空间几何量的计算.证明与计算(角度)

空间几何量的计算.证明与计算（角度）

【例1】 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90BCD ∠=，

PA PB =，PC PD =．

⑴证明：CD 与平面PAD 不垂直； ⑵证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；

⑶如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60，求二面角P CD A --的大小．

G

F

E

D

C

B A P

【例2】 （2008山东）

如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，

60ABC ∠=︒，E F ，

分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；

⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD

面角E AF C --的余弦值．

P

F

E

D

C

B

A

【例3】 如图，正ABC ∆的边长为3，过其中心G 作BC 的平行线，分别交AB 、AC

于1B 、1C ，将11AB C ∆沿11B C 折起到111A B C ∆的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求： ⑴二面角111A B C M --的大小；

⑵异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值的大小．

【例4】 （2009福建）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，

NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 为BC 的中点．

⑴求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；

⑵在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．

E

N

M

D

C B

A

【例5】 （2009浙江文）

如图，DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，

P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．

⑴ 证明：PQ ∥平面ACD ；

⑵ 求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

Q

P

E

D

C

B

A

【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AC

BD H =，

且H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==

，DB =．

H

E D

C

B

A P

⑴证明：PA ∥平面BDE ； ⑵证明：AC ⊥平面PBD ；

⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．

【例7】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，

2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．

⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；

⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．

P

G

F

E D

C

B

A

【例8】 （2009朝阳一模）

如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是

AB 的中点．

⑴求证：CD AB '⊥；

⑵求二面角A AB C ''--的大小；

⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．

D

C '

B '

A '

C

B

【例9】 （2007东城期末理）如图，在长方体ABCD —1111A B C D 中，棱3AD DC ==，

14DD =，过点

D 作1D C 的垂线交1CC 于点

E ，交1D C 于点

F ．

⑴求证：1AC BE ⊥； ⑵求二面角E BD C --的大小； ⑶求BE 与平面11A D C 所成角的正弦值．

D 1

C 1B 1

A 1

F E

D

C

B

A

【例10】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AC

BD H =，

且H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==

，DB =．

H

E D

C

B

A P

⑴证明：PA ∥平面BDE ； ⑵证明：AC ⊥平面PBD ；

⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．

【例11】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，

2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．

⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；

⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．

P

G

F

E D

C

B

A

【例12】 （2006江苏-19）在正ABC ∆中， E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，

满足:AE EB ::CF FA CP ==1:2PB =，将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结11A B A P 、 ⑴求证：1A E ⊥平面BEP

⑵求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小 ⑶求二面角1B A P F --的余弦值大小．

F

E

C

P

A 1B

P

F E

D C

B

A

【例13】 （07湖南理18）如图1，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，

G 是EF 上的一点，将GAB ∆，GCD ∆分别沿AB CD ，

翻折成1G AB ∆，2G CD ∆，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且

12G G AD <．连结2BG ，如图2．