第八章 阻尼模态理论

We {x}) = {x}T { f }
(8.13)
这三部分能量在第七章内已作了分析。对于阻尼结构系统，除了上述的三部分能量之外， 还有粘性阻尼所消耗的能量，它是用耗散函数(8.5)式表示为
D({x}) = 1 {x}T[C]{x} 2
也就是说，粘性阻尼力{fd}所消耗的功等于
l
∫ Wd = − 0 Ddt
(8.28) (8.29)
[
A]
=
⎡ ⎢⎣−
0 M −1
K
I⎤
−
M
−1C
⎥, ⎦
⎡0 ⎤
[E
]
=
⎢ ⎣M
−1
⎥ ⎦
(8.30)
这两种形式的状态方程具有各自的特点，将分别采用两种形式的状态来分析阻尼结构系统 的振动特性。
§8.3 比例阻尼结构系统的振动特性
8.3.1 比例阻尼结构系统的定义
阻尼结构系统的阻尼在§8.1 里已作了发析，由于生成阻尼的因素多样、机理复杂，难 以精细地加以考虑。在工程上往往作近似外理，用能量等效的观点折算为当时的粘性阻尼。 在结构动力学分析中采用的阻尼模型是粘性阻尼模型，它是各种形式的阻尼都折算为当量 粘性阻尼。因此，粘性阻尼矩阵[C]的形成就不能像刚度矩阵与质量矩阵那样可从其机理分 析来确定，给出其定量的规律性。所采用的粘性阻尼模型带有很大的人为假设，是用当量 的观点提出的，并非它的实际阻尼情况。这种当量粘性阻尼往往只是给整个结构系统从宏 观角度确定其在一个振动周期内消耗能量的总效果，它并不能在有限元级（构形域）和瞬 时级（时间域）上作出分析。
(8.18)
它是阻尼结构系统在物理位移空间和时间域内的数学模型，是一种主要形式的数学模型， 但在理论分析时，采用更一般形式的状态方程将更便于进行分析。下面介绍有关系统、状 态与状态方程的概念。
（1）系统的概念
系统是一种更为广泛的概念，反映着某种物理现象，甚至社会现象，表现出输入与输 出之间的变换关系。就结构系统而言，反映的是一种力学现象，当对结构系统施加某种作 用，如施加激励力{f(t)},这就是输入，结构系统就要产生振动，有振动位移{x(t)}（或振 动应力{σ(t)}的出现，这是输出，它们构成为一个结构动力学系统。在绪论中所介绍的结 构动力学研究对象就是这类系统的描述。
∫ D = − 1 c dxi dxi dS 2 S dt dt 称之为耗散函数。当结构系统进行离散化后，离散化结构系统的阻尼力列阵是
(8.3)
{ f d } = −[C]{x} 它的耗散函数是
(8.4)
D = − 1 {x}T [C]{x} 2
(8.5)
其中[C]称为粘性阻尼矩阵。有限元法主要采用的是这种线性阻尼模型，在以后的分析中若 不作特殊说明时所涉及的阻尼都采用这种粘性阻尼模型。
为在实际分析中能考虑各类阻尼的耗能作用，可以用当时粘性阻尼来替代。以库伦摩
擦阻尼为例，当结构系统作简谐振动时，在一个周期内库伦摩擦力所消耗的功约等于
4μNx
m
，其中xm是其振幅。而当量粘性阻尼力的功是
πc
f
ωx
2 m
。于是，它的当量粘性阻尼系
数应是
cf
= 4μN πωx m
这样，可以近似地将它与粘阻尼系数合并来考虑摩擦阻尼的作用。
8.1.4 摩擦阻尼模型
结构系统是由构件组合而成。各构件之间存在着间隙和摩擦，它们构成摩擦阻尼，在 结构系统发生振动时它要消耗能量。它的一种最简单的阻尼模型是库伦摩擦阻尼模型，库 伦摩擦力等于
ff
=
−μN
( |
u u
r r
) |
(8.9)
其中 N 是正压力，μ是摩擦系数，ur 是摩擦副之间的相对速度。这是一种常见的阻尼模型， 但它是一种非线性阻尼模型，在分析计算中有众多困难，这里将不作进一步的分析。
8.2.2 离散化的阻尼结构系统的数学模型
上节对粘性阻尼结构系统进行了能量分析，给出了相应的能量方程。将它的能量公式 (8.11),(8.5),(8.12),(8.13)式代入拉格朗日方程(8.16)，得离散化阻尼结构系统在位移 空间内的动力学基本方程
[M ]{x} + [C]{x} + [K ]{x} = { f }
的方向与应变率反向，即
σ e = −gEε
则这种阻尼材料的本构关系是
σ = σ e + σ d = Eε + Egε
这种简单的材料阻尼模型，称之为 Voigt 模型。设结构系统以频率ω作简谐振动，其应变 分量也按简谐规律变化，即
