人教版九年级数学下册 27.3 位似 (第二课时)课后练习

人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 27.3 位似 （第二课时）课后练习
一、选择题
1．如图，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0),(2,0),(4,4),(2,2)-．如果四边形''''O A B C 与四边形OABC 位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形OABC 面积的94
倍，那么点',','A B C 的坐标可以是（ ）
A ．'(0,3),'(6,6),'(3,3)A
B
C -
B ．'(3,0),'(6,6),'(3,3)A B
C - C ．'(0,3),'(6,6),'(3,3)A B C -
D ．'(3,0),'(6,6),'(3,3)A B C -
2．在平面直角坐标系中，△ABO 一个顶点的坐标分别为A （﹣2，4），B （4，0），O （0，0）．以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12
．得到△CDO ，则点A 的对应点C 的坐标是（ ） A ．（﹣4，8） B ．（﹣4，8）或（4，﹣8）
C ．（﹣1，2）
D ．（﹣1，2）或（1，﹣2） 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，6）、B （﹣3，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为13
，把△AOB 缩小，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）
A ．（﹣3，﹣1）
B ．（﹣1，2）
C ．（﹣1，2）或（1，﹣2）
D ．（﹣1，﹣1）或（1，1）
4．平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12
b ﹣1）．已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ′，B ′，C ′．若△ABC 的面积为S 1，△A ′B ′C ′的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为（ ）
A ．S 112=S 2
B ．S 114=S 2
C ．S 1＝2S 2
D ．S 1＝4S 2
5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点()0,0O ，()8,0A ，()0,6B ，以某点为位似中心，作出AOB ∆的位似图形CED ∆，则位似中心的坐标为（ ）
A ．()0,0
B ．()1,1
C ．()2,2
D ．()0,6
6．如图，△ABC 的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O 为位似中心，将△ABC 扩大得到△A 1B 1C 1,且△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A ．△ABC ∽△A 1
B 1
C 1
B ．△A 1B 1
C 1的周长为6+C ．△A 1B 1C 1的面积为3
D ．点B 1的坐标可能是(6，6)
7．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A 'B 'C ，使得△A 'B 'C 的边长是△ABC 的边长的2倍．设点B 的横坐标是﹣3，则点B '的横坐标是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图，在直角坐标系中，OAB ∆和OCD ∆是位似图形，O 为位似中心，若A 点的坐标为()1,1，B 点的坐标为()2,1，C 点的坐标为()3,3，那么点D 的坐标是（ ）
A ．()4,2
B ．()6,3
C ．()8,4
D ．()8,3
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形'''OA B C 与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形'''OA B C 的面积等于矩形OABC 面积的14
，那么点'B 的坐标是( )
A ．(3,2)
B ．(2,3)--
C ．(2,3)或(2,3)--
D ．(3,2)或(3,2)--
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4，2)，F(−1，−1).以原点O 为位似中心，把△EFO 扩大到原来的2倍，则点E 的对应点E′的坐标为（ ）
A ．(−8，4)
B ．(8，−4)
C ．(8，4)或(−8，−4)
D ．(−8，4)或(8，−4)
二、填空题 11．已知ABC 与DEF 是位似图形，以x 轴上的一点为位似中心，点(1,1)A -的对应点D 的坐标为(1,2)，则(2,2)
B -
的对应点E 的坐标为_______.
