单位根检验详解

第2节 单位根检验

由于虚假回归问题的存在，因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在第十二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。单位根检验有很多方法，这里主要介绍DF 和ADF 检验。 序列均值为0则无C ，序列无时间趋势则无trend

在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。 1、四种典型的非平稳随机过程 （1）随机游走过程。

y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) 其均值为零，方差无限大（?），但不含有确定性时间趋势。（见图1a ）。

-10

-5

5

10

20

40

60

80

100120140160180200

y=y(-1)+u

1200

1400

1600

1800

2000

2200

50100150200250300

图1a 由y t = y t -1+ u t 生成的序列 图1b 深证成指

（2）随机趋势过程。

y t = α + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) 其中α称作位移项（漂移项）。由上式知，E(y 1)= α（过程初始值的期望）。将上式作如下迭代变换，

y t = α + y t -1 + u t = α+ (α+ y t -2 + u t -1) + u t = … = αt +y 0 +∑-t

i i u 1

y t 由确定性时间趋势项αt 和y 0 +∑-t i i u 1

组成。可以把y 0 +∑-t

i i u 1

看作随机

的截距项。在不存在任何冲击u t 的情况下，截距项为y 0。而每个冲击u t 都表现为截距的移动。每个冲击u t 对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastic trend process ），或有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ），见图2，虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。由上式还可以看出，α是确定性时间趋势项的系数（原序列y t 的增长速度）。α为正时，趋势向上；α为负时，趋势向下。

20

40

60

80

50100150200250300350400

stochastic trend process

-100

-80-60-40-20

020

1002003004005006007008009001000

y=-0.1+y(-1)+u

图2a 由y t =0.1+ y t -1+ u t 生成的序列 图2b 由y t =- 0.1+ y t -1+ u t 生成的序列

因为对y t 作一次差分后，序列就平稳了， ∆ y t = y t - y t -1 = α + u t （平稳过程）

所以也称y t 为差分平稳过程（difference- stationary process ）。α是∆ y t 序列的均值，原序列y t 的增长速度。

（3）趋势平稳过程

y t = β0 + β1 t + u t , u t = ρu t -1 + v t , (ρ <1, v t ~ IID(0, σ2))

y t 与趋势值 β0+β1t 不同，差值为u t 。因为u t 是平稳的，y t 只会

暂时背离趋势。y t+k的长期预测值将趋近于趋势线β0+β1(t+k)。所以称其为趋势平稳过程（trend stationary process）。趋势平稳过程由确定性时间趋势β1 t所主导。趋势平稳过程见图3，属于非平稳过程。

趋势平稳过程也称为退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳过程，y t - β1t = β0+ u t。

y t = β0+ β1 t + u t不必通过差分变为平稳过程。因为趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。∆y t = β1 + u t - u t-1。移动平均特征方程中含有单位根。

50

trend stationary process

40

30

20

10

-10

50100150200250300350400

图3 y t = 0.05+0.1 t + AR(1),ρ=0.8生成的序列（4）趋势非平稳过程

y t = φ0+ α t + y t-1 + u t , y0 = 0, u t~ IID(0, σ2)

其中φ0称作位移项（漂移项），αt称为趋势项。上式是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程（见图4）。

图4 y t = 0.01+ 0.01t + y t -1+ u t , u t ~ IID(0, σ 2)生成的序列

对上式进行迭代运算(设定y 0=0)

y t = μ + α t + y t -1 + u t = μ + α t + [μ + α (t -1) + y t -2 + u t -1] + u t

=

= y 0 + μ t + (α t ) t - α (1+2 +…+ t ) +∑=t

i i u 1

= y 0 + μ t + α t

2

-2

α( 1+ t ) t +∑=t

i i u 1

= (μ -2α

) t +2

α

t 2

+∑=t

i i u 1

,

趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合过程。趋势项中包括t 的1次和2次项。这种过程在经济问题中非常少见。

下面分析随机趋势过程与平稳的AR(1)过程的区别。对于如下过程：y t = φ0 + φ1 y t -1 + u t

当φ1 = 1时，y t 是一个随机趋势过程；当|φ1| < 1时，y t 是一个均值为

1

1φφ-的平稳过程。 随机趋势过程y t = 0.1 + y t -1 + u t 和带有漂移项的平稳过程y t = 4 +0.6 y t -1 + u t 的比较见下图。差别在于随机趋势过程的自回归系数为1，带有漂移项的平稳过程的自回归系数绝对值小于1。