过程与函数的相关知识
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
初中二次函数的所有知识点
初中二次函数知识点归纳二次函数的顶点坐标公式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)二次函数的三种表达式二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。
二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)二次函数的交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)二次函数的性质(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0, c)。
二次函数与图像的关系(一)a与图像的关系1.开口方向当a>0时，开口向上。
当a<0时，开口向下，2.开口大小|a|越大，图像开口越小。
|a|越小，图像开口越大。
(二)b与图像的关系当b=0时，对称轴为y轴。
当ab>0时，对称轴在y轴左侧。
当ab<0时，对称轴在y轴右侧。
(三)c与图像的关系当c=0时，图像过原点。
当c>0时，图像与y轴正半轴相交。
当c<0时，图像与y轴负半轴相交。
二次函数的对称轴公式二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
随机过程知识点
第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验;样本空间记为Ω..定义1.1 设Ω是一个集合;F 是Ω的某些子集组成的集合族..如果 1∈ΩF ；2∈A 若F ;∈Ω=A A \则F ； 3若∈n A F ; ，，21=n ;则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数Borel 域..Ω;F 称为可测空间;F 中的元素称为事件.. 由定义易知：定义1.2 设Ω;F 是可测空间;P ·是定义在F 上的实值函数..如果 则称P 是()F ,Ω上的概率;P F ，，Ω称为概率空间;PA 为事件A 的概率..定义1.3 设P F ，，Ω是概率空间;F G ⊂;如果对任意G A A A n ∈,,,21 ; ,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族..§1.2 随机变量及其分布随机变量X ;分布函数)(x F ;n 维随机变量或n 维随机向量;联合分布函数;{}T t X t ∈,是独立的..§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ;若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ;则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值..上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分..方差;()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差;而 为X 、Y 的相关系数..若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关..Schwarz 不等式若,,22∞<∞<EY EX则§ 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换定义1. 10 设随机变量的分布函数为Fx;称为X 的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质： 1(0)1,()1,()()g g t g t g t =≤-= 1 2 g t 在()∞∞-, 上一致连续..3()(0)()k k k g i E X =4若12,,,n X X X 是相互独立的随机变量;则12n X X X X =+++的特征函数12()()()()n g t g t g t g t =;其中()i g t 是随机变量X i 的特征函数;1,2,,i n =.定义1 . 11 设 12(,,,)n X X X X =是n 维随机变量;t = 12,,,n t t t ,R ∈ 则称121()(,,,)()[exp()]nitX n k k k g t g t t t E eE i t X '====∑;为X 的特征函数..定义1.12 设X 是非负整数值随机变量;分布列 则称)()(Xdef s E s P =＝k k k s P ∑∞=0为X 的母函数..§ 1.5 n 维正态分布定义1.13 若n 维随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度为 式中;),,,(21n a a a a =是常向量;n n ij b B ⨯=)(是正定矩阵;则称X 为n 维正态随机变量或服从n 维正态分布;记作),(~B a N X ..可以证明;若),(~B a N X ;则X 的特征函数为为了应用的方便;下面;我们不加证明地给出常用的几个结论..性质1 若),(~B a N X 则n l b B a X E kl X X k k l k ,,2,1,,)( ===..性质2 设),(~B a N X ;XA Y =;若BA A '正定;则),(~BA A aA N Y '..即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量..性质3 设),,,(4321X X X X X =是四维正态随机变量;4,3,2,1,0)(==k X E k ;则§ 1.6 条件期望给定Y=y 时;X 的条件期望定义为由此可见除了概率是关于事件｛Y=y ｝的条件概率以外;现在的定义与无条件的情况完全一样..EX|Y=y 是y 的函数;y 是Y 的一个可能值..若在已知Y 的条件下;全面地考虑X 的均值;需要以Y 代替y;EX|Y 是随机变量Y 的函数;也是随机变量;称为 X 在 Y 下的条件期望.. 条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念;下面我们介绍一个极其有用的性质..性质 若随机变量X 与Y 的期望存在;则⎰===)()|()]|([)(y dF y Y X E Y X E E X E Y --------1如果Y 是离散型随机变量;则上式为如果Y 是连续型;具有概率密度fx;则1式为第二章 随机过程的概念与基本类型§2.1 随机过程的基本概念定义2.1 设P F ，，Ω是概率空间;T 是给定的参数集;若对每个t ∈T ;有一个随机变量Xt ;e 与之对应;则称随机变量族}),,({T t e t X ∈是P F ，，Ω的随机过程;简记为随机过程}),({T t t X ∈..T 称为参数集;通常表示时间..通常将随机过程}),,({T t e t X ∈解释为一个物理系统..Xt 表示在时刻t 所处的状态..Xt 的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间;记为I ..从数学的观点来说;随机过程}),,({T t e t X ∈是定义在T ×Ω上的二元函数..对固定的t;Xt ;e 是定义在T 上的普通函数;称为随机过程}),,({T t e t X ∈的一个样本函数或轨道;样本函数的全体称为样本函数的空间..§ 2.2 随机过程的函数特征t X ={Xt ;t ∈T }的有限维分布函数族..有限维特征函数族： 其中：定义2.3 设t X ={Xt ;t ∈T }的均值函数def t m X )()]([t X E ;T t ∈.. 二阶矩过程;协方差函数：T ,)]()([),()(2∈-=t t m t X E def t t B t D X X X相关函数： =),(t s R X )]()([t X s X E定义2.4 设{Xt ;t ∈T };{Yt ;t ∈T }是两个二阶矩过程;互协方差函数;互相关函数..§ 2.3 复随机过程定义 2.5 设},{T t X t ∈;},{T t Y t ∈是取实数值的两个随机过程;若对任意T t ∈ t t t iY X Z +=; 其中 1-=i ;则称},{T t Z t ∈为复随机过程．定理 2.2 复随机过程},{T t X t ∈的协方差函数 ),(t s B 具有性质 1对称性：),(),(s t B t s B =；2非负定性§2.4 几种重要的随机过程一、正交增量过程定义2.6 设(){}T ∈X t t ,是零均值的二阶矩过程;若对任意的,4321T ∈<≤<t t t t 有公式()()[]()()[]03412=X -X X -X E t t t t ;则称()t X 正交增量过程..