关于根轨迹图中几个特殊点的特殊性质研究
根轨迹绘制的基本准则
Gk
(s)
s(s
Kg 1)( s
5)
试确定实轴上根轨迹的会合点和分离点的位置。
[解]： 5
1
0
实轴上根轨迹区间是：(,5)和(1,0)
D(s) s(s 1)(s 5)
N(s) 1
d [ D(s) ] d [s(s 1)(s 5)] 3s2 12s 5 0 ds N(s) ds
由于根轨迹是当Kg从0变到∞时闭环极点的轨迹，所以根 轨迹的起点是对应于系统参数Kg＝0时特征根在S平面上的位置； 而根轨迹的终点则是对应于Kg＝∞时特征根在S平面上的分布 位置。
Thursday, October 10,
3
2019
证明： 由幅值条件可知：
m
s zi
i 1
n
s pj j 1
第二节 根轨迹绘制的基本准则
Thursday, October 10,
1
2019
根轨迹的连续性和对称性
用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通 过研究根轨迹和开环零、极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近 线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根 轨迹的大致形状和变化趋势。
1、根轨迹的连续性：
其中 k＝ τK
T
6
开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。
开环极点有两个： P1 0
P2
1 T
开环零点有一个：
Z1
1
根轨迹起始于开环极点，即起始于0和
1 T
。其中一条根轨迹终
止于开环零点，即 1 ，另一条终止于无穷远处。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
11-14第四章根轨迹
(s p
j 1
n
j
)
1 特征方程： G ( s ) H ( s ) 0
根轨迹方程： G ( s ) H ( s ) 1
幅值条件： K
sz s p
j 1 i 1 n
m
i
1
j
相角条件： K ( s z i ) ( s p j ) (2k 1)
-2 Real Axis
-1
0
1
规则7.
•根轨迹的出射角：开环极点在复平面上时，起点处根轨迹的切线与实轴正 m n 方向的夹角； pa ( 2k 1) ( p a z i ) ( p a p j )
i 1
j 1 ja
•根轨迹的入射角：开环零点在复平面上时，终点处根轨迹的切线与实轴 n m 正方向的夹角。 zb ( 2k 1) ( z b p i ) ( z b z j )
0
45
0
135
( 2 k 1) 26 .6 180
3 p4
2 z1
1
p3 0
90 0
Re
当k=0时， - p1= -26.6° 由根轨迹的对称性 -p2=26.6°
p2
规则8.闭环极点和开环零极点的关系
G (s) H (s) K (s zi )
规则2.
(1)根轨迹的起点为开环极点； (2)根轨迹的终点在开环零点或无穷远处。
说明：由根轨迹方程，
K
sz s p
j 1 i 1 n
m
i
1
j
K
s p
j 1 m
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
根轨迹图中特殊点的特殊性质研究
根轨迹图中特殊点的特殊性质研究陈林元（哈尔滨工程大学理学院数学与应用数学系06级本科）摘要：采用根轨迹方法研究控制系统的性能具有快速方便的优点。
根轨迹图形在实轴上的汇集点和分离点，以及虚轴上的临界点具有特殊性质。
应用根轨迹绘制原则难以确定根轨迹图在这些特殊点的特殊性质，从而影响根轨迹发判断系统性能的准确性。
应用复变函数的解析性及函数导数连续性的性质对根轨迹在实轴分离点和汇集点的切线性质进行分析，根轨迹两条分支在分离点与汇集点的切线垂直于实轴；定义广义极值点和利用原函数与反函数之间的关系分析了根轨迹在虚轴上的临界点的性质，给出根轨迹穿过临界点的条件以及与临界点相切的条件。
确定了根轨迹在特殊点的特殊性质，给出了特殊点的绘制原则，避免了因根轨迹在特殊点的绘制错误所带来的系统性能判断不准。
关键词：根轨迹图；分离点、汇集点；原函数、反函数；广义极值点Investigation of the special property on special point of Root LocusChenlinyuanMaths and Applied Mathematics of the Science College .Haerbin Engineering UniversityAbstract: Using the method of Root Locus to study control system has some advantages of convenient and quick.The point of Root Locus integrated or divided on the real axis and the critical point on image axis has special properties.But the traditional means can not give the accurate properties. Use the methods of complex function and the relationship between original function to analyse these,and get the conclusion that the Root Locus cross the real axis vertically and whether cross the image axis just depends.The new methods can avoid the deviation in judging the properties of the systems.Key words:Root Locus;integrated and divided point;original function and inverse function;extended extremum根轨迹分析法在分析控制系统性能时具有快速方便的优点，具有广泛的应用。
