第二章 描述聚合物流变性质
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v1 v2 v3 0 x1 x2 x3
d=L, w=0 说明拉伸流 场中不发生
旋转
g
e 00
L
0
1 2
g
e
0
00
1 2
g
e
应力张量
1 简单拉伸
2 简单剪切
总结
Txx 0 0
Tij 0 0 0
0 0 0
0 Txy 0 Tij Tyx 0 0
0 0 0
形变梯度张量 简单拉伸
材料在拉伸作用下产生的形变称为拉伸应变，也称相对 伸长率（）。
F
A0
A
l0
Dl F
l
简单拉伸示意图
拉伸应力 = F / A0 （A0为材料的起始截面积） 拉伸应变（相对伸长率） = （l - l0）/l0 = Dl / l0
（ii）简单剪切(shearing)
材料受到与截面平行、大小相等、方向相反，但不在一条直 线上的两个外力作用，使材料发生偏斜。其偏斜角的正切值定 义为剪切应变（）。
Txx
Txy
Txz
Tij
Tyx
T yy
Tyz
Tzx
T zy
Tzz
应力张量，对角线上的分量表示正应力，法向分量(normal component),其他量表示剪切力,切向分量(shear component)；
1 简单拉伸 2 简单剪切
Txx 0 0
Tij 0 0 0
0Baidu Nhomakorabea0 0
0 Txy 0
1 简单拉伸(Extension)
F
A0 (拉伸应力,习用应力) 2 简单剪切(Shear)
F
A0
(剪切应力)
• 牛顿流体：剪切流动时，内部只有剪切力， 无拉伸压缩应力（正应力）；
• 粘弹性高分子流体：剪切流动时，内部既 有剪切力，又有正应力
• 问题：如何描述同时具有具有剪切和正应 力的内部受力状态？
0 0 1
2.4 弹性模量和柔量描述
➢ 弹性模量=应力/应变 ➢ 拉伸情况E=σ/ε(杨氏模量),
D=1/E (拉伸柔量) ➢ 剪切情况G= τ/γ(切变模量),
J=1/G (切变柔量)
表征材料抵抗变形能力的大小
2.4 形变速率的描述 1 速度梯度
剪切速率：
•
/t
d (
)
d(Vx) / d(y)
Tij
Tyx
0
0
0 0 0
2.3形变描述 1 简单拉伸形变ε=∆L/L0
拉伸形变量
x1 1 X1
x2 2 X 2
x3 3 X 3
伸长率 1
λ1＞1, λ2= λ3,为一维拉伸形变 λ1＞1, λ2＞1,为二维拉伸形变 λ1 * λ2* λ3=1 λ为常数或时间的函数
2 简单剪切形变 Tan( ) s / d
A0
F
F
简单剪切示意图
剪切应变 = tg 剪切应力s = F / A0
（iii）均匀压缩（pressurizing) 材料受到均匀压力压缩时发生的体积形变称压缩应变（
V）。
A0
材料经压缩以后，体积由V0缩小为V，则压缩应变： V = （V0 - V）/ V0 = DV / V0
应力张量表示：
x1 X1 X 2tg
x2 X 2 x3 X 3
物体的形变实际上是物体在不同时刻,在空间占有不同位形 的比较,对这些位形的连续变化的描述就是对流动的描述.