二、独立增量过程定义2.7 设(){}T ∈X t t ,是随机过程;若对任意的正整数n 和,21T ∈<<<n t t t 随机变量()()()()()()12312,,,-X -X X -X X -X n n t t t t t t 是互相独立的;则称(){}T ∈X t t ,是独立增量过程;又称可加过程..定义 2.8 设(){}T ∈X t t ,是平稳独立增量过程;若对任意,t s <随机变量()()s t X -X 的分布仅依赖于s t -;则称(){}T ∈X t t ,是平稳独立增量过程..三、马尔可夫过程定义2.9设(){}T t t X ∈,为随机过程;若对任意正整数n 及n t t t << ,21;()()0,,)(1111>==--n n x t X x t X P ;且其条件分布()(){}1111,,|)(--===n n n n x t X x t X x t X P =(){}11|)(--==n n n n x t X x t X P ;2.6则称(){}T t t X ∈,为马尔可夫过程..四、正态过程和维纳过程定义 2.10设(){}T t t X ∈,是随机过程;若对任意正整数n 和T t t t ∈∈ ,,21;()() ,,21t X t X ;()n t X 是n 维正态随机变量;则称(){}T t t X ∈,是正态过程或高斯过程..定义 2.11设{}∞<<-∞t t W ),(为随机过程;如果 10)0(=W ；2它是独立、平稳增量过程； 3对t s ,∀;增量()0,||,0~)()(22>--σσs t N s W t W ;则称{}∞<<-∞t t W ),(为维纳过程;也称布朗运动过程..定理 2.3 设{}∞<<-∞t t W ),(是参数为2σ的维纳过程;则 （1） 任意t ),(∞-∞∈;()||,0~)(2t N t W σ； （2） 对任意∞<<<∞-t s a ,;[]),m in())()())(()((2a t a s a W t W a W s W E --=--σ;特别： ()()t s t s Rw ,m in ,2σ=..五、平稳过程定义 2.12 设(){}T t t X ∈,是随机过程;如果对任意常数τ和正整数,n 当T ∈++T ∈ττn n t t t t ,,,,,11 时;()()()()n t t t X X X ,,21与()()()()τττ+X +X +X n t t t ,,,21 有相同的联合分布;则称(){}T t t X ∈,为严平稳过程;也称狭义平稳过程..定义 2.13 设(){}T t t X ∈,是随机过程;如果 1(){}T t t X ∈,是二阶矩过程；2对于任意()()[]=X E =T ∈X t t m t ,常数；3对任意的()()s t R t s R t s -=T ∈X X ,,,;则称(){}T t t X ∈,为广义平稳过程;简称为平稳过程..若T 为离散集;则称平稳过程(){}T t t X ∈,为平稳序列..第三章 泊松过程§３.1 泊松过程的定义和例子定义3.1 计数过程定义3.2 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数λ＞0的泊松过程;若它满足下列条件 1 X0= 0；2 Xt 是独立增量过程；3 在任一长度为t 的区间中;事件A 发生的次数服从参数λt ＞0的泊松分布;即对任意s;t ＞0;有注意;从条件3知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([..由于;tt X E )]([=λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数;故称λ为此过程的速率或强度..定义3.3 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数λ＞0的泊松过程;若它满足下列条件 1 X0= 0；2 Xt 是独立、平稳增量过程；3 Xt 满足下列两式：)(}2)()({),(}1)()({h o t X h t X P h o h t X h t X P =≥-++==-+λ 3.2定理3.1 定义3.2与定义3.3是等价的..3.2 泊松过程的基本性质一、数字特征设}0),({≥t t X 是泊松过程;一般泊松过程的有),m in(),(t s t s B X λ=..有特征函数定义;可得泊松过程的特征函数为二、时间间隔与等待时间的分布n W 为第n 次事件A 出现的时刻或第n 次事件A 的等待时间;n T 是第n 个时间间隔;它们都是随机变量..定理3.2 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松分布;)1(≥n T n 是对应的时间间隔序列;则随机变量),2,1( =n T n 是独立同分布的均值为λ/1的指数分布..定理3.3 设}1,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列;则n W 服从参数为n 与λ的Γ分布;其概率密度为三、到达时间的条件分布定理3.4 设}0),({≥t t X 是泊松过程;已知在0;t 内事件A 发生n 次;则这n 次到达时间n W W W <<< 21与相应于n 个0;t 上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布..§3.3 非齐次泊松过程定义 3.4 称计数过程{(),0}X t t ≥为具有跳跃强度函数()t λ的非齐次泊松过程;若它满足下列条件：1 (0)0X =；2 ()X t 是独立增量过程；3{()()1}()(){()()2}()P X t h X t t h o h P X t h X t o h λ+-==++-≥=非齐次泊松过程的均值函数为：定理 3.5 设{(),0}X t t ≥是具有均值函数0()()tX m t s ds λ=⎰的非齐次泊松过程;则有 或上式表明{()()}P X t s X t n +-=不仅是t 的函数;也是s 的函数..3.4 复合泊松过程定义3.5 设}0),({≥t t N 是强度为λ的泊松过程;,...}2,1{,=k Y k 是一列独立同分布随机变量;且与}0),({≥t t N 独立;令 则称}0),({≥t t X 为复合泊松过程..定理3.6 设,0)()(1≥∑==t k t x Y t N k 是复合泊松过程;则1..}0),({≥t t X 是独立增量过程；2Xt 的特征函数]}1)([ex p{)()(-=u g t u g Y t X λ;其中)(u g Y 是随机变量1Y 的特征函数；λ是事件的到达率..3若,)(21∞<Y E 则].[)]([],[)]([211Y tE t X D Y tE t X E λλ==第4章 马尔可夫链§4.1 马尔可夫链的概念及转移概率一、马尔可夫键的定义定义1 设有随机过程},{T n X n ∈;若对于任意的整数T n ∈和任意的I i i i n ∈+110,,, ;条件概率满足则称},{T n X n ∈为马尔可夫链;简称马氏链..二、转移概率定义2 称条件概率为马尔可夫链},{T n X n ∈在时刻n 的一步转移概率;其中I j i ∈,;简称为转移概率..定义 3 若对任意的I j i ∈,;马尔可夫链},{T n X n ∈的转移概率)(n p ij 与n 无关;则称马尔可夫链是齐次的;并记)(n p ij 为ij p ..定义4 称条件概率为马尔可夫链},{T n X n ∈的n 步转移概率;定理 1 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;则对任意整数n l n <≤≥0,0和I j i ∈,;n 步转移概率)(n ij p 具有下列性质：定义5 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;称为},{T n X n ∈的初始概率和绝对概率;并分别称},{I j p j ∈和}),({I j n p j ∈为},{T n X n ∈的初始分布和绝对分布;简记为}{j p 和)}({n p j ..定理2 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;则对任意I j ∈和1≥n ;绝对概率)(n p j 具有下列性质：定理3 设},{T n X n ∈为马尔可夫链;则对任意I i i i n ∈,,,21 和1≥n ;有§4.2 马尔可夫链的状态分类一、状态分类假设{,0}n X n ≥是齐次马尔可夫链;其状态空间{0,1,2,}I =;转移概率是,,ij p i j I ∈; 初始分布为{,,}j p i j I ∈ ..定义 4.6 如集合(){:1,0}n ii n n p ≥>非空;则称该集合的最大公约数()()..{:0}n ii d d i G C D n p ==>为状态i 的周期..如1>d 就称i 为周期的;如1=d 就称i 为非周期的..若对每一个不可被d 整除的n ;有()n ii p =0;且d 是具有此性质的最大正整数;则称d为状态i 的周期..引理4.1 如i 的周期为d;则存在正整数M;对一切M n ≥;有()0nd ii p >..