第三章 磁多极矩

0 m r 0 a Ir sin 0 Ia sin ˆ ˆ A e e 3 3 2 4 r 4 r 4r 0 mr B A 3 4 r
2 2
讨论： 1. 远区的磁场也可由磁标势计算。 mr m H m 3 4r 0 m r B 0 H 0 m 3 4 r mr mr 可以证明： 3 3 r r

V
将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较 复杂，一般不去讨论。 综上所述：小区域电流分布所激发的磁场， 其矢势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激
发的矢势的迭加。
3、小区域内电流分布在外磁场中的能量
设外磁场Be的矢势为Ae, J(x) 在外磁场中的相互作
用能量为
W J Ae d V
总结 边值关系 m1 S m 2
小区域磁场的相互作用能
W m Be (0)
磁偶极子在外场Be中的势函数为
受力 所受力矩
F m Be
U m Be
L mB
半径为a的圆形载流线圈通过的电流为I，求远区的场 。 例题： 求远区的场，载流线圈可以看作一个磁偶极子m。 解： 2 ˆ m a Ie z
W IBe (0) dS m Be (0)
S
m是电流线圈的磁偶极矩。
和电偶极子在外电场中的能量 p E 对比，相差一个 负号。这是否意味着磁偶极子受外磁场作用时将会 倾向于与外磁场反向呢?
设外场由另一带有电流Ie的线圈Le 产生。把相互作用能写为
W
§3 磁多极矩
Magnetic multipole moment
本节研究空间局部范围内的电流分布所激
发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对
应，引入磁多极矩概念，并讨论这种电流
分布在外磁场中的能量问题。
1、 矢势的多级展开 给定电流分布激发的磁场矢势为
0 A( x ) 4 r 如果电流分布于小区域V内，而场点x又比较远，可以把 A(x)作多极展开
A(1)可写为 (1) 0 I A 3 4 R 2
' ' ( x dl ) R
0m R 4 R
3
I m 2
因 得磁矩
' ' x d l 电流线圈的磁矩
' ' Id l J d V
1 m 2
' ' x J ( x ')d V
3
R
(m )
R R
3
(1) 0 B (m 3 ) 4 R
得
R
(1) (1) B 0 m
( m1 )
mR 4 R
3
磁偶极势形式上和电偶极势相似。
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组成的 磁偶极子,磁偶极矩m=IS由决定。
取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式代入得
0 A( x ) 4
' ' J ( x ) dV

2 ' 1 ' 1 1 1 '' ' J ( x )[ x xi x j ]dV R R 2! i , j xi x j R
R
因为 所以

R
R
3

2
1 R
=0,
( R 0)
在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，因此 再把上式化为磁标势的梯度形式。m为常矢量。
(1) 0 B (m ) 3 4 R
R
(1) 0 B (m ) 3 4 R
(m R R ) m ( 3 R R ) (m ) 3 R R
对圆板取半径为r宽dr 的环带，环带电量 2 rdr 转一周 T
2


Q Tdr
r
3. 将上述圆板换成球，结果如何？ 有一带电量为Q、半径为a的球，绕其自身某一直径以恒
定角速度ω旋转，按以下两种情况求它的磁矩： （1）电荷按体积均匀分布； （2）电荷均匀分布于球面上。

d e dt
,
e
d dt
dt dt 在时间δt内感应电动势所作的功为

d e
,
e
d
I t e I e t I e I e
电源为抵抗此感应电动势必须提供能量
W e I e I e 2 W
在这样的条件下才能保持I和Ie 不变。 因此I和Ie分别 单独存在时的磁能不变，总磁场能量的改变等于相 互作用磁能的改变δW 。
现在体系包括有相互作用的三个方面：外电 源，电磁场，以及两个线圈上的电流。必须把
这三个方面包括在内，才能应用能量守恒定律。
设线圈移动时场对它作功δA。能量守恒要求：
电源提供的能量δWs应等于总磁能的改变δW加
第二项为
(1) 0 A 4
' ' 1 ' J ( x ) x R dV
先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为I，有 (1) 0I ' 1 ' 0I ' R ' A x R d l 4 x R 3 d l 4 在被积式中，R/R3为固定矢量，与积分变量无关。
1
2 1 ( I e I e ) 2
( I A dl I e A dl Φ为线圈L上 L e L
e
的电流产生的 磁场对线圈Le 的通量
线圈运动时，若保持 电流I和 Ie不变，则磁 能的改变为
W
1 2
( I e I e )
由于磁通量改变，在线圈上产生感应电动势，它 对电流作功，就会改变I和Ie的值。为了保持I和Ie 不变，必须由电源提供能量，以抵抗感应电动势 所作的功。在线圈L和Le上的感应电动势分别为
载电流I 的线圈在外磁场中的能量为
W I
L
Ae d l I B e d S I e
S
e为外磁场对线圈L的磁通量
取坐标系原点在线圈所在区域内适当点上。若 区域线度远小于磁场发生显著变化的线度，则 可以把Be(x) 在原点领域上展开
Be ( x ) Be (0) x Be (0)

