3.2常见的一维连续型随机变量

x
1
u2
e 2 du 1
1
x u2
e 2 du 1 x
2 x
2
2020年5月28日星期四
24
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一般正态分布的计算
由于X ~ N ， 2 ，则
FX (x) P{X x}
1
x （t ）2
e 2 2 dt
2
（令u t )
1
x 2
e 2 dt
2
间的长度成正比，而与 该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变 量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
cl
P{c X c l} c f (x)dx
X
X
cl
1 dx
l
.
c ba ba
a
0
l
l
bx
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3
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3.2 常用连续型随机变量
均匀分布的分布函数
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3.2 常用连续型随机变量
正态分布密度函数的图形性质（续）
⑸．若 固定，而改变 的值，由于f x的最大值为 f 1
2
可知，当 越小时，y f x图形越陡，因而 X 落在 附近的概率越大；反之 ，当越大时，y f x的图
形越平坦，这表明 X的取值越分散． f (x)
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3.2 常用连续型随机变量
标准正态分布的计算（续）
对于x 0我们可直接查表求出 x PX x
如果x 0，我们可由公式
x
x t dt
1
x t2
e 2 dt
2
作变换 t u，dt du，得
(x)
x 1
x u2
e 2 du
2
-x 0 x
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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Hale Waihona Puke Baidu
14
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
为此，我们只需证明：
e
x2 2
2
dx
2
e
x2 2
dx
2
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3.2 常用连续型随机变量
正态分布密度函数的图形性质（续）
⑶．曲线y f x在 x 处有拐点； 曲线 y f x以Ox轴为渐近线．
⑷．若 固定，而改变的值，则f x的
图形沿 x 轴平行移动，但不改变其形状．
因此 y f x图形的位置完全由参数 所
确定．
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P{a X b} ( b - ) ( a ).
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3.2 常用连续型随机变量
例3 设X~N(1,4)，查附表四得到
P(1.2 X 4) ( 4 1) (1.2 1) (1.5) (0.1)
2
2
0.9332 0.5398 0.3934
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3.2 常用连续型随机变量
解：（1）所求概率为
P( X 3) F (3) 1 e0.13 0.26;
（2）所求概率为
P(3 X 5) F (5) F (3) (1 e0.15 ) (1 e0.13 ) 0.13
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e 2 2 dx
2
1
u2
e 2 du 1
2020年5月28日星期四2
17
1 e dx
1 2
x
2
2
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
综上所述，
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
满足密度函数的两项基 本条件，因此 f x确
是一个密度函数．
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25 1 dx
20 30 上页
1
3
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3.2 常用连续型随机变量
2．指 数 分 布
引例： 根据历史资料分析，某地连续两次强地 震之间相隔的时间X（单位：年）是一个随机变 量，它的分布函数为
1 e0.1x , x 0; F(x)
0, x 0.
现在该地刚发生了一次强地震。试求 (1)今后3年内再次发生强地震的概率； (2)今后3年至5年内再次发生强地震的概率。
则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
a
1 ba
dx
1．
由此可知，f
x
b
1
a
a xb
确是密度函数．
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0
其它
2
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3.2 常用连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机 变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上 取值的概率与该子区
x2 y2
e 2 dx e 2 dy
x2 y2
e 2 e 2 dxdy
x2 y2
e 2 dxdy
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
作极坐标变换：x r cos ， y r sin ， 则有
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22 1
x 目录
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3.2 常用连续型随机变量
标准正态分布的计算
如果随机变量 X ~ N0， 1，则其密度函数为
x
1
x2
e2
2
,
其分布函数为
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x
教科书上第371页列出了标准正态分布表，
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3.2 常用连续型随机变量
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]
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1
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证
设X ~ 区间a， b上的均匀分布， f x是其密度函数，
f (x)
X ~ N，2
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0 目录
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x 返回
3.2 常用连续型随机变量
标准正态分布
若 0， 1，我们称 N0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函数为
x
1
x2
e2
2
x
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3.2 常用连续型随机变量
F
x
1
0 e
x
x0 x0
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3.2 常用连续型随机变量
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
f x
1
x 2
e 2 2
2
x
其中 ， 0为参数，
则称随机变量 X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
0
⑵． f xdx f xdx f xdx
由此可知，
0
exdx
ex
1．
0
0
f
x
e
x
x0
0 x0
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9
确是一密度函数．
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3.2 常用连续型随机变量
指数分布的分布函数
若随机变量X 服从参数 指数分布，
则 X 的分布函数为
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
1
a a
xa a xb
bx
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4
F (x) 1
a0 b
x
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例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站 一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达 到此站．如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30 之间的均匀分布．求他等待时间不超过5分钟的概率．
e
x2 2
dx
2
2
d
r2
e2
rdr
00
2
r2
e2
2
0
因此，
x2
e 2 dx 2
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16
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
下面验证：
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
作变换：u x ， 则 du dx
则有
1
x 2
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3.2 常用连续型随机变量
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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3.2 常用连续型随机变量
指数分布密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布， f x是其密度函数，则有：
密度函数的验证
设X ~ N ， 2 ，f x是其密度函数，则有：
f x
1
e
x 2
2 2
0
2
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
P( X 0) P( X 0) (0 1) 0 (0.5) 2
1 (0.5) 1 0.6915 0.3085;
P(X 4) P(4 X ) 1 (4 1) 1 (1.5) 1 0.9332 0.0668 2
这里用到了 () 0, () 1.
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( x )
因此，
b a
P(a X b) ( ) ( )
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25
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3.2 常用连续型随机变量
一般正态分布的计算（续）
其中，x是标准正态分布的分布 函数．
FX (x) P{X
x} P{ X
x }
( x )
故对任意的 a b,有
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内容小结
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3.2 常用连续型随机变量
正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
由高等数学中的知识，我们有： f (x) ⑴．曲线关于直线 x 对称，
这表明：对于任意的 h 0，有
P h X P X h
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0 h h x
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3.2 常用连续型随机变量
正态分布密度函数的图形性质（续）
⑵．当x 时，f x取到最大值 f 1
2
x离 越远，f x的值就越小．这表明，对于
同样长度的区间，当区间离 越远时，随机
变量 X 落在该区间中的概率就越小．
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解：设X表示乘客到达该车站的时间，则 X : U 0,30
f
(
x)
1 30
,
0 x 30,
0, 其它.
乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15
之间或在7:25到7:30之间到达车站．因此所求概率为
P10 X 15 P20 X 25
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5
15 1 dx 10 30