中考圆和抛物线专题训练及答案

图1 图2

圆和抛物线综合题专题训练

姓名___________

1、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan

∠ACO ＝ 1

3

．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．

解：（1）由OC=OB=3，知C (03)-，

连接AC ，在Rt △AOC 中，OA=OC ×tan ∠ACO=1

313

⨯

=，故A 10-（，）

设所求二次函数的表达式为(1)(3)y a x x =+-

将C (03)-，

代入得3(01)(03)a -=+-，解得1a =， ∴这个二次函数的表达式为2

23y x x =--。

（2）解法一：①当直线MN 在x 轴上方时，设所求圆的半径为R （R>0），设M 在N 的左

侧，

∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴1x =上，

∴N （R+1，R ）代入2

23y x x =--中得

2(1)2(1)3R R R =+-+-

，解得R =

②当直线MN 在x 轴下方时，设所求圆的半径为(0)r r >，由①可知N (1

)r r +-，，代入抛

物线方程可得r =

。 （2）解法二：①当直线MN 在x 轴上方时，设所求⊙的半径为R （R>0）,12()()M x R N x R ，、，，则1x 和2x 是方程2

23R x x =--的两根

∴△=44(3)0R ++>

12122

3x x x x R

+=⎧⎨

⋅=-⎩由122x x R -=得，221212()44x x x x R +-= ∴244(3)4R R ---=

。解得R =

②当直线MN 在x 轴下方时，设所求圆的半径为(0)r r >，12()()M x r N x r --，、，，

则1x 和2x 是方程223r x x -=--的两根

∴△=44(3)0r -->，解得4r <。

12122

3x x x x r

+=⎧⎨

⋅=-+⎩由122x x r -=得，221212()44x x x x r +-= ∴244(3)4r r --+=

。解得r =

。

4<，∴

r =

。 （3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

把G （2，y ）代入抛物线的解析式2

23y x x =--得G (23)-，

。 由A (10)-，可得直线AG 的方程为1y x =--

设2(23)P x x x --，，则(1)Q x x --，，2

2PQ x x =-++， 213(2)22

APG APQ GPQ S S S PQ G A x x ∆∆∆=+=

⋅-=-++横坐标横坐标）（ 当1

2

x =

时，△APG 的面积最大。 此时P 点的坐标为115()24-，，△APG 的面积最大值为278

。

2、如图1，直线y ＝

43x －1与抛物线y ＝－4

1x

2

交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求线段AB 的长；

（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；

（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．

解：由题意：，

解得：x 2+3x-4=0， 即x=-4或x=1．

代入求得y=-4或-，

或，

即点A （-4，-4）B （1，-），

则AB=；

（2）由（1）可得A ，B 中点即圆的圆心点O 为（），

则圆的方程式为：

①

与x=m ②有公共点即有解， 把②代入①判定判别式≥0即可．

（3

）抛物线平移后为：．

存在．

理由如下：抛物线平移后为：，其对称轴是x=2．

由于过P 、Q 的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小， 即点C 到圆心的距离要最短，过C 作CE 垂直抛物线的对称轴，垂足为E ， 则符合条件的圆是以E 为圆心，EC 长为半径的圆， 其面积为4π．

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别

交于A B C D 、、、四点．抛物线2

y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点

M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．

解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，

∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、

，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，