第四章 根轨迹法课件
根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。当 n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，正好 终止于n个开环零点。
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。
j 1
j 1
ji
根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：
n
m
zl 1800 (2k 1) (zl p j ) (zl z j )
j 1
j 1
jl
根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤 其是手工绘图，根据规则就能很快地画出大致形状 ，再求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了 ，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根 轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。
ω4-j10ω3-32ω2+j(32+K)ω+K=0
写出实部和虚部方程:
ω4-32ω2+K=0，10ω3-(32+K)ω=0
由此求得根轨迹与虚轴的交点坐标为
12 4.5204,34 1.2514
因为ω34对应的K小于零,所以舍去。因此,系统根轨迹与虚轴 交点坐标为(0,±j4.5204)。
j [s]
G(s) k(s 1/ )
s(s 1/T )
式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T 和一个开环零点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支 。
当k=0时, 两条根轨迹从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(21)=1条趋于无穷远处。
根据开环零极点的位置, 可知实轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区 间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示, 其中
根轨迹法特点和方法介绍
n
m
pi zi
a
i 1
j 1
nm
a
(2k1)
nm
渐近线
m
n
(s zi )
a1 p j
G(s)H(s) K*
i1 n
(s pj )
j 1 m
b1 z i
j1
i1
K*
sm sn
b1sm1 L a1sn1 L
bm1s bm an1s an
1G (s)H (s)0
smb 1sm 1Lbm 1sbm1 sna1sn 1Lan 1san K *
2
R D (je ) 32 K * 0 2
ID m (j) 3 2 0
K* 6
基本法则（7）——分离点 d
法则7 分离点 d： d K * = 0 或 ds
（对应重根）
n 1
m1
i1 dpi j1 dzj
当K*从0变到∞时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点
称分离点。分离点对应重闭环极点。
G (s)H (s)= K * (s-z 1 )(s-z 2 )....(s-z m ) K *> 0 (s-p 1 )(s-p 2)....(s-p n )
系统的闭环特征方程可以表示为：
1+K *(s-z1)(s-z2)....(s-zm)=0 (s-p1)(s-p2)....(s-pn)
以K*为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程， 相应地，我们称之为典型根轨迹方程。
G (s)H (s)=
K *(s-z1)
(s-p1)(s-p2)(s-p3)(s-p4)
基于相角条件，在复平面上选足够多的试验点，对每
一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
三重极点根轨迹
三重极点根轨迹（实用版）目录1.引言2.三重极点的定义和性质3.三重极点根轨迹的求解方法4.三重极点根轨迹的应用5.结论正文1.引言在数学和物理学中，三重极点是一个重要的概念。
在研究某些物理现象时，我们需要了解三重极点的性质和特点。
为了更好地理解三重极点，我们需要研究它的根轨迹。
本文将从三重极点的定义和性质入手，详细介绍如何求解三重极点根轨迹，并探讨其在实际应用中的价值。
2.三重极点的定义和性质三重极点是指在一个给定的平面直角坐标系中，三个共线的点，这三个点分别具有相同的极角和相反的极径。
根据极坐标系的定义，三个共线的点可以表示为 (r1, θ1)、(r2, θ1) 和 (r3, θ1)，其中 r1 > r2 > r3 > 0，θ1 ∈ (0, 2π)。
三重极点的性质包括：它们在极坐标系中的轨迹为三个同心圆，且这三个同心圆的半径之比为 1:2:3。
3.三重极点根轨迹的求解方法为了求解三重极点根轨迹，我们可以采用极坐标系下的代数方法。
首先，设三重极点的极径分别为 r1、r2 和 r3，极角均为θ1。
根据极坐标和直角坐标的关系，我们可以得到三重极点在直角坐标系中的坐标分别为(r1, θ1)、(r2, θ1) 和 (r3, θ1)。
接下来，我们可以利用代数方法，根据三个点的共线条件建立方程组，求解 r1、r2 和 r3 之间的关系。
通过消元法，我们可以得到一个关于 r1、r2 和 r3 的二次方程。
解这个二次方程，我们可以得到三重极点根轨迹的方程。
4.三重极点根轨迹的应用三重极点根轨迹在物理学、力学等领域具有广泛的应用。
