关于根轨迹图中几个特殊点的特殊性质研究

关于根轨迹图中几个特殊点的特殊性质研究

摘要:本文对根轨迹在实轴分离点和汇集点的切线性质进行分析,给出根轨迹穿过临界点的条件以及与临界点相切的条件,确定了根轨迹在特殊点的特殊性质,给出了特殊点的绘制原则,避免了因根轨迹在特殊点的绘制错误所带来的系统性能判断不准的缺点。

关键词:根轨迹图;分离点、汇集点;广义极值点

根轨迹分析法在一些特殊位置的具体性质传统的根轨迹绘制原则没有给出根轨迹在这些特殊位置的性质说明,根轨迹分支穿过实轴时与实轴的位置关系、根轨迹与虚轴临界点是相切还是穿过等问题没有证明,而这些特殊点的性质会影响根轨迹法判断的准确性。

本文利用连续导函数的性质和原函数与反函数极值点之间的关系,对这种特殊点的性质给出了证明,提高了根轨迹法分析系统性能的准确性,避免了根轨迹法因特殊点处的偏差降低判断的准确性。

1 根轨迹在实轴分离点或汇集点与实轴位置关系

1.1 问题的提出

从根轨迹图中可以发现,根轨迹图在汇集点处与实轴垂直,但是如何证明确实垂直于实轴?

1.2问题的解决

1.3 问题的推广

结论:根轨迹图中在两根轨迹分支与实轴相交的分离点或汇集点处与实轴垂直。

证明:对于低阶(1或2阶)系统或某些特殊高阶系统,可以用数学上的导数定义

由k=f(x,y)与k=g(x,y)消去中间参量k,得到:

2 根轨迹与虚轴交点处性质研究

2.1 问题的提出

为什么根轨迹图是穿过虚轴,而不是与虚轴相切成面的根轨迹呢?

2.2问题的解决根据

根轨迹图形可知最多有三个广义极值点。而如果根轨迹是跟虚轴相切,则一共有七个点满足广义极值点的定义,而由引理知,反函数的广义极值点的个数与原函数的极值点个数相等,所以根轨迹不可能是与虚轴相切,而应该是穿过。

2.3 问题的推广

由原函数与反函数的关系及变换因变量和自变量的角色,可以在碰到根轨迹与虚轴有众多交点时,利用的极值点个数来确定根轨迹在特殊情况下的走向,即是穿过这些交点还是于这些交点相切,避免应用根轨迹法所到来的判断误差。

3 结语

根轨迹图在两分支与实轴汇集或分离的点上,轨迹的切线垂直于实轴;在应用根轨迹基本绘制原则求得与虚轴的众多交点时,根轨迹穿过这些点或是相切于这些点取决与参数k和实部x之间的具体函数关系及极值点个数。

参考文献:

[1] 胡寿松.自动控制原理第四版.科学出版社,2005.

[2] 胡寿松.自动控制原理题海大全.科学出版社,2008.

[3]吴晓燕,张双选.Mtlab在自动控制中的应用.西安电子科技大学出版

社,2006.

[4]李友善.自动控制原理第三版.国防工业出版社,2005.

基金项目:

1.黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目“优化创新型人才培养生态系统的探索与实践”。

2.黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目“依托船海优势培养自动化领域高素质创新人才的研究与实践”。