ε = ε m exp( jωt)
则它的总应力是
σ = σ m exp( jωt) = E(1+ jgω)ε m exp( jωt) = E(1+ jgω)ε = E~(ω)ε 其中复模量 E~(ω ) = E(1+ jωg ) 是 Voigt 型阻尼材料的复模量。
(8.26)
[
A]
=
⎡C ⎢⎣M
M 0
⎤ ⎥, ⎦
[B]
=
⎡K
⎢ ⎣
0
它与输入与输出矩阵分别是
0⎤
−
M
⎥ ⎦
(8.27)
[E]
=
⎡I ⎤ ⎢⎣0⎥⎦,
[D] = [I
0]
状态方程(8.23)是一种广义形式，它的标准形式应是
{y(t)} = [ A]{y(t)} + [E ]{ f (t)}
阻尼结构系统标准形式状态方程的状态矩阵和输入矩阵分别是
x = [1 0]{y}
(8.22)
把上面的分析推广到一般情况，一个系统的控制方程应包括两部分：状态方程和输出方程。 它的状态方程具有如下一般形式
[ A]{y(t)}+ [B]{y(t)} = [E]{ f (t)}
(8.23)
和输出方程是
{x(t)} = [D]{y(t)}
(8.24)
其中{y}是状态向量，[A]和[B]是状态矩阵，[E]是输入矩阵，[D]是输出矩阵。
阻尼结构系统（离散的有限元模型）的动力学基本方程是方程(8.18)，它是以其节点 位移向量{x(t)}为基本未知量，但它不是状态向量。根据基本方程的形式及其定解条件， 它的状态向量应定义为
{y(t)}
=
⎧{x(t)}⎫ ⎩⎨{x(t)}⎭⎬
为建立状态方程，把方程(8.18)改写为
[M ] d{x(t)} + [C] d{x(t})} + [K ]{x(t)} = { f (t)}
dt
dt
再引入增ຫໍສະໝຸດ Baidu的恒等式
[M ] d{x(t)} − [M ]{x(t)} = 0 dt
综合上列两个方程，得阻尼结构系统的状态方程为
(8.25)
⎡C ⎢⎣M
M 0
⎤ ⎥ ⎦
d{y(t)} dt
−
⎡K
⎢ ⎣
0
−
0 M
⎤ ⎥{y(t)} ⎦
=
⎡I ⎤ ⎢⎣0⎥⎦{
f
(t)}
它就是(8.23)形式的状态方程。其中状态矩阵是
（3）状态方程
由状态变量{y(t)}描述的系统基本方程称为状态方程，状态方程一般地是状态变量的 一队微分方程。它给出了系统的输入与输出的转换关系。以最简单的机械系统为例来说明 这个概念。质点动力学的基本方程是牛顿第二定律，即
d 2x(t) m dt 2
=
f (t)
(8.19)
它的输入是作用力 f(t),它的定解条件是位移与速度的初始值 x(0)与 x(0) ,由此可见，它的 状态向量是位移 x(t)与速度 x(t) ,即
(8.10)
§8.2 阻尼结构系统的动力学基本方程
8.2.1 阻尼结构系统的能量分析
粘性阻尼结构系统（以后简称为阻尼结构系统）经离散化为有限元模型，它的应变能、 动能和外力功分别是
Ui
({x})
=
1 2
{x}T
[K ]{x}
(8.11)
T ({x}) = 1 {x}T [M ]{x} 2
(8.12)
∂D ∂{x}
=
{
f
}
(8.16)
若阻尼结构系统没有受到外加激励的作用（f=0）,则外力功为零，无外界能量输入，这时 将(8.16)前乘{x}T,可以推得
d dt
(T
+U
i
)
=
−2D
(8.17)
它说明阻尼结构系统的机械能在无外界能量输入情况下不断地被消耗，它随时间的消耗率 等于耗散函数（粘性阻尼所消耗的功率）的二倍。
{y(t)}
=
⎧x(t)⎫ ⎩⎨x(t)⎭⎬
为建立它的状态方程引入恒等式 x(t) = x(t) ，则得状态方程是
(8.20)
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
d{y} dt
−
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦{y}
=
1 m
⎧0⎫
⎩⎨1
⎬ ⎭
f
(8.21)
这类质点动力学问题的输出变量是位移 x(t)，则还需有输出方程
8.1.3 材料阻尼模型