S1
dS dS
S2
dS 0
即

dS
S1

dS
S2
(1 ) A ( x )表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，
一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。 展开式的第三项：
(2) 0 A (x) 4 1 1 j ( x ) x x : d V 2! R
x′为线圈上各点的坐标，因此
' dx dl
利用全微分绕闭合回路的线积分等于零
' ' 0 d[( x R ) x ]
' ' ' ' ( x R )d l (d l R ) x
则有
' ' 0 d[( x R ) x ]
1 4
a
0 m r 0Qa 2 ˆ A sin e 3 2 4 r 16r
横截线l 横截面S vt

单位时间垂直通过
单位横截线的电量 Q vtl v tl tl
J Q ts
单位时间垂直通过 J 单位横截面的电量
vts
ts
v
上对线圈所作的功δA:
Ws W A
A W s W W
即对线圈所作的功等于磁能的增 量而不是其减小量
如果定义力学中的势 函数U使作功等于势 函数的减小，应有
U W J Ae d V
这式子和电偶极子 在外场中的能量－ pE完全对应.
2.
半径为a的均匀带电圆板，电量为Q，绕通过圆心垂直于
板面的轴以恒定角速度ω旋转，求圆板的磁偶极矩及远处的 矢势 。 这与例题属同一类型。
m
1
x JdV 2
1 2
a 0

1
r αdS 2
1 4
ˆ ez
或
ˆ rr 2rdr ez
2
a 4
4
Leabharlann Baidu
ˆ ˆ m ez r rdr ez
L

U

mB e cos mB e sin
计及力矩的方向，得
L mB
比较
电偶极子 受力 所受力矩
磁偶极子
F m Ee
F m Be
L p E
L mB
静磁场
H 0 S H m 1m 2 m 0 1 ( ) 2 ( ) S n n S m 0 M 矢势的多级展开 B 0 ( H M ) (1) 0 m R H m A 3 2 m 4 R m 0 小区域电流分布所激发的磁场，其 矢势可看作一系列在原点的磁多极子 对场点激发的矢势的迭加。
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S ，有
1 S 2 ' ' x dl
P
特例：圆面积 S=R2
x
因此
m I S
x’ O
R
dl
2．磁偶极矩的场和磁标势
由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
(1 ) 0 B A (m 3 ) 4 R 0 R R ( 3 )m ( m ) 3 4 R R
磁偶极子在外磁场中所受的力是
F U ( m B e ) m ( B e ) ( m ) B e (m )Be
由于产生外场的电流一般都不 出现在磁矩m所在的区域内 磁偶极子所受的力矩为
Be 0
第一项
(0) 0 A ( x) 4 R

' J ( x ) dV
'
由恒定电流的连续性，可把电流分为许多闭合的 流管，则
' ' J ( x )d V
I dl I dl 0
I为在该流管内流过的电流。
因此
(0) A 0
此式表示磁场展开式不含磁单极项，即不含与点 电荷对应的项
磁偶极子在外场Be中的势函数为
U m Be
小区域磁场的相互作用能
W m Be (0)
磁偶极子在外场Be中的势函数为
U m Be
相互 作用能与有效势能之间相差一个符号，这就是说， 当磁偶极子对外做功时，有效势能减小了，而相互作 用能却增加了．这是否违反能量守恒定律能？并不违 反．原因是：在没有外电源的情况下，转动或移动磁 偶极子时并不能保持磁偶极子和外场的能量不变，事 实上，要保持磁偶极子和外场的能量不变必须提供外 电源，提供能量２Ｗ．
电流分布区域以外的空间用磁标势m来描述磁场。 一个任意电流线圈可以看作由它所围 的一个曲面S上许多小电流线圈组合 而成,因此它的总磁偶极矩为
m I dS
S
式中S是线圈所围的某一个曲面, 且不唯一确定。 为使上式有意义，m应不依赖于曲面的选取。设S1 和S2为两个以该线圈为边界的曲面则S1和－S2（与 法线方向相反）合起来成为闭合曲面。因而有
' ' ' ' ( x R )d l (d l R ) x
' ' ( x dl ) R
' 1 ' ( x R )d l 2
' ' 1 ' ' [( x R )d l (d l R ) x ] 2