例如，在研究行星运动时，我们可以通过三重极点根轨迹来描述三个共线天体之间的相互作用。
此外，在研究刚体受力问题时，三重极点根轨迹也有助于我们更好地理解力的合成和分解。
5.结论本文从三重极点的定义和性质入手，详细介绍了如何求解三重极点根轨迹，并探讨了其在实际应用中的价值。
根轨迹法讲解和性能指标
26
因系统特征方程式的某些系数是系统开环 根轨迹增益K 的函数，所以当 K在0~∞之间连续 变化时，系统闭环特征方程式的某些系数也随之 连续变化，因此，闭环特征根的变化也是连续的， 根轨迹也是连续的。
23
规则1 ：起点和终点 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时 方程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程 的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终 点是根轨迹的特殊点。
当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 正好终止于m个开环零点。
24
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞的 点，要K→∞只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,…,m)， 二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点达式：
m
K1 (s zi )
图4-4 实轴上的根轨迹
29
这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的 某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或 共轭极点（如p2，p3）对应的相角（如θ2，θ3）之和 均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影 响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、 极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点 对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开 环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所 以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零极点总数 必须是奇数。
关于根轨迹图中几个特殊点的特殊性质研究
关于根轨迹图中几个特殊点的特殊性质研究作者：于立君王辉陈林元来源：《中国科技纵横》2010年第18期摘要:本文对根轨迹在实轴分离点和汇集点的切线性质进行分析,给出根轨迹穿过临界点的条件以及与临界点相切的条件,确定了根轨迹在特殊点的特殊性质,给出了特殊点的绘制原则,避免了因根轨迹在特殊点的绘制错误所带来的系统性能判断不准的缺点。
关键词:根轨迹图;分离点、汇集点;广义极值点根轨迹分析法在一些特殊位置的具体性质传统的根轨迹绘制原则没有给出根轨迹在这些特殊位置的性质说明,根轨迹分支穿过实轴时与实轴的位置关系、根轨迹与虚轴临界点是相切还是穿过等问题没有证明,而这些特殊点的性质会影响根轨迹法判断的准确性。
本文利用连续导函数的性质和原函数与反函数极值点之间的关系,对这种特殊点的性质给出了证明,提高了根轨迹法分析系统性能的准确性,避免了根轨迹法因特殊点处的偏差降低判断的准确性。
1 根轨迹在实轴分离点或汇集点与实轴位置关系1.1 问题的提出从根轨迹图中可以发现,根轨迹图在汇集点处与实轴垂直,但是如何证明确实垂直于实轴?1.2问题的解决1.3 问题的推广结论:根轨迹图中在两根轨迹分支与实轴相交的分离点或汇集点处与实轴垂直。
证明:对于低阶(1或2阶)系统或某些特殊高阶系统,可以用数学上的导数定义由k=f(x,y)与k=g(x,y)消去中间参量k,得到:2 根轨迹与虚轴交点处性质研究2.1 问题的提出为什么根轨迹图是穿过虚轴,而不是与虚轴相切成面的根轨迹呢?2.2问题的解决根据根轨迹图形可知最多有三个广义极值点。
而如果根轨迹是跟虚轴相切,则一共有七个点满足广义极值点的定义,而由引理知,反函数的广义极值点的个数与原函数的极值点个数相等,所以根轨迹不可能是与虚轴相切,而应该是穿过。
2.3 问题的推广由原函数与反函数的关系及变换因变量和自变量的角色,可以在碰到根轨迹与虚轴有众多交点时,利用的极值点个数来确定根轨迹在特殊情况下的走向,即是穿过这些交点还是于这些交点相切,避免应用根轨迹法所到来的判断误差。
第三章 根轨迹分析
控制系统的根轨迹
控制系统的稳定性，由闭环极点唯一确定。而控制系统的过渡过 程的基本特征，则与其闭环极点与零点在 S 平面上分布的位置相关。 完成系统的性能研究，需解决的问题： 闭环极点与零点的分布 研究系统某些参数变换对系统性能的影响。 问题的提出: 当系统的特征方程为高阶代数方程时，研究某个参数 变换对系统的零、极点分布的影响情况。 解决方法: 根轨迹方法。 根轨迹方法: 就是利用已知系统的开环传递函数的零、极点分布分 情况，研究某个或某些系统参数的变换对控制系统闭环传递函数极点 分布的影响的一种图解方法。
极点－零点图
考虑函数
bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 F (s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0
k (s − z1 )(s − z2 )L(s − zm ) F (s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
bm k= an
乘数，使分子、分母的S最高次幂的系数为1.