结构系统的另一种重要阻尼是由材料内阻产生的。结构系统发生不断的往复运动时材 料内部阻尼将消耗其机械能，这种材料内阻与材料性能有关，取决于材料的本构关系。材 料的弹性性能由虎克定律用下式表出
σ e = Ee
材料阻尼所产生的阻尼应力σ e 认为是与应变革 ε 成正比，设其比例系数是 g ，且阻尼应力
fd
=
−cv = −c
dx dt
(8.1)
其中 v 是质点的速度，c 是介质的粘性阻尼系数。由于粘性阻尼的存在，在运动过程中要耗 散能量，它在单位时间内耗散的功率等于
D
=
1 2
fdv
=
−
1 2
cv 2
(8.2)
若结构系统是个连续系统，在粘性流介质中运动时产生有分布阻尼力。它也用(8.1)式表示， 所不同的是它是位置坐标xi的场变量。它所耗散的功率等于
σ (s) = E(s)ε (s)
(8.7)
其中 E(s)是拉氏域内的复模量,它的一种标准导数模型可用拉氏变量的有理分式给出,即
E(s) = Q(s) = q0 + q1s + " + qr sT P(s) 1+ p1s + " + pr sT
(8.8)
这种粘弹性阻尼模型的引入是对材料阻尼的一种较好的描述,它给出了阻尼的频变性能。这 部分内容将在专题讨论中介绍。
(8.6)
材料阻尼有多种阻尼模型，它的一种描述形式是用其复模量 E~ 。它的实部是其弹性性 能，它的虚部是其阻尼性能。一种最简形式是
E~ = E(1+ jg)
但这种形式实用上有非常大的局限性，只适用于单自由度系统作简谐振动的情况。
目前比较广泛使用的材料阻尼模型是粘弹性阻尼模型。它是建立在材料的粘弹性本构 关系基础之上的。这种粘弹性材料性能是与其变形历史有关，且具有渐忘记忆特性。它的 本构关系在拉氏域内的描述有与虎克定律相似的形式，即
于是，阻尼结构系统的哈密尔登作用量原理可表示为
(8.14)
l
∫δ { 0 (−U i + T −Wd + Wc )dt} = 0
(8.15)
根据阻尼结构系统的哈密尔登作用量原理(8.15)式，从它的驻值条件推出它的拉格朗日 (Lagrange)方程是
d dt
( ∂∂{Tx})
−
∂U i ∂{x}
+
（2）状态向量
对系统的完整描述是它的状态向量。所谓状态向量是描述系统状态的一组变量{y(t)}, 根据状态向量的初始值{y(0)}和以后的输入{f(t)}将唯一地确定变量的整个变化历程。对 于结构动力学系统，它的状态向量是由位移向量{x(t)}和速度向量{x(t)}所组成。因为在 已知输入的激励情况下，根据初始位移{x(0)}与初始速度{x(0)}可以确定它的整个运动的 时间历程{y(t)}。
8.1.2 粘性阻尼模型
结构系统最简单的一种阻尼模型是粘性阻尼模型，由于它是一种线性阻尼模型，被广 泛应用于结构动力学分析。粘性阻尼的机理是基于在粘性流中流动的物体所受到的一种阻 力，它的大小与运动速度成正比，运动速度越大则所受的阻力也越大，它的方向是与速度 反向，对于一个质点来说，它粘性阻尼力的数学表达式可写为
第八章 阻尼模态理论
§8.1 阻尼模型
8.1.1 阻尼的概念
到目前为止所分析的结构动力学问题都没有考虑阻尼的作用，在上一章里讨论的是无 阻尼结构系统的固有模态特性（固有模态理论）。但结构系统动力学分析中，特别是动响应 分析，阻尼的作用是不可忽略的，由于阻尼的存在，结构系统的模态特性呈现出复杂性。 这里将讨论阻尼结构系统的阻尼模态特性（阻尼模态理论）。结构系统在其振动过程中，阻 尼的产生有多种原因，来自多个方面，有介质阻尼，材料阻尼，摩擦阻尼，以及结构阻尼 等。不同类型的阻尼是由不同的机理生成，难以用一个简单的统一的规律作综合的描述。 而且它们的阻尼机理也都比较复杂，作用在不同的结构系统有不相同的定量规律。这样， 阻尼的分析不可能象刚度与惯性那样通过分析来建立它的特性矩阵，目前只能对具体结构 系统作试验实测，给出它的定量结果。阻尼从运动角度看，它起阻碍运动的作用，其阻尼 力的方向是与运动方向相反。阻尼力大小的具体规律受多种因素影响，往往需对具体问题 作具体分析，且只能突出主要因素通过实验加以测定。阻尼 从能量角度看，它消耗结构系 统的能量，其量值可用它在振动一周内所耗散的能量来度量。由于阻尼机理的复杂性，缺 乏统一的规律性，在工程上只能采用简单模型用能量等价的方法作简化处理。下面对几种 典型阻尼的机理分别作个简要介绍。