定义 对,,S j i ∈记()0{,,1,2,,1|},2n ij n k f P X j X j k n X i n ==≠=-=≥ 4.15称()n ij f 是系统在0时从i 出发经过n 步转移后首次到达状态j 的概率;而()ij f ∞则是在0时从i出发;系统在有限步转移内不可能到达状态j 的概率..我们将()n ij f 和ij f 统称为首达概率又称首中概率..引理1 ()0n ij ij f f ≤≤ n j i ,,∀（2） 首达概率可以用一步转移概率来表示：定义4.7 若ii f =1;则称状态i 为常返的；若ii f <1;则称状态i 为非常返的.. 定义4.8 如∞<i μ;则称常返态i 为正常返的；如∞=i μ;则称常返态i 为零常返的;非周期的正常返态称为遍历状态..从状态是否常返;如常返的话是否正常返;如正常返的话是否非周期等三层次上将状态区分为以下的类型：)(n ij f 与)(n ijp 有如下关系： 定理4.4 对任意状态,i j ;及∞<≤n 1;有()()()()()1.nnn k n k n k k ijijjjij jj k k pfpf p --====∑∑ 4.16引理4.2 }.0,1:{..}0,1:{..)()(>≥=>≥n ii n iif n n D C G p n n D C G二、常返态的性质及其性质定理4.5 状态i 常返的充要条件为∞=∑∞=0n iip4.18如i 非常返;则定理4.7 设i 常返且有周期d;则ind iin d p μ=∞→)(lim . 4.26其中i μ为i 的平均返回时间..当∞=i μ时;0=idμ.推论 设i 常返;则(1) i 零常返0lim )(=⇔∞→n iin p ；2i 遍历()1lim 0n ii n ip μ←∞⇔=>..定理4.8 可达关系与互通关系都具有传递性;即如果j i →;k j →;则k i →； 如果i k ↔;k j ↔;则k i ↔..定理4.9 如i j ↔;则（1） i 与j 同为常返或非常返;若为常返;则它们同为正常返或零常返； （2） i 与j 有相同的周期..§4.3 状态空间的分解定义4.9 状态空间I 的子集C 称为随机闭集;如对任意i C ∈及k C ∉都有0ik p =..闭集C 称为不可约的;如C 的状态互通..马氏链{}n X 称为不可约的;如其状态空间不可约..引理4.4 C 是闭集的充要条件为对任意i C ∈及k ∉C 都有()n ik p =0;n ≥1.. 称状态i 为吸收的;如ii p =1..显然状态i 吸收等价于单点集{}i 为闭集.. 定理4.10 任一马氏链的状态空间I;可唯一地分解成有限个或可列个互不相交的子集12,,,D C C 之和;使得① 每一n C 是常返态组成的不可约闭集..② n C 中的状态同类;或全是正常返;或全是零常返..它们有相同的周期且1jk f =; ,n i k C ∈..③ D 由全体非常返状态组成..自n C 中的状态不能到达D 中的状态.. 定义4.10 称矩阵ij a 为随机矩阵;如其元素非负且每i 有∑jij a ＝1..显然k 步转移矩阵)(k P ＝)(k ij p 为随机矩阵..引理4.5 设C 为闭集;又G ＝)(k ij p ; i ;j ∈C;是C 上所得的即与C 相应的k 步转移子矩阵;则G 仍是随机矩阵..定理4.11 周期为d 的不可约马氏链;其状态空间C 可唯一地分解为d 个互不相交地子集之和;即1,,,d r r S r C G G G r s φ-===≠ 4.31且使得自r G 中任一状态出发;经一步转移必进入1+r G 中其中0G G d =..定理4.12 设{,0}n X n ≥是周期为d 的不可约马氏链;则在定理4.11的结论下有1如只在时刻0,,2,d d 上考虑{}n X ;即得一新马氏链;其转移阵()()()d d ij P p =;对此新链;每一r G 是不可约闭集;且r G 中的状态是非周期的..2如原马氏链 {}n X 常返;{}nd X 也常返..§4.4 )(n ij p 的渐近性质与平稳分布一、)(n ij p 的渐近性质定理4.13 如j 非常返或零常返;则)(lim n ij n p ∞→＝0;I i ∈∀ 4.33推论1 有限状态的马氏链;不可能全是非常返状态;也不可能含有零常返状态;从而不可约的有限马氏链必为正常返的..推论2 如马氏链有一个零常返状态;则必有无限多个零常返状态..定理4.14 如j 正常返;周期为d;则对任意i 及10-≤≤d r 有()lim ()nd r ijij n jd p f r μ+→∞= 4.37 推论 设不可约、正常返、周期d 的马氏链;其状态空间为C;则对一切C j i ∈,;有,(),lim 0,s nd j ijn di j G p μ→∞⎧⎪=⎨⎪⎩如与同属于子集否则， 4.38 其中s d s G C 1－==U 为定理4.11中所给出..特别;如d=1;则对一切,i j 有.1lim )(jn ijn p μ=→∞4.39定理 4.15 对任意状态,,j i 有推论 如{}n X 不可约;常返;则对任意,i j ;有()111lim n k ij n k j p n μ→∞==∑ j μ＝∞时;理解j1μ＝0 定义4.11 称概率分布{,}j j I π∈为马尔可夫链的平稳分布;若它满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==∑∑∈∈.0,1,j I j i ij I i i j p ππππ 4.41值得注意的是;对平稳分布{,}j j I π∈;有()n j i ij i Ip ππ∈=∑ 4.42定理 4.16 不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布;且此平稳分布就是极限分布1{,}j j I u ∈..推论1 有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布..推论 2 若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返的;则不存在平稳分布.推论3 若{,}j j I π∈是马尔可夫链的平稳分布;则第五章 连续时间的马尔可夫链§5.1连续时间的马尔可夫链定义 5.1 设随机过程{X t;t ≥0};状态空间{,0}n I i n =≥;若对于任意1210n t t t +≤<<<及121,,,n i i i I +∈有= 11{()|()}n n n n P X t i X t i ++== 5.1 则称{X t;t ≥0}为连续时间的马尔可夫链..记5.1式条件概率的一般形式为(,){()|()}ij p s t P X s t j X s i =+== 5.2定义 5.2 若5.2式的转移概率与s 无关;则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率;此时转移概率简记为(,)()ij ij p s t p t = 5.3其转移概率矩阵简记为()(()),(,,0)ij P t p t i j I t =∈≥..以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率..为方便起见;简称为齐次马尔可夫过程..定理5.1.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有以下性质：其中3式为马尔可夫过程的Chapman-Kolmogorov 简称C-K 方程..1;2由概率定义及()ij p t 的定义易知;下面只证明3..定义5.1.3对于任一t ≥0;记分别称{(),}j p t j I ∈和{,}j p j I ∈为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布..性质5.1.1 齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有以下性质：§5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程引理 5.2.1 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件;则对于任意固定的)(,,t p I j i ij ∈是t 的一致连续函数..定理5.3 设)(t p ij 是齐次马尔可夫过程的转移概率;则下列极限存在我们称ij q 为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态j 的转移速率或跳跃强度.. 