j∠ ( s 0 − p i )
s0 pi Im(s0- pi)
Re(s0- pi)
这样，函数F(s)可以表示为
F ( s0 ) =
模和角为
[ s 0 − p1 e j∠ s 0 − p1 ][ s 0 − p 2 e j∠ s 0 − p 2 ] L
k s 0 − z1 s 0 − z 2 L s 0 − p1 s 0 − p 2 L
s点到各极点间长度的乘积 k= s点到各零点间长度的乘积
第6章 根轨迹分析法
第六章根轨迹分析法◆本章学习目标1、了解根轨迹的基本特性和相关概念。
2、了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则。
3、掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中。
4、掌握闭环极点与系统性能的关系。
5、学会分析增加闭环极点与系统性能的影响。
◆本章教学内容1、根轨迹的基本概念。
2、根轨迹的绘制基本规则。
3、特殊根轨迹的绘制。
4、闭环零极点与系统性能的关系。
◆本章重点1、根轨迹的两个基本条件：相角条件和幅值条件。
2、绘制根轨迹的基本规则。
3、闭环极点与系统动态性能之间的关系。
◆本章难点根轨迹的绘制方法。
◆本章学习方法建议及参考资料1、熟悉各名词、术语的含义，掌握基本概念。
2、掌握典型根轨迹的绘制法则。
§6.1 根轨迹的基本概念1、根轨迹分析法的依据一个控制系统的稳定性完全由它的特征方程所确定，而特征方程的根又与系统参数密切联系。
2、根轨迹法的研究背景在上一章系统稳定性主要是讨论为了取值范围进行要求。
为了更彻底的了解系统，需要知道如果系统中某个参数（例如开环增益系数）发生变化，特征方程的根会发生什么样的变化，从而导致系统稳定性发生怎样改变。
要解决这样一个问题，反复计算高阶代数方程的根是完全不现实的。
即使采用劳斯—赫尔维兹判据也需要反复计算劳斯阵，其过程也很复杂。
尹文斯（W.R.E v a n s）于1948年提出了一种求解闭环特征方程根的简便图解方法，即根轨迹法。
3、根轨迹的研究任务为了保证系统稳定而对系统中某一参数根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
或者说，由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解的方法确定闭环极点。
4、根轨迹定义开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s 平面上的轨迹。
【例】设控制系统的结构如图 6.1所示：图中，，则系统的开环传递函数为：。
第4章根轨迹教学课件
s1 0.42, s2 1.577（4 舍去）
(5)确定根轨迹与虚轴的交点
设 s j，我们可得 s1、2 j 2。
K* 6 为临界根轨迹增益。
由此可得实轴上根轨迹、渐进线及分离点 。
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-4
-3
-2
-1
j
0
由此可概略绘制系统的根轨迹如下图所示。
法则6 分离点与汇合点 两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇又分
离的点称为分离点或汇合点，下面统称为分离点。 根轨迹出现分离点，说明系统此时出现了重
极点，故用求重根的方法求分离点坐标。 若根轨迹方程为
m
K* (s zi )
1
i 1 n
0
(s pj)
j 1
则特征方程为
n
m
D(s) (s pj ) K* (s zi ) 0
3
3
a
(2k
1) 3
=
3
,
(k 1, 0,1)
(2) 实轴上根轨迹区间为 (, 0)
(3)
确定分离点，由分离点公式有
1
1
1
0
d d 1.5 0.866 j d 1.5 0.866 j
得 d 2 2d 1 0 ，解得 d 1 由法则9可以知道 ，在分离点处，
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
j
使用MATLAB绘制时，
可用如下语句
num=1;
den= [1 3 3 0];
三重极点根轨迹
三重极点根轨迹1. 引言在控制系统理论中，根轨迹是一种用来描述系统特征根随参数变化的图形。
它是分析和设计控制系统的重要工具之一。
在某些特殊情况下，系统的特征根可能会出现三重极点，这时就需要研究三重极点根轨迹。
本文将详细介绍三重极点的概念、性质以及如何通过根轨迹分析来理解和设计这类系统。
2. 三重极点的概念与性质2.1 三重极点的定义在控制系统中，如果一个系统的传递函数有一个或多个相同的特征根，则称该特征根为多重极点。
当多重极点为3时，我们称其为三重极点。
2.2 三重极点的性质三重极点具有以下几个性质：•一个传递函数最多只能有一个三重极点；•在实际应用中，出现三重极点较为罕见；•当存在一个或多个三重极点时，系统响应会表现出更加复杂和不稳定的行为。
