李雅普诺夫稳定性定理的应用汇总

李雅普诺夫稳定性定理的应用——

设计模型参考自适应律

2010.04.14

理论依据

李雅普李雅普诺夫直接法一致渐近稳定的条件：接致渐稳定条件V (x , t 正定V (x , t 负定•

Á假设可调系统与参考模型在数学模型的结构上完全相同，该设计要求设计可调参数的变化规律（自适应律），以使得可调系统的外特性能够完全趋于参考模型的外特性。

例题

试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数可调试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数调的模型参考自适应律，其中参考模型和可，

调系统的传递函数分别是：

k ˆ(s =g 参考模型：s +a

k v ˆv (

s =可调系统：g s +a v

解：给予参考模型和可调系统以相同的输入u ，假设它们的输出分别是y 和y v ，当然它们都是可以直接量测的所要求的模型参考自是可以直接量测的。所要求的模型参考自适应律就是当

a v =a v (t , u , y , y v 及k v =k v (t , u , y , y v

时可调系统实现对参考模型的自适应时，可调系统实现对参考模型的自适应，即：

=k −k →0⎧k v ⎪ =a −a v →0⎨a

⎪e =y −y →

0v ⎩

将参考模型和可调系统都写成微分方程的形式： y (t + a ⋅ y (t = k ⋅ u (t yv (t + av yv (t = kvu (t 于是：e (t = y (t − y v (t = ku (t − a ⋅ y (t − k v u (t + a v y v (t = k u (t − k v u (t − a y (t + a y v (t − a y v (t + a v y v (t = ( k − k v u (t − a[ y (t −y v (t ] − ( a − a v y v (t ~ ~ = − a ⋅ e (t + k ⋅ u (t − a ⋅ y (t v

设系统的广义状态变量是 ~ ~ x (t = [ e(t k (t a (t ]T 则前述自适应的目标就是广义系统渐近稳定。为此取李雅普诺夫函数 ~2 ~ v( x = P e (t + P2 k (t + P3 a 2 (t 1 2 Pi > 0 显然是正定泛函，另一方面观察 ~~ ~~ v( x = 2 P e e + 2 P2 k k + 2 P3 a a 1 ~ ~~ ~ y + 2P k k + 2P a a ~~ = 2 P e (−a e + k u − a v 1 2 3 ~ ~~ 2 ~ ~~ = −2 P a e + 2 P e k u + 2 P2 k k − 2 P e a yv + 2 P3 a a 1 1 1 ~ ~ ~ ~ = −2 P a e 2 + 2 k ( P e u + P2 k − 2a ( P e yv − P3 a 1 1 1

显然，只要保证a > 0, ~ P e u + P2 k = 0, 1 ~ P e yv − P3 a = 0 1 就能确保 v( x < 0 ，即为负定泛函。即为负定泛函即可求出~ P k = − 1 e u, P2 ~ = P ey 1 a v P3 最

后得到参数可调的自适应律是kv (t = k0 + μ k ∫ e(τ u (τ dτ = kv (t , u, y, yv 0 t av (t = a0 − μ a ∫ e(τ yv (τ dτ = av (t , y, yv 0 t