推论 对有限齐次马尔可夫过程;有定理5.4 柯尔莫哥洛夫向后方程假设ik ii k iq q ≠=∑;则对一切,i j 及t 0;有()()()ijik kj ii ij k ip t q p t q p t ≠'=-∑ 5.2.4 定理5.2.3 柯尔莫哥洛夫向前方程在适当的正则条件下定理5.2.4 齐次马尔可夫链过程在t 时刻处于状态j ∈I 的绝对概率()j p t 满足如下方程：定理5.2.5 设马尔可夫过程是不可约的;则有下列性质：1若它是正常返的;则极限lim ()ij t p t →∞存在且等于0,j j I π>∈;这里j π是方程组的唯一非负解;此时称{,j j I π∈}是该过程的平稳分布;并且有2若它是零常返的或非常返的;则§5.3 生灭过程定义 设齐次马尔可夫过程{(),0}X t t ≥的状态空间为{0,1,2,}I =;转移概率为()ij p t ;如果则称{(),0}X t t ≥为生灭过程..其中;i λ称为出生率;i μ称为死亡率..1若,i i i i λλμμ==λ;μ为正常数;则称{(),0}X t t ≥为线性生灭过程；2若0i μ≡;则称{(),0}X t t ≥为纯生过程； 3若0i λ≡;则称{(),0}X t t ≥为纯灭过程..第六章 平稳随机过程§6.1 平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义1.平稳过程定义§6.2 联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义 设{(),}X t t T ∈和{(),}Y t t T ∈是两个平稳过程;若它们的互相关函数[()()]E X t Y t τ-及[()()]E Y t X t τ-仅与τ有关;而与t 无关;则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程..定理6.1 设{(),}X t t T ∈为平稳过程;则其相关函数具下列性质:1 ;0)0(≥X R2 );()(ττ-=X X R R3 );0()(X X R R ≤τ4 )(τX R 是非负定的;即对任意实数12,,,n t t t 及复数12,,,n a a a ;有5 若()X t 是周期为T 的周期函数;即()()X t X t T =+;则)()(t R R X X +=ττ；6 若()X t 是不含周期分量的非周期过程;当∞→τ时;()X t 与()X t τ+相互独立;则 1 );0()0()(),0()0()(22Y X XY Y X XY R R R R R R ≤≤ττ 2 ()()XY YX R R ττ-=§ 6.3 随机分析一、收敛性概念1、处处收敛对于概率空间(,,)P Ω℘上的随机序列{}n X ;每个试验结果e 都对应一序列..12(),(),,(),n X e X e X e 6.2故随机序列{}n X 实际上代表一族6.2式的序列;故不能用普通极限形式来定义随机序列的收敛性..若6.2式对每个e 都收敛;则称随机序列{}n X 处处收敛;即满足 其中X 为随机变量..2、以概率1收敛若使随机序列{()}n X e 满足的e 的集合的概率为1;即我们称二阶矩随机序列{()}n X e 以概率1收敛于二阶矩随机变量Xe;或称{()}n X e 几乎处处收敛于Xe;记作XX ea n −→−...3、依概率收敛若对于任给的ε>0; 若有0}|)()({|lim =≥-∞→εe X e X P n n ;则称二阶矩随机序列{()}n X e 依概率收敛于二阶矩随机变量Xe;记作X X Pn −→−.. 4、均方收敛设有二阶矩随机序列{}n X 和二阶矩随机变量X;若有0]|[|lim 2=-∞→X X E n n 6.3成立;则称{}n X 均方收敛;记作X X sm n −−→−... 注：6.3式一般记为l.i.m n x X X →∞=或..n l i mX X =.. 5、依分布收敛设有二阶矩随机序列{}n X 和二阶矩随机变量X;若{}n X 相应的分布函数列{()}n F x ;在X 的分布函数Fx 的每一个连续点处;有则称二阶矩随机序列{}n X 依分布收敛于二阶矩随机变量X;记作X X dn −→−对于以上四种收敛定义进行比较;有下列关系：1 若X X s m n −−→−.;则X X Pn −→− 2 若XX ea n −→−.;则X X Pn −→−3 若X X Pn −→−;则X X dn −→− 定理2 二阶矩随机序列{}n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件为定理3 设{},{},{}n n n X Y Z 都是二阶矩随机序列;U 为二阶矩随机变量;{n c }为常数序列;a;b;c 为常数..令X mX i l n =..;Y mY i l n =..;Z mZ i l n =..;c mc i l n =....则1 c c mc i l n n n ==∞→lim ..；2 U mU i l =..；3 cU U c m i l n =)(..；4 bY aX bY aX m i l n n +=+)(..；5 ]..[][][lim n n n mX i l E X E X E ==∞→；6 )]..)(..[(][][lim ,m n m n m n Y m i l mX i l E Y X E Y X E ==∞→；特别有]|..[|]|[|]|[|lim 222n n n mX i l E X E X E ==∞→..定理4 设{}n X 为二阶矩随机序列;则{}n X 均方收敛的充要条件为下列极限存在][lim ,m n m n X X E ∞→..二、均方连续定义 设有二阶矩过程}),({T t t X ∈;若对0t T ∈;有2000lim [|()()|]0h E X t h X t →+-=;则称()X t 在0t 点均方连续;记作000..()()h l i m X t h X t →+=..若对T 中一切点都均方连续;则称()X t 在T 上均方连续..定理均方连续准则二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方连续的充要条件为相关函数处连续在点),(),(21t t t t R X ..推论 若相关函数),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上连续;则它在T ×T 上连续三、均方导数定义7 设}),({T t t X ∈是二阶矩过程;若存在一个随机过程)(t X ';满足类似的有22)(dtXd t X 或'' 称为),(21t t R X 在12(,)t t 的广义二阶导数;记为定理6 均方可微准则 二阶矩过程}),({T t t X ∈在t 点均方可微的充要条件为相关函数),(),(21t t t t R X 在点的广义二阶导数存在..推论1 二阶矩过程}),({T t t X ∈在T 上均方可微的充要条件为相关函数),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微..推论2 若),(21t t R X 在}),,{(T t t t ∈上每一点广义二阶可微;则()X dm t dt在T 上以及在T T ⨯上存在;且有四、均方积分定义8 如果0n ∆→时;n S 均方收敛于S ;即2lim ||0n n E S S ∆→-=;则称()()f t X t 在[,]a b 上均方可积;并记为定理7 均方可积准则()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积的充要条件为存在..特别的;二阶矩过程()X t 在[,]a b 上均方可积的充要条件为12(,)X R t t 在[,][,]a b a b ⨯上可积..定理8 设()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积;则有 1 [()()]()[()]bbaaE f t X t dt f t E X t dt =⎰⎰特别有 [()][()]bbaaE X t dt E X t dt =⎰⎰2 111222121212[()()()()]()()(,)bb bbX aaaaE f t X t dt f t X t dt f t f t R t t dt dt =⎰⎰⎰⎰特别的有 21212|()|(,)bbbX aaaE X t dt R t t dt dt =⎰⎰⎰..定理9 设二阶矩过程}),({T t t X ∈在[,]a b 上均方连续;则在均方意义下存在;且随机过程}),({T t t X ∈在[,]a b 上均方可微;且有()()Y t X t '=.. 推论 设()X t 均方可微;且()X t '均方连续;则 特别有§4 平稳过程的各态历经性定义9 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程;则分别称为该过程的时间均值和时间相关函数..定义10 设{(),}X t t -∞<<∞是均方连续的平稳过程;若()Pr.1(())X t E X t <>;即 以概率1成立;则称该平稳过程的均值具有各态历经性..若()()Pr.1(()())X t X t E X t X t ττ<->-;即以概率1成立;则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性..定义11 如果均方连续的平稳过程{(),}X t t T ∈的均值和相关函数都具有各态历经性;则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性..