3. 根轨迹分析3.1 根轨迹的基本概念根轨迹是描述系统特征根随参数变化的曲线。
通过分析根轨迹，可以得到有关系统稳定性、阻尼比、自然频率等信息。
3.2 根轨迹的绘制方法绘制根轨迹的方法可以分为以下几个步骤：1.将传递函数表示为极坐标形式：G(s)=K(s−z1)(s−z2)⋯(s−z m)；(s−p1)(s−p2)⋯(s−p n)2.标出系统传递函数零点和极点在复平面上的位置；3.绘制起始根轨迹：从零点开始，沿着虚轴对称地向无穷远方移动；4.计算和绘制其他根轨迹：通过利用极坐标法，计算其他特征根随参数变化时的位置，并将其绘制在图上；5.最后，通过观察根轨迹的形状、分布和走向，得出有关系统稳定性和动态响应的结论。
3.3 三重极点根轨迹的特点当存在一个三重极点时，相比于一般情况下的根轨迹，其特点有以下几点：•三重极点会导致根轨迹在该点处呈现出”旋转”的特性；•根轨迹会从三重极点处分离成三条曲线，分别向无穷远方延伸；•三条曲线的走向和形状与其他特征根的位置和参数有关。
4. 通过根轨迹分析三重极点系统4.1 系统稳定性分析通过观察根轨迹，可以判断系统是否稳定。
对于存在一个三重极点的系统，当其余特征根位于左半平面时，系统是稳定的；当其余特征根位于右半平面时，则系统是不稳定的。
根轨迹 实轴 重根-概述说明以及解释
根轨迹实轴重根-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式进行编写：根轨迹、实轴和重根是控制系统理论中的重要概念。
在控制系统设计和分析中，根轨迹是一种图形工具，用以描述系统在不同参数下的稳定性和动态响应特性。
通过绘制根轨迹图，我们可以直观地了解系统的稳定性、振荡性以及对不同输入信号的响应能力。
而实轴则是复平面上的实数轴，它在根轨迹分析中具有重要的作用。
实轴上的点表示系统的特征根中的实部，而特征根则是指控制系统的传递函数分母多项式的根。
实轴上的点可以揭示系统在不同参数下的稳定性，特别是当特征根的实部为负数时，系统会趋向于稳定。
此外，重根也是一个值得关注的概念。
当控制系统的传递函数分母多项式中存在重根时，系统的动态响应会呈现出一些特殊的特征。
重根会导致系统的阶数减小，从而影响系统的性能指标和稳定性。
本文将深入探讨根轨迹、实轴和重根在控制系统中的定义、性质和影响。
在正文部分，将详细介绍根轨迹的概念，并探讨实轴在根轨迹分析中的重要作用。
同时，将讨论重根的特征以及其对系统动态性能和稳定性的影响。
最后，在结论部分，将总结根轨迹、实轴和重根在控制系统设计和分析中的重要性，并提出应对重根带来的挑战的策略。
通过本文的研究，读者将能够更深入地理解根轨迹、实轴和重根在控制系统中的意义，从而为系统的设计和优化提供更加准确和有效的指导。
同时，对于控制系统的稳定性分析和振荡特性评估，本文所提供的知识也将为工程师和研究人员提供有益的参考。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论根轨迹、实轴和重根的相关概念和性质。
第一部分是引言部分，我们将概述本文的主要内容和目的。
首先我们将介绍根轨迹的定义和概念，以及其在系统稳定性分析中的作用。
接着我们将探讨实轴的性质和其对系统稳定性的影响。
最后，我们将介绍重根的特征和其对系统的影响。
第二部分是正文部分，主要包括三个小节。
在第一个小节中，我们将详细讨论根轨迹的定义和概念，以及如何通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性。
根轨迹法二重极点
根轨迹法二重极点1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对整篇文章的主题进行简要介绍。
可以参考以下模板：在控制系统中，根轨迹法被广泛应用于分析和设计系统的稳定性和性能。
本文将着重讨论根轨迹法在处理系统存在二重极点时的应用。
二重极点是指系统传递函数的特征方程中存在重复的极点。
相较于一般的极点，二重极点会给系统的稳定性和性能带来更多的挑战，因此需要特殊的分析和设计方法来解决。
本文以根轨迹法为基础，探讨了如何利用这一方法来分析和设计具有二重极点的控制系统。
在本文的正文部分，我们将详细介绍根轨迹法的原理和基本概念，并探讨二重极点对系统根轨迹的影响。
通过实例讲解，我们将展示如何利用根轨迹法来确定二重极点的位置和影响，并通过调节控制参数来实现系统的优化。
最后，我们将从实际应用的角度总结根轨迹法在处理二重极点时的优势和局限性，并展望未来的研究方向。
通过本文的阅读，读者将更加深入地了解根轨迹法在处理系统二重极点时的应用，为控制系统的分析和设计提供有益的参考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分应该对整篇文章的结构进行简要介绍，概括性地说明每个章节的内容和顺序。
