, 5, 但 ∧ 知 2∨1=2, ∨ 2∨5=10, 故不存在 ∈ D20 使得 2∧x=1, 2∨x=20, 故不存在x ∨ ∧ ∨ D20不是有补格。 不是有补格。 的补是30, 2的补是 3的 的补是15, 的 在D30中, O=1, I=30, 1的补是 的补是 的补是 补是10, 5的补是 故D30是有补格。 的补是6, 是有补格。 补是 的补是
图9.3.3
定理9.3.3 如果对任意 b, c ∈ L 均有 如果对任意a, 定理 a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ 则一定有 a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)；反之也成立。 ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ；反之也成立。 由于(a∨b)∧(a∨c)= ((a∨b)∧a)∨((a∨b)∧c) 由于 ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ = a∨((a∨b)∧c) = a∨((a∧c)∨(b∧c)) ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = (a∨(a∧c))∨(b∧c) = a∨(b∧c) ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ 格是分配格当且仅当格存在一种(∧ 因此一个格是分配格当且仅当格存在一种 因此一个格是分配格当且仅当格存在一种 ∧对∨ 的或∨ 的或∨对∧的)分配律 分配律
定理9.3.5 设 ( B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，则有 是布尔代数， 定理 是布尔代数
（1）交换律 x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x, ） （2）结合律 x ∨(y ∨ z) = (x ∨ y)∨z, x ∧(y ∧ z) = (x ∧ y)∧z, ） ∨ ∧ （3）等幂律 x ∨ x = x, x ∧ x = x, ） （4）吸收律 x ∨(x ∧ y) = x, x ∧(x ∨ y) = x, ） 5） ∧(x∨ （5）分配律 x ∨(y∧z) = (x∨y)∧( ∨z), x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z), ∧ ∨ ∧( ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ （6）同一律 x ∨O = x, x ∧I = x, ） （7）零一律 x ∨ I = I, x ∧O = O, ） （8）互补律 x ∨ x = I, x ∧ x = O, ） （9）对合律 x = x, ） （10）德摩根律 x ∨ y = x ∧ y, x ∧ y = x ∨ y ）
是格， 例9.3.3 设L是格，它的哈斯图为图 是格 它的哈斯图为图9.3.2的(a)和(b)， 的 和 ， 则L不是分配格。 不是分配格。 不是分配格
图 9.3.2
不是分配格的充要条件是L有一个子 定理 9.3.2 L不是分配格的充要条件是 有一个子 不是分配格的充要条件是 格同构于图9.3.2中的二个图之一。 中的二个图之一。 格同构于图 中的二个图之一 • 这里图的同构是指在拓扑意义下的同构。 这里图的同构是指在拓扑意义下的同构。 请判断图9.3.3所示的格是否是分配格。 所示的格是否是分配格。 例9.3.4 请判断图 所示的格是否是分配格
• 事实上，前面的十条运算规律并不独立，可以由交换律， 事实上，前面的十条运算规律并不独立，可以由交换律， 交换律 四条得到。 分配律，同一律，互补律四条得到 分配律，同一律，互补律四条得到。 • 布尔代数与布尔环(即每个元都是幂等元的含幺环 等价 布尔代数与布尔环 即每个元都是幂等元的含幺环 等价: 含幺环)等价 (B, ∨, ∧, ¯ )为布尔代数 ⇔ (B, +, x)是布尔环 且 为 是布尔环, (1) 布尔代数的最大元 最小元 对应于环B的单位元 零元 , 布尔代数的最大元(最小元 对应于环 的单位元(零元 最小元)对应于 零元) (2) 环B是交换环，[a+b+ab+ba=a2+b2+ab+ba=(a+b)2=a+b] 是交换环， (3) 加法群 加法群(B, +)中每个非零元的阶都为 ，[上式中取 中每个非零元的阶都为 上式中取a=b] 中每个非零元的阶都为2， 上式中取 其中 a+b = (a∧b)∨(a∧b), 即a与b的对称差 ∧ ∨ ∧ 与 的对称差 axb = a∧b； ∧ ； 或 a∨b = a+b-axb, ∨ a∧b = axb . ∧
定理9.3.4 设L是一个有界分配格 a ∈ L，如果元素 是一个有界分配格, 定理 是一个有界分配格 ， a的补存在，则必定是唯一的。 的补存在，则必定是唯一的。 的补存在 • 设L是一个布尔代数，则L中的每个元素都有唯一 是一个布尔代数， 是一个布尔代数 中的每个元素都有唯一 的补。求补是布尔代数L上的一元运算， 的补。求补是布尔代数 上的一元运算，用记号 表示求补运算。 “¯ ”表示求补运算。 表示求补运算 • 求补运算具有如下性质： 求补运算具有如下性质：
定义9.3.4 设L是一个有界格，O和I分别为 的最小 是一个有界格， 和 分别为 分别为L的最小 定义 是一个有界格 和最大元，如果对a 和最大元，如果对 ∈ L，存在 ∈ L，使得 ∨b=I, ，存在b ，使得a∨ a∧b=O, 则称 为a的补，如果 L中的元素都有补， 则称b为 的补 的补， 中的元素都有补， ∧ 中的元素都有补 为有补格。 则称 L为有补格。 为有补格 幂集合格(P(S), ⊆ )是有补格。 是有补格。 例9.3.5 幂集合格 是有补格 • 由O∧I = O, O∨I = I 可知 是O的补，O是I的补。 可知I是 的补 的补， 是 的 ∧ ∨ 另外由补的定义知, 的补, 一定是a的补 另外由补的定义知 若a是b的补 则b一定是 的补。 是 的补 一定是 的补。
定义9.3.6 设( B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S是B的非空 是布尔代数， 是 的非空 定义 是布尔代数 子集，如果S 对于运算∨ 封闭，则称S是布 子集，如果 对于运算∨, ∧, ¯ 都封闭，则称 是布 尔代数B的子代数 的子代数。 尔代数 的子代数。 例如， 是布尔代数， 例如，设(B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S={O, I }, 则S是布 是布尔代数 是布 尔代数B的子代数 的子代数。 尔代数 的子代数。 如果S是布尔代数 的子代数， 是布尔代数B的子代数 例9.3.9 如果 是布尔代数 的子代数，则O, I ∈ S. I = a∨a, O = a∧a ∨ ∧
• 如果 是一个有界格，则对任意 ∈ L均有 如果L是一个有界格 则对任意a 是一个有界格， 均有 （1）O ≼ a ≼ I ） （2）a ∨ O = a, a ∧ O = O ） （3）a ∨ I = I, a ∧ I = a ） 是正整数集合，偏序“ 例 设Z+是正整数集合，偏序“≼”为：a ≼ b ⇔ a|b | 则格(Z 无最大元。 则格 +, ≼)不是有界格， (Z+, ≼) 无最大元。 不是有界格， 全序集(Z, ≤)不是有界格， (Z, ≤)无最元。 无最元。 全序集 不是有界格， 无最元
(1) (a ∨ b ) = a ∧ b; (a ∧ b ) = a ∨ b ( 2) ( a ) = a
定义9.3.5 一个有补的分配格称为布尔代数。 一个有补的分配格称为布尔代数。 定义 一个有限集构成的布尔代数称为有限布尔代数。 一个有限集构成的布尔代数称为有限布尔代数。 例9.3.2 布尔代数的一个最重要的例子是： 布尔代数的一个最重要的例子是： ( P(S), ∪, ∩, ¯ ), O=Ø, I=S。 Ø 。