第三章系统预测

第三章 系统预测

3.1 基本概念

系统预测就是根据系统过去和现在的发展变化规律，通过一定的科学理论和方法及手段，对系统事物未来发展趋势和状况进行推测、估计和分析，形成科学的假设和判断。系统预测是系统工程的重要内容，是系统决策和系统设计的基础。常用的预测方法可分为定性预测、时间序列分析预测和因果关系预测三大类型。

定性预测方法主要依靠人们的经验和判断分析能力，对系统事物的发展变化作出判断。 时间序列预测方法是根据系统对象随时间变化的历史资料，考虑系统变量随时间的发展变化规律，对其未来状态作出预测的方法。时间序列预测方法主要包括移动平均法、指数平滑法、趋势外推法以及Box -Jenkins 方法等。

因果关系预测方法主要是针对系统变量之间存在的某种前因后果关系，找出影响某种结果的一个或几个因素，建立起它们之间的数学模型，然后根据自变量的变化来预测结果变量的变化的预测方法。因果关系预测方法主要有线性回归分析法、马尔可夫法、状态空间预测法、计量经济预测法以及系统动力学方法。

3.2 定性预测方法

定性预测方法主要用于缺乏历史统计数据的系统对象。这类方法主要有特尔菲（Delphi ）法、主观概率法和领先指标法等。下面介绍其中的特尔菲（Delphi ）法。特尔菲法就是专家调查法，即根据所要预测的问题和必要的背景材料，拟好调查表，用通信的形式征询有关专家的意见。得到答复后，把各种意见经过综合归纳、整理后再反馈给专家，进一步征询意见。如此反复多次（一般需要进行4轮），直到预测的问题得到较为满意的结果。在调查过程中，专家互不见面，并以匿名方式回答问题，因此可以消除相互间的影响。

选择合适的专家、科学地提出预测问题并制定出合理的调查表是实施特尔菲法的关键步骤。此外，要根据预测问题的性质，采取科学的统计分析方法对调查结果进行定量处理。主观概率法和记分法是2种常用的方法。

主观概率法是由专家对某一方案作出概率估计，然后计算其数学期望值。设共有n 名专家，p i 为第i 名专家估计的概率，则预测的平均概率P 为：

（3-1）

因预测的概率是根据人们的经验主观判断得来的，故称为主观概率。 记分法是由专家对各种方案给出评分（一般为1~10范围内的数），然后根据下式计算第j 方案的综合得分：

（3-2）

式中：W j ——第j 方案的最终得分；

X ij ——第i 位专家给第j 方案的评分； m ——专家人数；

n ——方案数目；

n

p P n

i i ∑

==1

∑∑∑====n j m

i ij m

i ij j j X X L W 11

1

L j ——积极性系数，即

m j ——对方案作出预测的专家数。

积极性系数L j 的作用是减弱少数人评分的影响，使结果充分反映多数人的意见。

3.3 一元线性回归模型

一元回归和后面将要介绍的多元回归模型都属于因果关系预测模型。一元线性回归分析是研究分析两个相关变量之间的关系，或者说，一个自变量X 对因变量Y 的影响的一种回归方法。例如，某一地区某一时期的化肥施用量X 与农作物产量Y 之间有表3-1的统计资料。

表3-1 化肥施用量与农作物产量

为了研究它们之间的相互关系,首先以X 为横坐标,Y 为纵坐标,以表3-1中的数据为数据点绘出相关图,可以发现这些数据大致落在一条直线上,但并不完全与直线重合,说明农作物产量与化肥施用量有一定关系,而又不完全依赖于化肥施用量,还有一些其他因素。这里主要研究化肥施用量和农作物之间的相互关系，其他一些因素的影响均归并到误差项中。

根据表3-1所列数据，可以假设农作物产量和化肥施用量之间有以下相关形式，其模型结构为

ε++=bX a Y (3-3)

式中 Y —农作物产量；X —化肥施用量； ε--除化肥施用量之外其他影响因素的总和，称为残差。 3.3.1 回归方程

设x 为自变量，y 为因变量。如果已知n 组样本数据为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），满足下式：

i i i bx a y ε++= (3-4)

式中i ε相互独立，服从同一正态分布N （0，σ），那么就认为y 与x 近似为线性关系，其数学期望为E （y ） = a + bx ，据此可建立如下一元线性回归预测模型： （3-5） 在x -y 坐标系中绘制样本数据的散点图，如图3-1 所示。如果y 与x 近似为线性关系，则这些数据点基本分布在一条直线附近。

m m L j j =

bx a

y +=ˆ

图3-1 样本数据散点图

3.3.2 参数估计

由式（3-5）知，对于n 组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ）中的任意一点（y i ，x i ），其预测值为

（3-6） 预测值 与实际值y i 之间的差值为 。下面以所有数据点的预测误差的平方

和为衡量预测模型性能的指标，即有：

（3-7）

Q 实际上代表了预测总误差。根据最小二乘法原理，参数a 、b 的值应使总误差Q 最小，令

解此联立方程组，得 （3-8）

（3-9）

式中： ，

为简化记号，令

（3-10）

（3-11）

i i bx a y +=ˆi y ˆ)ˆ(i i y y -∑

∑==--=-=n

i i i n i i i bx a y y y Q 1

212)

()ˆ(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂∑

∑==n i i i i n i i i x bx a y b Q bx a y a Q

110)(20)(2∑∑

∑∑

====--=n i n i i

i n i n i i

i i x x x y x y x b 11211

x b y a -=∑

==n i i x n x 11∑

==n i i

y n y 1

12

22)(1)())((1

))((∑

∑∑∑∑∑

∑-=-=-=--=i i i i i i xx i i i

i i i i i i i xy x n x x x l y x n y x y y x x l

i

y i y ˆi

y