线性代数教案-第三章 行列式及其应用

第三章行列式及其应用

本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.

一、教学目标与基本要求

（一）知识

1n 阶行列式的定义及性质

现将这些性质作为公理体系来定义n 阶行列式.设][ij a =A 是任意一个n 阶方阵,用i A 记其第i 行元素为分量的n 元向量,即

)(21in i i i a a a ,,, =A ,n i ,,,

21=, 并称其为行向量.有序向量组}{1n A A ,, 所定义的实值函数)(d 1n A A ,, 被称为n 阶行列式函数,如果它满足下列公理:

公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t ,有

)(d )(d ,,,,k k t t A A =,n k ,,

1=. 公理2 对每行都具加性.即对任意n 元向量B ,有

.,, ,,,,,,,,,n k k k k k 1)(d )(d )(d 11=+

=++-A B A A B A

公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若1+=k k A A )11(-=n k ,, ,则0)(d 1=n A A ,, .

公理4 对于n

R 中常用基}{1n e e ,, ,有 1)(d 1=n e e ,, .

当}{1n A A ,, 取定,则称)(d 1n A A ,, 为一个n 阶行列式.有时也简称为n 阶行列式函数为n 阶行列式.n 行列式常被记为det A ,|A |,或

nn

n n n n a a a a a a a a a

2122221

11211

. 公理4意味着,对于n 阶单位方阵E ,有

1det ==||E E .

前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若p t t ,, 1是任意p 个实数,p B B ,, 1是任意p 个n 元向量(p 是任意正整数),有

)d()(d 2121n p

k k k n p k k k t t A A B A A B ,,,,,, ∑∑===

定理3.1.1满足公理1,2,3的行列式函数)(d 1n A A ,, 具有以下性质:

(1)若行列式某一行为零,则此行列式为零.

(2)对调行列式任意两行,则行列式变号.

(3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零.

(4)若向量组}{1n A A ,, 是相关的,则行列式0)(d 1=n A A ,, .

(5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变.

2

行列式的计算

例3.2.2设A 是形如下式的n 阶对角方阵

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn a a a

0000002211)0(j i a ij ≠=, 则nn a a a A 2211det =.

由该例可得到:

例3.2.3设A 是形如下式的n 阶上三角方阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a a a 00022211211(主对角线下方各元素为零) 则nn a a a A 2211det =.

定理3.2.1 设d 是满足行列式公理1～4的n 阶行列式函数,f 是满足行列式公理1～3的n 阶行列式函数,则对任意选定的n 元向量n A A ,, 1及n

R 中常用基}{1n e e ,, ,有 )()()(111n n n f d f e e A A A A ,,,,,, =.(3.2.2)

若f 还满足行列式公理4,则有

)(d )(11n n f A A A A ,,,, =.

定理3.2.2 若A 是一个非奇异方阵(即1-A 存在),则0det ≠A ,且

A

A det 1det 1=- 定理3.2.3 设n A A ,, 1是n 个n 元向量.该向量独立的充要条件是0)(d 1≠n A A ,, . 本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法.

定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着

B A B O O A det det det =⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡

本定理可以推广到一般情形:若C 是一个具有对角子块n A A ,, 1的分块对角方阵,即

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=n A O A O A C 21, 则)det ()det )(det (det 21n A A A C =.

3

行列式的展开公式

定义3.3.1给定n 阶方阵][kj a A =(n ≥2).去掉其元素kj a 所在的第k 行和第j 列后,余下元素按原来位置构成的1-n 阶方阵,被称为元素kj a 的余子阵,记为kj A .而称kj A det 为kj a 的余子式.

定理3.3.1对任意n 阶方阵][kj a A =(n ≥2),有

kj j k kj

A A det )1(det +-=',n k ,, 1=. (3.3.2) 从而有

∑=+-=n

j kj j k kj A a A 1

det )1(det ,n k ,,

1=. (3.3.3) 此式被称为行列式按第k 行的展开式.

定义3.3.2对行列式det A 而言,称kj j k A det )1(+-为元素kj a 的代数余子式,记为

kj a cof .

下面将利用数学归纳法来证明n 阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n 阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式.

定理3.3.2设1-n 阶行列式函数存在.对任意n 阶方阵][kj a A =,定义函数

∑=+-=n

k k k k n A a A A f 11111det )1()(,, , (3.3.4)

则它是n 阶行列式函数

定理3.3.3对任意n 阶方阵][kj a A =,有

∑=+⎩⎨⎧≠==-n j ij kj j i k i k i A A a 1

det det )

1( 0, , (3.3.6) ∑=+⎩⎨⎧≠==-n j ji jk j i k i k i A A a 1det det )1( 0,

, (3.3.7) 定理3.3.4对任意n 阶方阵][kj a A =,有

T det det A A =.

4 伴随阵及方阵的逆

定义3.4.1给定n 阶方阵][ij a A =,称n 阶方阵T

][cof ij a 为A 的伴随阵,记为 *A .

据此定义知: A 的伴随阵*A 位于第j 行第i 列的元素,就是A 的元素ij a 的代数余子式 ij j i ij A a det )1(cof +-=.

定理3.4.1对任意n 阶方阵][ij a A =(n ≥2),有

E A AA )(det *=.

又:若0det ≠A ,则1-A 存在,且有

*det 11A A

A =-. 定理3.4.2对任意n 阶方阵A 而言,1-A 存在得充分必要条件是0det ≠A .当0det ≠A ,

就有

*det 11A A A =-,A

A det 1det 1=-