定理 10 设{(),}X t t -∞<<∞是均方连续的平稳过程;则它的均值具有各态历经性的充要条件为2221lim 1[()]022T X X T T R m d T T τττ-→∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎰ 6.9 定理6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程;则其相关函数具有各态历经性的充要条件为2211121lim1()()022TX T T B R d T T ττττ-→∞⎛⎫⎡⎤--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 6.15 其中111()()()()()B E X t X t X t X t τττττ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦6.16 定理6.12 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<∞;等式以概率1成立的充要条件为若()X t 为实平稳过程;则上式变为定理 6.13 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<∞;等式 以概率1成立的充要条件为 其中1()B τ与6.16式相同..若()X t 为实平稳过程;则上式变为第七章 平稳过程的谱分析§7.1 平稳过程的谱密度设)(t X 是均方连续随机过程;作截尾随机过程因为()t X T 均方可积;故存在傅式变换(,)()()i ti t x T T T F T X t e dt X t e dt Tωωω--∞==-∞-⎰⎰…………..7.4利用帕塞伐公式及傅式反变换;可得定义7.1 设 {}∞<<-∞t t X ),( 为均方连续随机过程;称 为 )(t X 的平均功率;称为 )(t X 的功率谱密度;简称谱密度..当 )(t X 是平稳均方连续函数时;由于[])(2t X E 是与t 无关的常数;利用均方积分的性质可以将7.5式简化得()221()()02limx T T E X t dt E X t R T T →∞⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦-⎰ ……….. 7.8 由7.8式和7.5式看出;平稳过程的平均功率等于该过程的均方值;或等于它的谱密度在频域上的积分;即()212X S d ψωωπ∞=-∞⎰ ………………. 7.9定义7.2 设{,0,1,2,}n X n =±±是平稳随机序列;若相关函数满足()X n R n ∞=-∞<∞∑则称为{,0,1,2,}n X n =±±的谱密度..§7.2谱密度的分析设 {}∞<<-∞t t X ),( 为均方连续平稳过程;)(τX R 为它的相关函数;()ωX S 为它的频率谱密度;()ωX S 具有下列性质： （1） 若()∞<∞-∞⎰ττd R X ;则()ωX S 是)(τX R 的傅式变换;即()()i t X X S R e d ωωττ-∞=-∞⎰ ………. 7.122 ()ωX S 是ω的实的;非负的偶函数..3 当 ()ωX S 是ω有理函数时;其形式必为其中22,(0,2,,2;2,4,,2)n i m j a b i n j m --==为常数;且20n a >;m n >;分母无实根..§7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度定义 1 设 (){},X t t -∞<<∞为实值平稳过程;若它的均值为零;且谱密度在所有频率范围内为非零的常数;即()()0X s N ωω=-∞<<∞则称()X t 为白噪声过程..具有下列性质的函数称为δ函数：δ函数有一个非常重要的运算性质;即抽样性质..对任何连续函数()f x ;有()()()0,f x x dx f δ∞-∞=⎰7.15或()()().f x x T dx f T δ∞-∞-=⎰§7.4 联合平稳过程的互谱密度定义7.4 设()X t 和()Y t 是两个平稳过程;且它们是联合平稳的平稳相关的;若它们的互相关函数()XY R τ满足()XY R d ττ∞-∞<∞⎰;则称()XY R τ的傅氏变换 ()()i XY XY s R ed ωτωττ∞--∞=⎰ ………………….7.21 是()X t 与()Y t 的互功率谱密度;简称互谱密度.. 因此互谱密度()YX s ω与互相关函数()YX R τ的关系如下：()()i YXYXs R e d ωτωττ∞--∞=⎰; 互谱密度具有下列性质：⑴ ()()XY YX s s ωω=;即()XY s ω与()YX s ω互为共轭；⑵ ()Re XY s ω⎡⎤⎣⎦和()Re YX s ω⎡⎤⎣⎦是ω的偶函数;而()Im XY s ω⎡⎤⎣⎦和()Im YX s ω⎡⎤⎣⎦是ω的奇函数；⑶ ()XY s ω与()X s ω和()Y s ω满足下列关系式： ⑷若()X t 和()Y t 相互正交;则()()0XY YX s s ωω==。
高等数学中的随机过程相关知识点详解
高等数学中的随机过程相关知识点详解近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。
作为高等数学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。
在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、概率论基础在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础知识。
概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机事件的发生规律和概率计算方法。
在概率论中，有一些基本概念和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。
1.1 概率概率是指一个事件发生的可能性大小。
通常用P来表示，它的取值范围是0到1。
当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。
例如，掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，或者说P=0.5。
1.2 条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
通常用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。
例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。
1.3 概率分布概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。
在不同的情况下，概率分布也是不同的。
例如，在离散型随机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。
1.4 随机变量随机变量是一种随机事件的数学描述。
它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。
根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型和连续型。
离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、扔骰子等等；而连续型随机变量可以取到任意实数值，如身高、体重等等。
二、随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程是一种描述随机事件随时间变化的方法。
它可以看作是有限维随机变量序列的无限集合，其中每个随机变量代表系统在某个时刻的状态。
随机过程的定义包括两个方面：空间（状态集合）和时间（时刻集合）。
高二数学知识点推导过程
高二数学知识点推导过程高二数学是中学阶段的重要学科内容之一，下面将就几个高二数学的常见知识点，分别进行推导过程的阐述。