主要目的是为读者提供一个大致的导航，使他们更好地理解文章的整体框架和思路。
在本篇文章中，文章结构可按照如下方式进行叙述：2. 正文部分主要包括两个章节。
2.1 根轨迹法：本章节将详细介绍根轨迹法的基本原理和应用。
首先，将介绍根轨迹法的概念和作用，解释为什么根轨迹法是一种有效的控制系统分析工具。
然后，将详细介绍根轨迹法的步骤和计算方法，包括如何确定开环传递函数和如何绘制根轨迹图。
此外，还将介绍如何利用根轨迹图对系统的稳定性、性能和稳态误差进行评估和分析，并探讨根轨迹法在控制系统设计中的应用。
2.2 二重极点：本章节将重点讨论二重极点对系统的影响及其在根轨迹法中的特殊处理方法。
首先，将解释二重极点的定义和性质，说明二重极点对系统的稳定性和动态响应的影响。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
根轨迹法特点和方法介绍
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点:
（1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统
性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念
系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的 根—闭环极点，所以控制系统的动态设计，关键就 是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环 极点的常用办法。 1948年W.R.Evans提出了根轨迹法，它不直接求解 特征方程，而用图解法来确定系统的闭环特征根。
D (s)s22sK*0
l1,2 1 1K*
§4.1.2 闭环零点与开环零、极点之前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
§4.1.3 绘制根轨迹方程—绘制根轨迹的两个条件
根轨迹方程及其含义
K* G(s)
(s) G(s)
(s) G(s) 1G(s)H(s)
1G(s)H(s)0
G (s)H (s)=K *(s-z1)L(s-zm ) =1— 根轨迹方程 (s-p1)(s-p2)L(s-pn)
G (s)H (s) K *(sz1) (szm ) 1
(sp 1)s(p 2) (sp n)
m
G(s)H(s) K*sz1szm sp1 sp2spn
n
m
pi zi
G (s)H (s)= K * (s-z 1 )(s-z 2 )....(s-z m ) K *> 0 (s-p 1 )(s-p 2)....(s-p n )
系统的闭环特征方程可以表示为：
1+K *(s-z1)(s-z2)....(s-zm)=0 (s-p1)(s-p2)....(s-pn)
第4章根轨迹法
−
G (s)
H ( s)
C (s)
系统的开环传递函数为 G ( s) H ( s)
西华大学电气信息学院
C (s) G ( s) = 系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： R( s) 1 + G( s) H ( s)
则系统的闭环特征方程为： 则系统的闭环特征方程为： + G ( s) H ( s) = 0 1 因此，满足开环传递函数等于-1的 ， 因此，满足开环传递函数等于 的s，即为闭环 特征根，也就是根轨迹上的一个点。 特征根，也就是根轨迹上的一个点。 一般系统的开环传递函数可表示成如下形式 m
其中K称为根轨迹增益。 其中 称为根轨迹增益。 称为根轨迹增益 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) K = = 2 R( s ) 1 + G ( s ) s + 2s + K
西华大学电气信息学院
系统的特征方程为
s 2 + 2s + K = 0
系统的特征根或闭环极点为
s1,2 = −1 ± 1 − K
(2)根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点是指根轨迹上对应于K=0的点；终 的点； 根轨迹的起点是指根轨迹上对应于 的点 点是指根轨迹上对应K=+∞的点。 点是指根轨迹上对应 ∞的点。 根据幅值条件式， 根据幅值条件式，可得
1 = ∏ | s − pi | K
j =1 n i =1
jω
z2
jω
z1
p3
−3
p2
−1
p1
σ
z2
其中， 表示开环传递函数的极点（ 其中，“X”表示开环传递函数的极点（根轨迹的 表示开环传递函数的极点 起点）； ）；“ 表示开环传递函数的零点 表示开环传递函数的零点（ 起点）；“O”表示开环传递函数的零点（根轨迹 的终点）。 的终点）。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。