第六章定积分

第六章 定积分

不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面。 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。 古希腊的阿基米德用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”, 都曾计算过一些几何体的面积和体积,这些均为定积分的雏形。 直到17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学。

本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在几何与其它学科中的应用。

§6.1定积分的概念与性质

6.1.1引出定积分概念的例题 一、曲边梯形的概念

所谓曲边梯形是指这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条是平行的，第三条与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点， 如图6.1-1。 二、曲边梯形的面积计算

设连续函数]),[(0)(b a x x f ∈≥，求由曲边)(x f y =，直线x a =，x b =及 x

轴所围成的曲边梯形的面积A. 如图6.1-2.

图6.1-1 图6.1-2 1．分割

在区间],[b a 上任意地插入1-n 个分点

a x x x x x x x

b i i n n =<<<<<<<<=--01211

区间],[b a 分划成 n 个小区间],[1i i i

x x I -=，且记小区间的长度为

∆x x x i n i i i =-=-112(,,,)

过每个分点作平行于y 轴的直线段，这些直线段将曲边梯形分划成n 个窄小的曲边梯形，用i A ∆记第 i 个窄小的曲边梯形的面积。 2．近似

由于曲边梯形的高在],[b a 上是连续变化的，在很短小的一段区间上它的变化也很小，即可近似地视为不变。因此，在每个小区间上，可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高，用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。具体地：

对第 i 个窄小曲边梯形，在其对应区间],[1i i i x x I -=上任意地取一点i ξ，以

)(i f ξ作为近似高，以矩形面积i i x f ∆)(ξ近似i A ∆。

即：n i x x x f A i i i i i i ,,2,1]),[()(1 =∈∀∆≈∆-ξξ

3．求和 于是 i i

n

i n

i i

x

f A A ∆≈∆=∑∑==)(1

1

ξ

4．求极限

很明显地，小区间],[1i i i x x I -=的长度i x ∆越小，∆∆A f x i i i ≈()ξ近似程度

就越好；要使得i

i

n

i x f A ∆≈

∑=)(1

ξ近似程度越好，只需n x x x ∆∆∆,,,21 都

越来越小。因此，为了得到面积

A 的精确值，我们只需将区间],[b a 无限地细分，

使得每个小区间的长度都趋向于零。 若记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ

，则每个小区间的长度趋向于零0→λ。

从而i

i

n

i x f A ∆=∑=→)(lim

1

ξλ．

三、变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的连续函数，且0)(≥t v ，求物体在时间间隔内所经过的路程。 在时间间隔],[21T T 内任意地插入1-n 个分点

T t t t t t t t T i i n n 1012112=<<<<<<<<=--

将分划成n 个时间区间

[,][,]

[,]

[,]t t t t t t t t i i n n 011211

--

各时间区间的长度依次为

11122011---=∆-=∆-=∆-=∆n n n i i i t t t t t t t t t t t t

记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为

n i s s s s ∆∆∆∆ 21

在时间间隔],[1i i t t -， 物体所经过的路程i s ∆的近似值为 ∆∆s v t t t i n i

i i i i i ≈∀∈=-()([,]),,,ξξ112

即：将物体在],[1i i t t -上的速度视为不变的，以)(i v ξ来近似代替.很自然地，当],[1i i t t -这一时间间隔段很短时，这种近似是合理的。 于是可给出s 的近似值

i i n

i n i i t v s s ∆≈∆=∑∑==)(1

1

ξ

为得到s 的精确值， 只需让每个小时间间隔段的长n i t t t t ∆∆∆∆ 21,均趋向于零.若记 },max{21n i t t t t ∆∆∆∆= λ

则

i i n

i t v s ∆=∑=→)(lim 1

ξλ

上述两例，尽管其实际意义不同，但有两点是一致的。

1．曲边梯形的面积值A 由高)(x f y =及x 的变化区间],[b a 来决定；变速直线运动的路程s 由速度)(t v v =及t 的变化区间],[21T T 来决定。

2．计算A 与s 的方法、步骤相同，且均归结到一种结构完全相同的和式极限。

∑=→∆=n

i i

i x f A 1

0)(lim ξλ

∑=→∆=n

i i

i t v s 1

0)(lim ξλ

抛开这些问题的具体实际意义， 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括， 我们可给出定积分定义。 6.1.2定积分的定义

定义6.1.1 设函数f(x)在],[b a 上有界， 在],[b a 中任意插入1-n 个分点

a x x x x x x x

b i i n n =<<<<<<<<=--01211

把区间分划成 n 个小区间

[,][,][,][,]x x x x x x x x i i n n 011211 --

各区间的长度依次为

11122011,,,,,---=∆-=∆-=∆-=∆n n n i i i x x x x x x x x x x x x

在每个小区间],[1i i x x -上任取一点 )(1i i i i x x ≤≤-ξξ，取函数值)(i f ξ与小

区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ。作和式:i i n

i x f s ∆=∑=)(1

ξ

记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ

，如果不论对],[b a 怎样的分法, 也不论在小区

间],[1i i x x -上点i ξ怎样取法, 只要当0→λ时, 和n s 总趋于确定的极限I , 我们就称这个极限I 为函数

)(x f 在区间],[b a 上的定积分, 记为：

i i n

i b

a

x f I dx x f ∆==∑⎰

=→)(lim )(1

ξλ

其中

)(x f 叫做被积函数；dx x f )(叫做被积表达式；x 叫做积分变量； ]

,[b a 叫做积分区间；a 叫做积分下限； b 叫做积分上限；i

i

n

i x f ∆∑=)(1

ξ 叫做)

(x f 在],[b a 上的积分和式。