平面直角坐标系中的平移变换
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1 平移的概念：
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按 照同一方向，移动同样长度，得到图形F ，这一过 程叫图形的平移．
2．设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点 按照同一方向，移动同样长度，得到图象 F 与F 之间的关系？
y
O
x
2 点的平移公式：
设P （x，y）是图象F上任一点，平移后对应点为
2
中心为
( x0 , y0 )
a ( x0 , y0 )
2
⑤.曲线 C : y 2 px ，按向量
2
平移后得曲线
C : ( y y0 ) 2 p( x x0 )
顶点为
( x0 , y0 )
例2.说明方程
4 x 9 y 16 x 18 y 11 0
将它们代入y=2x 中得到 y 3 2 x
即函数的解析式为 y 2 x 3
P( x, y)
O x P ( x, y )
例3：已知函数y=x2图象F, 平移向量a=(-2,3)到 F'的位置, 求图象F'的函数表达式 解：在曲线F上任取一点P（x，y），设F'上的对 Y 应点为P′（x′，y ′ ），则
F' x ′=x-2， y ′=y+3 ∴ x=x ′+2 ，y=y ′-3
将上式代入方程y=x2， 得： y ′-3=(x ′+2)2
a
F:y=x2
即：y ′=(x
′+2)2+3
OLeabharlann X一般地我们有如下关于平移变换的结论： ①.将点 P(x, y) 按向量 a ( x0 , y0 ) 平移，所得点 P( x x0 , y y0 ) P的坐标为： .②.将曲线
过点
2
l : a( x x0 ) b( y y0 ) 0
( x0 , y0 )
2 2
②.曲线
C:x y r
2
，按向量
a ( x0 , y0 )
y ③.曲线 C : x ，按向量 a ( x0 , 2 2 1 a b 2 2 ( x x ) ( y y ) 0 0 平移后得曲线 C : 1 2 2 a b
C : f (x, y)
0 按向量 a ( x0 , y0 )
平移，所得曲线 C 的方程为 C : f ( x x0 , y y0 ) 0
2.有关曲线平移的一般性结论 ①.直线 l : ax by 0 ，按向量 a ( x0 , y0 ) 平移后得直线
.
例题讲解 例1．(1) 把点A(-2,1)按a=(3,2)平移, 求对应点A`的坐标(x`, y`) . （2）点M(8,-10)，按a 平移后的对应点M`的坐标 为（-7，4）求a
解：（1）由平移公式得 x 2 3 1 y 1 2 3
即对应点 A 的坐标（1，3）.
2 2
表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线 和离心率.
练习：
（1）分别将点A（3，5）,B（7，0）按向量平移 a (4,5) ， 求平移后各对应点的坐标。
A(7,10), B(11,5)
（2）把函数 y x 的图像l 按 a (0,4)平移到 l ，求 l 的函数
P′（x′，y′）平移向量为P P′=（h，k）
x x h y y k
向量表示：OP
+ P P′ = O P′
即（x，y）+（h，k）=（x ′，y ′）
理解：平移前点的坐标 + 平移向量的坐标= 平移后点的坐标
注意： 1. 知二求三； 2. 新旧顺序； 3. 一个平移就是一个向量。
.
中心为 (x , y )
2
2 2 2 C : ( x x ) ( y y ) r 平移后得曲线 0 0
0
0
y0 )
中心为
( x0 , y0 )
2 2 y x ④.曲线 C : 2 2 1 ，按向量 a b
a ( x0 , y0 )
2
( x x ) ( y y ) 0 0 平移后得曲线 C : 1 2 2 a b
解析式。
y x 4
2 （3）将抛物线 y x 4 x 7 经过怎样的平移，可以得到
2 。 y x 按向量 a (2,3)平移
3 基础练习：
（1）把点A（-2，1）按a=（3，2）平移，求对 应点 A 的坐标( x, y) . （2）点M（8，-10），按 a 平移后的对应点 M 的坐标为（-7，4）求 a
2 2
的方程化为标准方程。
小结：
1 向量的平移、图形的平移；
2 点的平移公式。
强调：1. 知二求三； 2. 新旧顺序；
3. 一个平移就是一个向量。
2 将函数y=2x 的图象 l 按a=（0，3）平移 到l ，求 l 的函数解析式．
3 已知函数y=x2图象F，平移向量a=（-2，3）到 F'的位置，求图象F'的函数表达式
4 将抛物线 y x 2 4 x 7 经过怎样的平移，可 以得到 y x2。
5 运用平移，将曲线 x 4 y 4x 8 y 8
（2）由平移公式得 7 8 h h 15 解得 4 10 k k 14
即a 的坐标（-15，14）.