一、函数与导数函数的导数是高二数学中的基础概念之一，其推导过程如下所示：【思维导图】在思维导图中，我们首先定义函数的导数为函数的微分商极限，即：\[f'(x)=\lim _{△x\to 0}\dfrac{f(x+△x)-f(x)}{△x}\]接着，我们推导出函数导数的几个基本性质：1. 导数为常数的函数：\[y=c \Rightarrow y'=0\]2. 乘幂法则：\[y=x^n \Rightarrow y'=nx^{n-1}\]3. 和差法则：\[y=u(x)\pm v(x) \Rightarrow y'=u'(x)\pm v'(x)\]4. 乘积法则：\[y=u(x)\cdot v(x) \Rightarrowy'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\]5. 商数法则：\[y=\dfrac{u(x)}{v(x)} \Rightarrowy'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\]二、三角函数的导数三角函数作为高二数学中常见的函数类型，其导数的推导过程如下：1. 正弦函数导数：\[y=\sin x \Rightarrow y'=\cos x\]2. 余弦函数导数：\[y=\cos x \Rightarrow y'=-\sin x\]3. 正切函数导数：\[y=\tan x \Rightarrow y'=\sec^2x\]4. 反正弦函数导数：\[y=\arcsin x \Rightarrowy'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]5. 反余弦函数导数：\[y=\arccos x \Rightarrow y'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]6. 反正切函数导数：\[y=\arctan x \Rightarrowy'=\dfrac{1}{1+x^2}\]三、高等数学中的极限极限是高等数学中重要的概念，其推导过程如下：1. 数列极限的定义：对于数列\(\{a_n\}\)，如果对于任意给定的正数\(\varepsilon>0\)，存在正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，有\(|a_n - A|<\varepsilon\)，其中\(A\)为常数，则称\(A\)是数列\(\{a_n\}\)的极限，记作\(\lim _{n\to \infty}a_n=A\)。
《 3.3 函数的应用(一)》学历案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.3 函数的应用（一）》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“高中数学课程《3.3 函数的应用（一）》”，主要围绕函数的基本概念、性质及其在现实生活中的应用展开，通过具体实例分析，让学生掌握函数的基本应用方法，提高解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能：掌握函数的基本概念和性质，能够运用函数知识解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生的学习兴趣，培养学生的数学应用意识，提高学生的学习自信心。
三、评价任务1. 知识理解评价：通过课堂提问和随堂小测验，评价学生对函数基本概念和性质的理解程度。
2. 应用能力评价：通过布置实际问题的解决作业，评价学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3. 学习过程评价：通过观察学生的学习态度、参与课堂活动的积极性以及小组合作情况，评价学生的学习过程。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的函数知识，引出本课学习主题，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解函数的基本概念、性质及其在现实生活中的应用，重点强调函数的概念、定义域、值域以及函数的图象。
3. 实例分析：通过具体实例，让学生分析函数的性质，加深对函数概念的理解。
4. 小组合作：学生分组进行实际问题解决，小组内交流讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
5. 总结归纳：总结本课学习的重点和难点，强调函数的应用价值和实际意义。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过随堂小测验，检测学生对函数基本概念和性质的理解程度。
2. 作业布置：布置实际问题的解决作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，加强知识的应用能力。
3. 作业评价：教师批改作业，评价学生运用函数知识解决实际问题的能力，针对学生的不足之处进行指导。
六、学后反思1. 教师反思：教师对本课教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。
2. 学生反思：学生回顾本课学习内容，反思自己的学习过程和成果，找出自己的不足之处，为今后的学习制定改进措施。
初中数学知识点大全三角函数公式推导过程
初中数学知识点大全三角函数公式推导过程三角函数是初中数学中的重要知识点之一，它包含了正弦函数、余弦函数和正切函数等内容。
在学习三角函数时，我们需要掌握一些基本的公式和推导过程。
下面是三角函数公式的推导过程。
1.正弦函数的公式推导过程：正弦函数的定义是在单位圆上，从原点到圆上的点与x轴之间的连线的长度，即y坐标值。
对于角度θ，我们可以得到正弦函数的公式：sinθ = y。
首先，我们在单位圆上选择一个角度θ，以点A表示。
然后，我们从点A向x轴引垂线，将A分成两个部分：横坐标和纵坐标（x和y）。
根据勾股定理可以得到，x²+y²=1，因为点A在单位圆上。
然后我们将这个方程进行整理，得到y=根号(1-x²)。
因此，我们得到正弦函数的公式sinθ = y = 根号(1 - x²)。
2.余弦函数的公式推导过程：余弦函数的定义是在单位圆上，从原点到圆上的点与y轴之间的连线的长度，即x坐标值。
对于角度θ，我们可以得到余弦函数的公式：cosθ = x。
我们使用同样的方式在单位圆上选择一个角度θ，并且以点A表示。
由于x坐标值表示余弦函数，我们可以看到此时x坐标值就等于点A在单位圆上的长度。
根据勾股定理可以得到，x²+y²=1所以我们可以将方程整理为x=根号(1-y²)。
因此，我们得到余弦函数的公式cosθ = x = 根号(1 - y²)。
3.正切函数的公式推导过程：正切函数的定义是正弦函数除以余弦函数，即tanθ = sinθ /cosθ。
根据前面的推导过程，我们已经得到了正弦函数的公式sinθ = 根号(1 - x²) 和余弦函数的公式cosθ = 根号(1 - y²)。
将这两个公式代入到正切函数的定义中，我们可以得到tanθ =sinθ / cosθ = (根号(1 - x²)) / (根号(1 - y²)) = (根号(1 - x²)) / (根号(1 - (1 - x²))) = (根号(1 - x²)) / (根号(x²)) = (根号(1 - x²)) / x。
随机过程的协方差函数与自相关函数
随机过程的协方差函数与自相关函数随机过程是随机变量的集合，它的协方差函数和自相关函数是描述随机过程统计特性的重要工具。
本文将介绍随机过程的协方差函数和自相关函数的定义、性质及其在实际应用中的重要性。
一、协方差函数的定义与性质协方差函数是随机过程的两个随机变量之间的协方差的函数。
对于连续时间的随机过程X(t)，其协方差函数C(t1, t2)定义为：C(t1, t2) = E[(X(t1) - μ(t1))(X(t2) - μ(t2))]其中，E代表期望操作符，μ(t)表示X(t)的均值。
协方差函数具有以下性质：1. C(t1, t2) = C(t2, t1)：协方差函数是对称的。
2. C(t1, t1) ≥ 0：协方差函数对角线上的值非负，即方差不小于0。
3. C(t1, t2) ≤ √[C(t1, t1)C(t2, t2)]：协方差函数的取值范围在[-√(C(t1, t1)C(t2, t2)), √(C(t1, t1)C(t2, t2))]之间。
二、自相关函数的定义与性质自相关函数描述了同一随机过程不同时刻之间随机变量的相互关系。
对于连续时间的随机过程X(t)，其自相关函数R(t1, t2)定义为：R(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)]其中，E代表期望操作符。
自相关函数具有以下性质：1. R(t1, t2) = R(t2, t1)：自相关函数也是对称的。
2. R(t, t) = C(t, t)：自相关函数和协方差函数在相同时间点上的取值相等。
3. |R(t1, t2)| ≤ √[R(t1, t1)R(t2, t2)]：自相关函数的取值范围在[-√(R(t1, t1)R(t2, t2)), √(R(t1, t1)R(t2, t2))]之间。
三、协方差函数与自相关函数的关系对于一个平稳随机过程，其自相关函数可以通过协方差函数来计算。
根据定义可知：R(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] = C(t1, t2) + μ(t1)μ(t2)其中，μ(t)表示随机过程X(t)的均值函数。
函数的概念知识点总结
理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:
（1）函数 f (x) 的定义域是自变量 x 的范围.
