2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题04 线性规划

专题04线性规划

线性规划小题：10年9考，就2019年没考，线性规划题考得比较基础，一般不与其他知识结合．由于线性

规划的运算量相对较大，所以难度不宜太大，不过为了避免很多考生解出交点代入的情况估计会加大“形”的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题．

1．（2018年）若x，y满足约束条件

x 2y 20

x y 10y

，则z＝3x+2y的最大值为．

【答案】6

3131

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由

2222

图象知当直线y＝﹣

31

x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6．2

2

2．（2017年）设x，y满足约束条件

x 3y 3

x y 1

y 0

，则z＝x+y的最大值为（）

A．0

【答案】D

B．1C．2D．3

【解析】x，y满足约束条件

x 3y 3

x y 1

y 0

的可行域如图，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由

y 0

x 3y 3

解得A（3，0），所以z＝x+y的最大值为3．故选D．

1

3．（2016年）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A

的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过

600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为

【答案】216000

元．

x

y

【解析】设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得 1.5x 0.5y 150

x 0.3y 90

5x 3y 600

，z＝2100x+900y．不

x 0.3y 90

等式组表示的可行域如图，由题意可得，解得：

x 60

y 100

，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值为2100×60+900×100＝216000元．

4．（2015年）若x，y满足约束条件

【答案】4

x y 20

x 2y 10

2x y 20

，则z＝3x+y的最大值为．

【解析】由约束条件

x y 20

x 2y 10

2x y 20

作出可行域如图，化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为3×1+1＝4．

5x 3y 600

2

5．（2014年）设x，y满足约束条件

x y a

x y

1

，且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）

A．﹣5

【答案】B

B．3C．﹣5或3D．5或﹣3

【解析】如图所示，当a≥1时，由

x y

1x y

a

a 1a 1a 1a 1

，解得x ，y＝，∴,．当直线z

22

＝x+ay经过A点时取得最小值为7，∴

a 1a a 1

7

22

，化为a2+2a﹣15＝0，解得a＝3，a＝﹣5（舍去）．当a＜1时，不符合条件．故选B．

1x 3

6．（2013年）设x，y满足约束条件

1x y 0

【答案】3

，则z＝2x﹣y的最大值为．

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由

x 3

y x

得A（3，3），z＝2x﹣y可转换成y＝2x﹣z，z最大时，y值最小，即当直线z＝2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．

7．（2012年）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）△在ABC

22

3

内部，则 z ＝﹣x +y 的取值范围是（

）

A ．（1﹣ 3 ，2）

B ．（0，2）

C ．（ 3 ﹣1，2）

D ．（0，1+ 3 ）

【答案】A

【解析】设 C （a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由 A （1，1），B （1，3）， △及ABC 为正三角形可得，AB ＝AC ＝BC

＝2，即（a ﹣1） +（b ﹣1） ＝（a ﹣1） +（b ﹣3） ＝

4，∴b ＝2，a ＝1+ 3 ，即 C （1+ 3 ，2），∴直线

AB 的方程为 x ＝1，直线 AC 的方程为 y ﹣1＝

3 3 （x ﹣1），直线 BC 的方程为 y ﹣3＝﹣ （x ﹣1），当直

3 3

线 x ﹣y +z ＝0 经过点 A （1，1）时，z ＝0，经过点 B （1，3）时，z ＝2，经过点 C （1+

3

，2）时，z ＝1﹣ 3

，

∴ z

2 ， z

max

1 3 min

，故选 A ．

32 x y 9 8．（2011 年）若变量 x ，y 满足约束条件

6 x y 9

，则 z ＝x +2y 的最小值为 ．

【答案】﹣6

【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数 z ＝x +2y ，变化为 y

＝﹣ 1 z

x + ，当直线沿着 y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，由 y ＝x ﹣9 2

2

与 2x +y ＝3 的交点得到 A （4，﹣5）∴z ＝4+2 （﹣5）＝﹣6．

2 2 2 2