形变度量的一种定义
(形变梯度张量)
F=əx/əX 简单拉伸
1 0 0 F 0 2 0
0 0 3
简单剪切
1 tg 0
F 0 1 0
第二章：描述聚合物流变性质 的基本物理量
2.1引言
➢简单实验:均质性,各向同性 ➢经典的弹性和粘性定律：
Hooke定律：
E G
Newton粘性定律：
0 0
d
dt
2.2 应力描述
应力定义：物体在外力或外力矩作用下会产生流 动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体 内部产生相应的应力。应力通常定义为材料内部 单位面积上的响应力，单位为Pa（1Pa= 1N/m2） 或MPa (1MPa = 106 Pa)。
(L
LT
)
简单剪切情况:
速度场为
0
g
0
L 000
得到
000
g
0
0
2
d
g
2
00
000
g
v1 x2
v2 v3 0
0
g
0
2
g
w
2
00
000
简单拉伸情况:
不可压缩流体的连续性
方程,Himton v 0
有
v2 x2
v3 x3
1 2
g
e
•
e (v1) / (x1)
d (t )
•
拉伸速率： e (vx) / (x)
2 速度梯度张量
材料内的流速场为V,则定义 速度梯度张量: L一般为非对称张量,可以分解为一 个对称张量和一个非对称张量 L=d+w d为形变率张量,表征了材料形变的 速率
w为旋转速率张量,与材料形变无关
L V / X
d
1 2
(L
LT
)
w
1 2
设在某一瞬时位形，材料内的流速场为v，则 定义速度剃度张量L=Эv/Эx
在简单剪切流场中，x1方向为流动方向，x2 速度梯度方向，x3为中性方向。
速度场：v1=Эv1/Эx2*x2=rx2 v2=v3=0
1 2
g
e
0
00
1 2
g
e
0
g
0
2
d
g
2
00
000
2.5 粘度的描述
粘度=应力/形变速率
1表观粘度
2稠微度分粘c 度或
3 零切粘度 0 剪切速率趋 于零的粘度
a
(&)
(&) &
c
d
g
d
作业题
一 形变梯度张量、速度梯度张量的定义，在 简单剪切的情况下，它们分别等于多少？
设t1时刻物体内任一线元dX，在t2时刻占据 的空间位置为dx，则定义t1、t2时刻间，物体 内发生的形变梯度为F=Эx/ЭX，此称为形变 梯度张量。 简单剪切 x1=X1+X2*tgr x2=X2 x3=X3
简单剪切
1 0 0 F 0 2 0
0 0 3
1 tg 0
F 0 1 0
0 0 1
速度场
图9－34 拉伸流动的示意图
速度梯度
拉伸流动
剪切流动
速度梯度方向与流动方向相同 速度梯度方向与流动方向垂直
速度 梯度 方向
流动方向
流动方向 速度梯度方向
形变率张量 简单拉伸
简单剪切
g
e 00
L
0
d=L, w=0 说明拉伸流 场中不发生
旋转
g
e 00
L
0
1 2
g
e
0
00
1 2
g
e
应力张量
1 简单拉伸
2 简单剪切
总结
Txx 0 0
Tij 0 0 0
0 0 0
0 Txy 0 Tij Tyx 0 0
0 0 0
形变梯度张量 简单拉伸
材料在拉伸作用下产生的形变称为拉伸应变，也称相对 伸长率（）。
F
A0
A
l0
Dl F
l
简单拉伸示意图
拉伸应力 = F / A0 （A0为材料的起始截面积） 拉伸应变（相对伸长率） = （l - l0）/l0 = Dl / l0
（ii）简单剪切(shearing)
材料受到与截面平行、大小相等、方向相反，但不在一条直 线上的两个外力作用，使材料发生偏斜。其偏斜角的正切值定 义为剪切应变（）。
Txx
Txy
Txz
Tij
Tyx
T yy
Tyz
Tzx
T zy
Tzz
应力张量，对角线上的分量表示正应力，法向分量(normal component),其他量表示剪切力,切向分量(shear component)；
1 简单拉伸 2 简单剪切
Txx 0 0
Tij 0 0 0
0Baidu Nhomakorabea0 0
0 Txy 0
1 简单拉伸(Extension)
F
A0 (拉伸应力,习用应力) 2 简单剪切(Shear)
F
A0
(剪切应力)
• 牛顿流体：剪切流动时，内部只有剪切力， 无拉伸压缩应力（正应力）；
• 粘弹性高分子流体：剪切流动时，内部既 有剪切力，又有正应力
• 问题：如何描述同时具有具有剪切和正应 力的内部受力状态？
0 0 1
2.4 弹性模量和柔量描述
➢ 弹性模量=应力/应变 ➢ 拉伸情况E=σ/ε(杨氏模量),
D=1/E (拉伸柔量) ➢ 剪切情况G= τ/γ(切变模量),
J=1/G (切变柔量)
表征材料抵抗变形能力的大小
2.4 形变速率的描述 1 速度梯度
剪切速率：
•
/t
d (
)
d(Vx) / d(y)
Tij
Tyx
0
0
0 0 0
2.3形变描述 1 简单拉伸形变ε=∆L/L0
拉伸形变量
x1 1 X1
x2 2 X 2
x3 3 X 3
伸长率 1
λ1＞1, λ2= λ3,为一维拉伸形变 λ1＞1, λ2＞1,为二维拉伸形变 λ1 * λ2* λ3=1 λ为常数或时间的函数
2 简单剪切形变 Tan( ) s / d
A0
F
F
简单剪切示意图
剪切应变 = tg 剪切应力s = F / A0
（iii）均匀压缩（pressurizing) 材料受到均匀压力压缩时发生的体积形变称压缩应变（
V）。
A0
材料经压缩以后，体积由V0缩小为V，则压缩应变： V = （V0 - V）/ V0 = DV / V0
应力张量表示：
x1 X1 X 2tg
x2 X 2 x3 X 3
物体的形变实际上是物体在不同时刻,在空间占有不同位形 的比较,对这些位形的连续变化的描述就是对流动的描述.