例2．将函数y=2x 的图象 l 按a=(0,3)平移到l′,求l ′的函 数解析式．
解：设P(x, y)为l 的任意一点，它在l 上的对应点 P( x, y) 由平移公式得 x x 0 x x y y 3 y y 3 y
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按 照同一方向，移动同样长度，得到图形F ，这一过 程叫图形的平移．
2．设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点 按照同一方向，移动同样长度，得到图象 F 与F 之间的关系？
y
O
x
2 点的平移公式：
设P （x，y）是图象F上任一点，平移后对应点为
2
中心为
( x0 , y0 )
a ( x0 , y0 )
2
⑤.曲线 C : y 2 px ，按向量
2
平移后得曲线
C : ( y y0 ) 2 p( x x0 )
顶点为
( x0 , y0 )
例2.说明方程
4 x 9 y 16 x 18 y 11 0
将它们代入y=2x 中得到 y 3 2 x
即函数的解析式为 y 2 x 3
P( x, y)
O x P ( x, y )
例3：已知函数y=x2图象F, 平移向量a=(-2,3)到 F'的位置, 求图象F'的函数表达式 解：在曲线F上任取一点P（x，y），设F'上的对 Y 应点为P′（x′，y ′ ），则
F' x ′=x-2， y ′=y+3 ∴ x=x ′+2 ，y=y ′-3
将上式代入方程y=x2， 得： y ′-3=(x ′+2)2
a
F:y=x2
即：y ′=(x
′+2)2+3
OLeabharlann X一般地我们有如下关于平移变换的结论： ①.将点 P(x, y) 按向量 a ( x0 , y0 ) 平移，所得点 P( x x0 , y y0 ) P的坐标为： .②.将曲线
过点
2
l : a( x x0 ) b( y y0 ) 0
( x0 , y0 )
2 2
②.曲线
C:x y r
2
，按向量
a ( x0 , y0 )
y ③.曲线 C : x ，按向量 a ( x0 , 2 2 1 a b 2 2 ( x x ) ( y y ) 0 0 平移后得曲线 C : 1 2 2 a b
C : f (x, y)
0 按向量 a ( x0 , y0 )
平移，所得曲线 C 的方程为 C : f ( x x0 , y y0 ) 0
2.有关曲线平移的一般性结论 ①.直线 l : ax by 0 ，按向量 a ( x0 , y0 ) 平移后得直线
.
例题讲解 例1．(1) 把点A(-2,1)按a=(3,2)平移, 求对应点A`的坐标(x`, y`) . （2）点M(8,-10)，按a 平移后的对应点M`的坐标 为（-7，4）求a
解：（1）由平移公式得 x 2 3 1 y 1 2 3
即对应点 A 的坐标（1，3）.
2 2
表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线 和离心率.
练习：
（1）分别将点A（3，5）,B（7，0）按向量平移 a (4,5) ， 求平移后各对应点的坐标。
A(7,10), B(11,5)
（2）把函数 y x 的图像l 按 a (0,4)平移到 l ，求 l 的函数
P′（x′，y′）平移向量为P P′=（h，k）
x x h y y k
向量表示：OP
+ P P′ = O P′
即（x，y）+（h，k）=（x ′，y ′）
理解：平移前点的坐标 + 平移向量的坐标= 平移后点的坐标
注意： 1. 知二求三； 2. 新旧顺序； 3. 一个平移就是一个向量。
.
中心为 (x , y )
2
2 2 2 C : ( x x ) ( y y ) r 平移后得曲线 0 0
0
0
y0 )
中心为
( x0 , y0 )
2 2 y x ④.曲线 C : 2 2 1 ，按向量 a b
a ( x0 , y0 )
2
( x x ) ( y y ) 0 0 平移后得曲线 C : 1 2 2 a b
解析式。
y x 4
2 （3）将抛物线 y x 4 x 7 经过怎样的平移，可以得到
2 。 y x 按向量 a (2,3)平移
3 基础练习：
（1）把点A（-2，1）按a=（3，2）平移，求对 应点 A 的坐标( x, y) . （2）点M（8，-10），按 a 平移后的对应点 M 的坐标为（-7，4）求 a
2 2
的方程化为标准方程。
小结：
1 向量的平移、图形的平移；
2 点的平移公式。
强调：1. 知二求三； 2. 新旧顺序；
3. 一个平移就是一个向量。
2 将函数y=2x 的图象 l 按a=（0，3）平移 到l ，求 l 的函数解析式．
3 已知函数y=x2图象F，平移向量a=（-2，3）到 F'的位置，求图象F'的函数表达式
4 将抛物线 y x 2 4 x 7 经过怎样的平移，可 以得到 y x2。
5 运用平移，将曲线 x 4 y 4x 8 y 8
（2）由平移公式得 7 8 h h 15 解得 4 10 k k 14
即a 的坐标（-15，14）.
例2．将函数y=2x 的图象 l 按a=(0,3)平移到l′,求l ′的函 数解析式．
解：设P(x, y)为l 的任意一点，它在l 上的对应点 P( x, y) 由平移公式得 x x 0 x x y y 3 y y 3 y