（2）函数 f (g(x)) 的定义域是自变量 x 的范围,而不是 g(x) 的范围.
f (u) 的定义域的交集非空,那么 y 通过 u 的联系也是自变量 x 的函数,我们称 y 为 x 的复
合函数,记为 y f (g(x)) .其中 u 叫做中间变量, u g(x) 叫做内层函数, y f (u) 叫做
函数的概念知识点总结 第 7 页
外层函数. 对复合函数概念的理解
由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子 集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域. 例 6. 下列函数中,是复合函数的是【 】
f (a) 表示当 x a 时 f x的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量; f (x)
函数的概念知识点总结 第 2 页
表示自变量为 x 的函数,它表示的是变量.
如 f (x) 2x 表示的是一个函数, f 3 6 是它的一个函数值,是常量.
知识点三 具体函数的定义域的确定方法
所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解 析式的特点来确定函数的定义域:
（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即 R. （2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集; （3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数 的实数集; （4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的 实数集. （5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分 有意义的实数集的交集. （6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际. 知识点四 函数的相等 只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.
热力学知识：热力学中态函数与过程函数
热力学知识：热力学中态函数与过程函数热力学是研究物质的能量转化和热力学过程的一门学科，热力学的领域很广泛，包括天文、化学、生物、工程、材料等领域。
在热力学中，常使用的物理量称为热力学量，而这些热力学量可以根据其特点分为两类：态函数和过程函数。
态函数，顾名思义，是与物质在某一特定的状态有关的物理量，它不仅和物质的本身有关，还和它的状态有关。
它的特点是与路径无关，只与初末态有关。
最常见的例子是热力学系统内的能量、焓、熵等量。
这些量的值只取决于物质的状态，而与达到这个状态的过程无关。
比如热力学内能U，即是一个态函数，是一个系统内所有分子的动能、势能、相互作用能等总和，它只与系统当前的性质有关。
过程函数是指与物质的状态变化过程有关的物理量，它反映的是物质在不同状态间的能量变化与相互作用。
过程函数的特点是与路径有关，在作用过程中会发生数值变化。
最常见的例子是热、功和温度等量。
比如，吸收或放出的热量Q是一个过程函数，它是随着物体的混合、扩张、压缩和化学反应等物质状态的变化而变化。
过程函数的值取决于所收到和所做的功、以及物体所受到外界环境的影响。
理解这两种函数的区别，对于热力学中理论研究和实际应用都十分重要。
在热力学中，经常会使用“假设导致”的思维方式解决问题，这样可以把问题简化为一个热力学系统，这个系统的初始状态和最终状态不变，这就成为了我们研究的顶点，通过引入各种假设来解决问题。
例如，在一个定压过程中，我们可以通过热量Q的变化来计算系统的内能变化，而在定温过程中，我们可以通过系统对外做功W的变化来计算系统的内能变化。
无论采用何种实验方法，我们都可以通过这种方法来计算系统内部的能量变化。
热力学中的太多内容都是建立在热力学量的概念之上，所以理解和掌握这两种物理量的区别与联系非常重要。
对于任何一个热力学问题，我们首先需要确定我们需要求解的物理量是什么（态函数还是过程函数），并仔细分析该物理量的特点，然后再选择合适的方法和工具来解决问题。
随机过程及应用：预备知识：特征函数
)
特征函数
令t=0，得 φ( k ) (0) j k E ( X k )
故
E ( X k ) j k φ( k ) (0)
2
Ex.9 随机变量X服从正态分布 N (a , ) 求 E( X ) 和 D( X ). 1 解
φ( t ) e 1 2 2 jat t 2 φ( t ) ( ja t )e 2
txjetxtxtx不等式613costxjetxcostxjetxcostxjetx性质52随机变量x的特征函数为特征函数ex8jatjat性质53随机变量x的特征函数一致地有一般性质54特征函数是非负定的函数即对任意正整数n任意复数z以上性质中一致连续性非负定性是本质性的
特征函数
预备知识5 特征函数
jt 2
jt
根据特征函数的惟一性定理, 知随机变量X 的分布律为 X 2 p 1/4 0 1/2 2 1/4
特征函数
四． 多维随机变量的特征函数 定义5. 4 二维随机变量(X, Y)的特征函数 定义为
φ(t1 , t 2 ) E[e
连续型
j ( t1 X t 2Y )
]
dF ( x, y )
1 e F ( x2 ) F ( x1 ) lim T 2π T
T
e jt
jtx2
φ( t )dt .