12．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为l ，点A 的坐标为（2，0），则E 点的坐标为__________________．
13．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO 关于的A 的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为 ．
14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，若点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．
15．如图，在直角坐标系中，有两点()A 6,3、()B 6,0.以原点O 为位似中心，相似比为
13
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为______．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，OAB 的项点坐标分别为(0,0)O ，(2,1)A ，(1,2)B -
（1）以原点O 为位似中心， 在y 轴的右侧画出将OAB 放大为原来的2倍得到的11OA B ，请写出点A 的对应点1A 的坐标；
（2）画出将OAB 向左平移2个单位， 再向上平移1个单位后得到的222O A B ，写出点B 的对应点2B 的坐标； （3）请在图中标出11OA B 与222O A B 的位似中心M ， 并写出点M 的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0）、A （2，1）、B （1，﹣2）．
（1）以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出△OAB 的一个位似△OA 1B 1，使它与△OAB 的相似比为2：1 ． （2）分别写出点A 、B 的对应点A 1、B 1的坐标：A 1（____，_____）， B 1（____，_____）．
（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2 是位似图形，点M 是位似中心，则点M 的坐标为：_________
18．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别是(1,3)A ，(4,1)B ，(1,1)C ．
（1）画出ABC 关于x 轴成轴对称的111A B C △；
（2）画出ABC 以点O 为位似中心，位似比为12：
的222A B C △．并写出2C 的坐标．
19．如图，△ABC 在坐标平面内三个顶点的坐标分别为A （1，2）、B （3，3）、C （3，1）．
（1）根据题意，请你在图中画出△ABC；
（2）在原图中,以B为位似中心，画出△A′BC′使它与△ABC位似且位似比是3：1，并写出顶点A′和C′的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为．
21．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）．
（1）点B的坐标为，△ABC的面积为；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为．
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
22．已知：如图1，点A (1, 0)，B(0，2)，将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′ 恰在反比例函数
y＝k
x
(x＞0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)如图2，将△AOB (点O为坐标原点)沿AB翻折得到△ACB，求点C的坐标；
(3)是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF (即△DEF∽△AOB，且相似比为2)，
使得点D、F恰好在反比例函数y＝k
x
(x＞0) 的图象上?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．一次函数y =kx +b (k ≠ 0)的图象与反比例函数y =x
m
(m ≠ 0)的图象交于A (-1，-1)，B (n，2)两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P 在x 轴上，过点P 做垂直于x 轴的直线l，交直线AB 于点C，若AB=2AC，请直接写出点C 的坐标．【参考答案】
1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B 9．D 10．D
11．(7,4)
-
12．（
13．5
43⎛⎫- ⎪⎝⎭
，． 14．1(,0)4 或3(4,-)2
15．()2,1．
16．解：（1）如图所示：△OA 1B 1即为所求，A 1（4，2）；
（2）如图所示：△O 2A 2B 2即为所求，B 2（-1，-1）；
（3）位似中心M 如图所示，M （﹣4，2）．
17．（1）如图所示，分别连接位似中心O 与A 、B 并向y 轴的右侧延长一倍，得到A 1（4，2），B 1（2，﹣4）并连接A 1 B 1得到△OA 1B 1．
（2）由图可知，A 1坐标为（4，2），B 1坐标为（2，﹣4）．
（3）分别连接两个位似三角形对应点并延长可交于一点M 即为位似中心，由图可知M 点坐标为（﹣4，2）．
18．解：(1)由题意知：ABC 的三个顶点的坐标分别是3(1)A ，，(41)B ，，(11)C ，，