形变度量的一种定义
(形变梯度张量)
F=əx/əX 简单拉伸
1 0 0 F 0 2 0
0 0 3
简单剪切
1 tg 0
F 0 1 0
第二章：描述聚合物流变性质 的基本物理量
2.1引言
➢简单实验:均质性,各向同性 ➢经典的弹性和粘性定律：
Hooke定律：
E G
Newton粘性定律：
0 0
d
dt
2.2 应力描述
应力定义：物体在外力或外力矩作用下会产生流 动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体 内部产生相应的应力。应力通常定义为材料内部 单位面积上的响应力，单位为Pa（1Pa= 1N/m2） 或MPa (1MPa = 106 Pa)。
(L
LT
)
简单剪切情况:
速度场为
0
g
0
L 000
得到
000
g
0
0
2
d
g
2
00
000
g
v1 x2
v2 v3 0
0
g
0
2
g
w
2
00
000
简单拉伸情况:
不可压缩流体的连续性
方程,Himton v 0
有
v2 x2
v3 x3
1 2
g
e
•
e (v1) / (x1)
d (t )
•
拉伸速率： e (vx) / (x)
2 速度梯度张量
材料内的流速场为V,则定义 速度梯度张量: L一般为非对称张量,可以分解为一 个对称张量和一个非对称张量 L=d+w d为形变率张量,表征了材料形变的 速率
w为旋转速率张量,与材料形变无关
L V / X
d
1 2
(L
LT
)
w
1 2
设在某一瞬时位形，材料内的流速场为v，则 定义速度剃度张量L=Эv/Эx
在简单剪切流场中，x1方向为流动方向，x2 速度梯度方向，x3为中性方向。
速度场：v1=Эv1/Эx2*x2=rx2 v2=v3=0
1 2
g
e
0
00
1 2
g
e
0
g
0
2
d
g
2
00
000
2.5 粘度的描述
粘度=应力/形变速率
1表观粘度
2稠微度分粘c 度或
3 零切粘度 0 剪切速率趋 于零的粘度
a
(&)
(&) &
c
d
g
d
作业题
一 形变梯度张量、速度梯度张量的定义，在 简单剪切的情况下，它们分别等于多少？
设t1时刻物体内任一线元dX，在t2时刻占据 的空间位置为dx，则定义t1、t2时刻间，物体 内发生的形变梯度为F=Эx/ЭX，此称为形变 梯度张量。 简单剪切 x1=X1+X2*tgr x2=X2 x3=X3
简单剪切
1 0 0 F 0 2 0
0 0 3
1 tg 0
F 0 1 0
0 0 1
速度场
图9－34 拉伸流动的示意图
速度梯度
拉伸流动
剪切流动
速度梯度方向与流动方向相同 速度梯度方向与流动方向垂直
速度 梯度 方向
流动方向
流动方向 速度梯度方向
形变率张量 简单拉伸
简单剪切
g
e 00
L
0