直线和椭圆相交 求过定点的动弦中点的轨迹方程 Word版含解析(数理化网)

今天我们研究直线和椭圆相交过定点的动弦中点的轨迹方程。当定点在椭圆上，可以用

点差法或相关点法求轨迹方程。当定点在椭圆外，可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程，此时一定要验证直线与椭圆相交的条件，并求出变量的取值范围。

先看例题：

例：过椭圆

136

642

2=+y x 上一点P (-8，0)作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ）， 由281-=

x x ，2

1y

y =，可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以有136

642

12

1=+y

x ，

所以中点M 轨迹方程为：

136

464)4(42

2=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为19

16)4(2

2=++y x （8-≠x ）。 注意：PQ 两点不会重合，所以M 不会取到(-8,0)点。 规律整理：

（1）当定点00(,)P x y 在椭圆上，可用相关点法，求椭圆22

221x y a b

+=上点P 作直线交椭圆于

Q 点，PQ 中点的轨迹方程。

思路：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ），

102x x x =-，102y y y =-，

又因为Q 在椭圆上，代入椭圆方程整理得轨迹方程。

（2）当定点00(,)P x y 在椭圆外，求过点P 作直线交椭圆于A 、B ，求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。

思路：验证直线与椭圆相交，联立方程，整理为一元二次方程，在0∆>时，求出x 或y 的取值范围。

（3）先验证斜率不存在的情况是否符合题意。 再看一个例题，加深印象

例：已知椭圆12

22

=+y x ，过点()0,2P 引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。

解：先判断斜率不存在的情况，即直线x =2，与椭圆无交点。 即当k 不存在时，不满足题设要求。

则可设过点()0,2P 的直线方程为)2(-=x k y ，

联立方程⎪

⎩⎪⎨⎧=+-=12

)2(2

2y x x k y ，消去y ，整理得0144212

222=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+k x k x k ，

因为直线与椭圆相交，所以(

)

()

0142144222

2>-⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=∆k k k

解得2

1

02

k ≤<

设弦的两个端点为()11,y x A 、()22,y x B ，中点()y x M ,，

则由韦达定理知：2

2

212142k

k x x x +=+=， 反表示为：x x k 242

-=

，由上述求得k 2

的范围，则有10422

x x ≤

<-，解得10<≤x 。 由直线方程)2(-=x k y ，两边平方得2

2

2

(2)y k x =- 代入x x k 242

-=

有()222

21(2)(2)2422

x y k x x x x x =-=

-=---， 即求得轨迹方程为：2

2

(1)21(01)x y x -+=≤<

练习：

1.过椭圆

136

642

2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，用点差法求PQ 中点的轨迹方程。

2.已知椭圆12

22

=+y x ，过点()0,2P 引椭圆的割线，用点差法求求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。

3.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,

左焦点为(F ,且过点

D (2,0).

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)设点1

(1,2

A ,若P 是椭圆上的动点,求线段PA 的中点M 的轨迹方程. 答案：

1. 解：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），

则有⎩⎨⎧=+=+576

1695761692

2222121y x y x ， 两式相减得0)(16)(92

22

12

22

1=-+-y y x x ，

又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ， 所以

y

x

x x y y 1692121=--，

而)

8(0

---=

x y k PQ ，故8169+=x y y x 。

化简可得0167292

2=++y x x （8-≠x ）。

2. 解：设弦的两个端点为()11,y x A 、()22,y x B ，中点()y x M ,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1

2

12

222

2212

1y x y x

两式相减得

02

2

2212

221=-+-y y x x ， 整理得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ， 由题意知21x x ≠，所以

()AB k y

x

y y x x x x y y =-=+-+=--2221212121，

又2

-=

x y

k AB ，所以y x x y 22-=-， 整理得12)1(2

2

=+-y x 。

过点()0,2P 的直线方程为)2(-=x k y ，联立方程⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=12

)

2(2

2y x x k y ，消去y ，整理得

0144212

222=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+k x k x k ，又过点()0,2P 的直线与椭圆相交，所以 ()

()

0142144222

2

>-⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=∆k k k 解得2

102k ≤<

，即1

0422

x x ≤

<-，解得10<≤x 。 所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(2

2

=+-y x （10<≤x ）