推论 1( 惟一性定理 ) 分布函数 F1(x) 和 F2(x) 恒等的充要条件是它们的特征函数 1 (t )和 2 ( t ) 恒等.(参见P245）
特征函数
推论2 若随机变量X的特征函数 ( t ) 在R上 绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密 度为
Ex.10 已知随机变量X的特征函数为
八年级数学函数的相关概念知识点总结
八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念：1、函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 X 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 (function)，其中 x 是自变量。
例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示：从这条曲线可以看出温度是随时间变化的，也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。
2、函数的表示法：可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。
3、函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
二、理解函数概念时应注意的几点：① 在某一变化过程中有两个变量x与y；② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定；③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。
如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。
三、函数的应用：1、判别是否为函数关系；2、确定自变量的取值范围；3、确定实际背景下的函数关系式；4、由自变量的值求函数值；5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。
四、典例讲解：例题1、下列各图像中，y 是 x 的函数的图像是（ D ）例题2、在函数变量为x , y，常量为 5 ，-3 ，自变量为x ，当 x = -1 时，函数值为 2 。
例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。
已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元。
若设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（A ）例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。
下列能表示这种关系的式子是（ C）例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问：① y 是 x 的函数吗？② x 是 y 的函数吗？若是，写出 y 与 x 的关系式；若不是，请说明理由。
f的记忆口诀
f的记忆口诀在数学中，f是一个常见的变量，它代表函数。
在学习和应用函数的过程中，我们经常需要记住一些与f相关的知识和规则。
为了方便记忆和理解，我们可以借助一些口诀来帮助我们掌握f的相关内容。
一、函数的定义与性质函数是数学中的重要概念，我们可以用一句口诀来记忆函数的定义和基本性质：“f是x的映射，y是f(x)的变化。
一对一对应，函数性质具备。
”这句口诀简洁明了地表达了函数的定义和函数的基本性质。
函数是一个映射，将自变量x映射到因变量y上。
如果一个函数中的每个自变量x对应唯一的因变量y，即每个y值都有唯一的x值与之对应，那么这个函数就是一对一的。
只有满足一对一对应关系的函数才具备函数的性质。
二、函数的图像与性质函数的图像是我们在学习函数时经常遇到的概念，我们可以用下面的口诀来帮助记忆函数的图像与性质：“f的图像上下浮，开口向上或向下。
增减性要说明，单调性别忘记。
”这句口诀强调了函数图像的两个重要特征：函数的增减性和函数的单调性。
增减性指的是函数图像是上升还是下降，即函数的取值是增加还是减少。
单调性则表示函数图像在整个定义域上是递增还是递减。
通过这个口诀，我们可以迅速回忆起函数的图像特征和性质。
三、函数的导数与性质函数的导数是函数微积分中的重要内容，我们可以用下面的口诀来帮助记忆函数的导数与性质：“f的导数求斜率，切线垂直于x轴。
凹凸性要分辨，拐点处换曲线。
”这句口诀强调了函数导数的两个重要性质：导数表示函数曲线在某一点处的斜率，而切线则与x轴垂直。
凹凸性指的是函数曲线的弯曲程度，凸起向上为凹，凸起向下为凸。
拐点则表示函数曲线发生转折的位置。
通过这个口诀，我们可以迅速回忆起函数导数的概念和性质。
四、函数的积分与性质函数的积分也是函数微积分中的重要内容，我们可以用下面的口诀来帮助记忆函数的积分与性质：“f的积分求面积，定积分是一种工具。
反函数要注意，原函数别忘记。
”这句口诀强调了函数积分的两个重要性质：积分表示函数曲线下的面积，而定积分则是计算这个面积的工具。
随机过程的自相关函数与功率谱
s(t)
∞ ∞
∫ s(t)e
jω t
dt
(1.2.22)
S(ω)
s(t)
称为 称为
的频谱密度或
s(t) 的傅立叶变换;
S(ω)
的傅立叶反变换,
并将这种关系记为
s(t) S(ω)
(1.2.23)
When complex sine signals are used as basic signals, a time function signal can be written with the form of Inverse Fourier Transform as
∞
∞
∞ 1 ∞ * jω(t +τ ) = dωdt ∫ sx (t) ∫ S y (ω)e π 2 ∞ ∞
1 ∞ ∞ * jωt jωτ = ∫ ∫ sx (t)e dtSy (ω)e dω 2π ∞ ∞
1 = π 2
∞ ∞
ω ω ∫ Sx ( )Sy ( )e
i.e.
t A rect( ) AT sin c(ωT 2) T
(1.2.45)
二 相关函数和功率 The Correlation Functions & Power
1、相关函数的普遍定义（应以遍历过程为条件）
The general definition of correlation function (condition: ergodic process)
∞
1 s(t) = π 2
∞
t S( )e jω d ω ω ∫
Where
S( ω) =
∞
∞
∫ s(t)e
jω t
d t
2023人教版 函数基础知识【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题19.1 函数基础知识【九大题型】【人教版】【题型1 常量与变量的确定】 (1)【题型2 函数的概念】 (2)【题型3 用描点法画函数的图像】 (3)【题型4 自变量取值范围的确定】 (6)【题型5 函数的解析式的确定】 (6)【题型7 函数图像的识别】 (8)【题型8 从函数的图像获取信息】 (10)【题型9 动点问题的函数图象】 (12)【知识点1 函数的概念】一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．【知识点2 求函数的值】(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【题型1 常量与变量的确定】【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，aB．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是，因变量是 ．【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元）1.534.567.5910.5…上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ． 【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：项目 月基本服务费月免费通话时间超出后每分收费标准40元150分0.6元则每月话费y （元）与每月通话时间x （分）之间有关系式y ={40(0≤x ≤150)0.6x −50(x ＞150)，在这个关系式中，14．变量x ，y 之间的对应关系如下表所示：X ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y105212510请你判断y 是x 的函数吗？x 是y 的函数吗？说说你的理由．【题型2 函数的概念】【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和y ，其中y 不是x 的函数的选项是（ ）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号C．y：圆的面积，x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）①气温x1201日期y1234②③y＝kx+b④y＝|x|其中y一定是x的函数的是．（填写所有正确的序号）【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点3 函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型3 用描点法画函数的图像】【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y=1x−1+x+12的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数y=1x−1+x+12的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1012y…−54−56−12−12−54x322345…y1345252m134…则表格中的m＝；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质．【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．造纸时间/时1234……造纸吨数/吨 1.5①②③……（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y=x2+2x的图象进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为，n的值为；x…﹣5m﹣3﹣2﹣1−121212345…y…−2910−52−136﹣2−52−174174522n522910…（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：问题情境：有这样一个问题：探究函数y=1x +1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y=1x+1的图象与性质进行了探究．问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x+1的自变量x的取值范围是；（2）表是y与x的几组对应值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣m m1234…y (3)423120﹣132324354…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．【题型4 自变量取值范围的确定】中自变量x的取值范围是（）【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y=√1x+3A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x≠﹣3【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y=2x中，自变量x的取值范围是（）x−1A．x＜1B．x＞1C．x≠1D．x≠0自变量的取值范围是x＞0．【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y=√xx−√−x的图象上，那么点P应在平面直角坐【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1x2标系中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【题型5 函数的解析式的确定】【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为cm；②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系式．【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：月份1234用水量（m3）681012费用（元）9121824小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y＝．【题型6 求自变量的值或函数值】【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y （℃）随着所处深度x （km ）的变化而变化，在某个地点y 与x 之间的关系可以近似地用关系式y ＝35x +20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m ，n 分别是（ ）x /℃ 1 2 4 m 9 10 y /km 55n160230335370A ．m ＝7，n ＝70B ．m ＝6，n ＝70C ．m ＝7，n ＝90D ．m ＝6，n ＝90【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y =2x−1x+2中，当x ＝a 时的函数值为1，试求a 的值为 ．【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数y ={2x +1(x ≥0)4x(x ＜0)，当x ＝﹣2时，函数值y 为 ．【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f （x ）表示关于x 的函数，若f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）+mn 9，且f （6）＝3，那么f （5）＝ ． 【题型7 函数图像的识别】【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h 与注水时间t 之间的变化情况的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）A．B．C．D．【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC 的中点，点F为正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【题型8 从函数的图像获取信息】【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（）km/ℎA．张强从家到体育场的速度是503B．体育场离文具店4千米C．张强在文具店逗留了15分D．张强从文具店回家的平均速度是3千米/分70【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（）A．4点时气温达最低B．14点到24点之间气温持续下降C．0点到14点之间气温持续上升D．14点时气温达最高是8℃【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（）A．爷爷比小强先出发20分钟B．小强爬山的速度是爷爷的2倍C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况D．山的高度是480米【题型9 动点问题的函数图象】【例9】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A →B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（）A．48cm2B．24cm2C．21cm2D．12cm2【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16B．20C．36D．45【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（）A．点C处B．点D处C．点A处D．点B处。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。