最短路线和最速降线.

数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在雅各布·伯努利方法的基础上，1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。现在来看，雅各布的方法是最有意义和价值的。
2．假设质点在滑动过程中不考虑空气阻力。
3．模型尽管A，B两点间的最短距离是连接它们的直线，但是沿直线运动时速度增长较慢，如果沿一条陡峭的曲线下滑，虽然路径加长，但运动速度增长很快。
最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去，“等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段最速降线。按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，从而对房屋起到保护的作用。
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总结上述讨论，知曲线 的长度必不小于 并且只有当 与 重合时才可能相等。因此 是唯一的最短路径。
（2）若 点在圆 内，即 则应过 点作一半径 的圆，其圆心在 延长线上，再过 点作一圆，半径为 ，且与前圆切于点 ，则最短路径是弧 和弧 所
组成的曲线（如图2所示）。
图2
二、最速降线
1．问题意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,如图3,求连接它们的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点滑到B点（摩擦力不计）”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。
为了求这条运动时间最短的曲线，在图3中将A点取为坐标原点（0,0），B点坐标为（x1,y1），连接A，B的曲线记为y(x)，于是曲线上的弧长为 .根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点的速度 满足 ,其中m是质点的质量，g是重力加速度。将上面ds的关系代入，得到 ,于是质点沿曲线y(x)从A点滑到B点的时间可表示为
其中 为弧长。在点 处，曲线的切线与 轴的夹角记为 ，依条件有
当 时， 故
从而
。
研究曲线上的点与直线 的距离（在 的右边为正）
因为
故
因此
当 时，有 当 时, 。
故
故当 时，
这就是说，当汽车移动距离不超过 （就是弧 的长度）时，它不可能越过直线 。因此弧 的长度至少为 ,并且只有当弧 与 完全重合时，它的长度才能等于 。
最短路线和最速降线
一、最短路线
1．问题设一辆汽车停止于 处并垂直于 方向，此汽车可转弯的最小圆半径为 ,求不倒车时由 移到 的最短路线。
（1）讨论 的情形。
（2）简单讨论 的情形。
2． 假设将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。
3．建模 （1）讨论 的情形。以 为 轴正向，作一半径为 的圆 与 轴切于 点，问题就是要找一条最短曲线连结 ，在 点切于 轴正向，且任一点的曲率半径不小于 。
直观上不难猜测出最短路径。从 点向圆 做切线 ，那么由 点沿圆弧 移到 点，再沿直线移到 点，这就是最短路径（如图1所示）。
为了证明这一事实，作一条直线 通过圆 的中心 和 点。
假设汽车沿某一条曲线 由 点移到 点，因 、 分别在直线 两侧， 与 必有一交点 被分成弧 和弧 两段。因 与 垂直，弧 的长度必不小于线段 的长度（当且仅当弧 与线段 重合时才可能相等）。设弧 的参数方程为 图1
瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再提出这个最速降线的
图3
问题（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅各布·伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。
(1)
y(x)在A，B两个端点应有
y(0)=0,y(x1)=y1(2)
最速降线问题归结为求y(x)，在满足（2）的条件下，使（1）的J(y(x))达到最小。
4．求解约翰·伯努利设想质点也像光线那样按从A到B耗时最少的路径滑行，根据光学原理（史奈尔折射定律）得
（3）
由能量守恒定律得 （4）
由几何关系得 （5）
由（3）、பைடு நூலகம்4）、（5）得
（6）
上述解法让我们见识了数学建模中的类比想象能力是何等的宝贵。现实世界各种现象之间的模拟是一种重要的科研方法。约翰·伯努利解决最速降线的方法非常奇妙，表现出惊人的想象力，可以说是一项水平极高的艺术工作。
5．应用滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的滑面是旋轮线。旋轮线滑面上的小朋友可以最短时间到达地面。