则ABC 关于x 轴成轴对称的111A B C △的坐标为1()13A ,-，141B (,-)，11,1C (-)， 连接11A C ，11A B ，11B C ，得到111A B C △即为所求，如最下方图所示；
(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：
第一种，222A B C △和ABC 在同一侧，
则2()2,6A ，282B (,
)，2(2,2)C ，连接各点，得222A B C △， 第二种，222A B C △在ABC 的对侧，
22(6),A --，28,2B (--)，222C (-,-)，连接各点，得222A B C △，
因为在网格中作图，图中网格是有范围的，所以位似放大只能画一个， 综上所述：如图所示222A B C △为所求．此时2(2,2)C 或222C (-,-)．
19．①
②A'（9，6），C'（3，9）．
考点: 作图-位似变换．
20．（1）如图，△O ′A ′B 即为所求；
（2）如图，△O ″A ″B 即为所求；
（3）如图，∵点M 是OA 的中点，
∴经过（1）旋转后坐标变为（52，92
） ∴经过（1）位似变换后，M 的对应点M ′的坐标为（2，7）． 故答案为：（2，7）．
21．解：（1）根据图上点B 的位置，点B 的坐标是()2,2， 14242
ABC S =⨯⨯=， 故答案是：()2,2，4；
（2）如图，连接OA 取，OA 中点记作点1A ，用同样的方法找到点1B 和点1C ，就得到缩小后的111A B C △；
（3）根据（2）中的做法，点1P 就是OP 的中点，根据中点坐标公式，1,22a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故答案是：,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （4）①如图，连接AC 、BD 交于点O ，连接EB 交AC 于点G ，连接DG 并延长交CB 于点F ，F 即为所求， 根据平行四边形的性质，O 是BD 中点，
∴CO 是BCD 的中线，
∵E 是CD 中点，
∴BE 也是BCD 的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG 并延长，得到BCD 的最后一条中线，则F 是BC 中点；
②如图，分别过点B 、C 作23⨯的矩形对角线BD ，31⨯的矩形对角线CE ，
BD AC ⊥，CE AB ⊥，则直线BD 与CE 的交点F 就是ABC 的高所在直线的交点，
连接AF 角BC 于点H ，线段AH 就是所求的ABC 的高．
22．解：（1）点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′的坐标是(3,2)，
代入
k
y
x
=得：6
k=；
（2）如图，过C做CM△x轴于N，作BM△CM与M，△△AOB沿AB翻折得到△ACB，
△AC=OA=1，BC=BO=2，△BCA=△BOA=90°．
△△BCM+△ACN=90°，
△△CAN+△ACN=90°，
△△BCM=△CAN，
△△M=△ANC=90°，
△△ANC△△CMB，
△
1
2 AN CN AC CM BM BC
===
设AN=p，则CM=2p，CN=2-2p，△1+p=2（2-2p）
解得
3
5
p=，
△ON=1
8
5
p
+=，CN=2
4
2
5
p
-=，
则C的坐标是
8
(
5
，
4
)
5
；
（3）△如图中，AOB ∆放大为原来的两倍后得到DEF ∆，且DEF AOB ∆∆∽， △OA =1，OB =2
△EF =4，DE =2，
△D 和F 在反比例函数图象上，设6(,)F m m
， △6(2,4)D m m
+-， 6(2)(4)6m m
∴+-=， 解得1m =或3-（舍弃），
经检验m=1是原方程的解，
(1,6)F ∴，(3,2)D ，
△点E 坐标为(1,2),
∴直线BF 的解析式为42y x =+
直线AD 的解析式为1y x =-，
由421y x y x =+⎧⎨=-⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩
， (1,2)P ∴--，
△连接BD 、AF ，
△点B 坐标为(0,2),点D 坐标为(3,2)，
△BD △x 轴，
△点A坐标为(1,0),点F坐标为(1,6)，
△AF△y轴，
△BD、AF的交点(1,2)
P'，
(1,2)
P
∴'或(1,2)
P--即为位似中心，（图只是作为参考！)综上所述，P坐标为(1,2)
--或(1,2)．
23．（1）△反比例函数图象过A（-1，-1）点，
△m=1，
△
1
y
x =，
△ 反比例函数图象过B(n, 2)点，△ 2n = 1，
∴n=1
2
，
∴B点坐标为（1
2
，2）；
△一次函数图象过A（-1，-1）、B （1
2
，2）两点，
△
1
1
2
2
k b
k b
-+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得：
2
1 k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
△y=2x+1
（2）①如图，当B在AC之间时，
因为AB=2AC，即C为中点，设C（x，y），，
△
1
11
2
24
121
22 x
y
⎧
-+
⎪
==⎪
⎨
⎪-+
==⎪
⎩
即C为（− 1
4
，
1
2
）；
②如图，当点C在线段BA延长线时，因为AB=2AC，
1
2 CA
AB
=，
∴
()
()
()
()
11
12
1
2
11 212
x
y
⎧--
=
⎪
⎪--
⎪
⎨
⎪--
=
⎪
--
⎪⎩
，
∴
7
4
5
4
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
即：C点为（−7
4
，−
5
2
）
综上所述，C（−7
4
，−
5
2
）或（−
1
4
，
1
2
），
故答案为C（−7
4，−
5
2）或（−
1
4，
1
2）。