第十一讲 垂心与欧拉线配套课程教案

第十一讲 垂心与欧拉线

【例题】

例1. 在锐角△ABC 中，1A ，1B ，1C 分别为边BC ，CA ，AB 的中点，△ABC 的垂心、外心分别为H ，O ，

射线1HA ，1HB ，1HC 分别与△ABC 的外接圆交于点0A ，0B ，0C ．证明：O ，H ，0H 三点共线，其中0H 为△000A B C 的垂心．

证明：如图，联结HB ，HC ，0A B ，0A C ，0A A ．

因为H 为△ABC 的垂心，所以0180BHC BAC BA C ∠=∠︒-∠=∠．

又1A 为边BC 的中点，由同一法知四边形BHC 0A 为平行四边形．故090ACA ∠=． 于是，0AA 为△ABC 外接圆的直径．

所以O 为△ABC 和△000A B C 的对称中心，0H 与H 关于O 对称，且O 为0HH 的中点．

例2. 已知锐角△ABC 垂心为H ，内心为I ，且AC BC ≠，延长CH ，CI ，分别与△ABC 外接圆交于D ，L ．求

证：9090CIH IDL ∠=⇔∠=．

证明：如图，设△ABC 的外心为O ，外接圆半径为R ，H 在CL 上的投影为Q ，HQ 交直线LO 于点K ，LO 与O 交于点S ，CL 交DS 于点P ，AB 分别交LO ，CD 于点M ，N ．

因为AHD ABC ADH ∠=∠=∠，且DH AB ⊥，所以DH 的中垂线为AB ．从而，N 是DH 的中点． 又因DC ∥SL ，HK ∥CS ，所以四边形DLKH 是等腰梯形．于是，AB 是LK 的中垂线．因此，有LQ LK LM LC LS R ==

，故LC LM

LQ R

⋅=． 因为PO LS ⊥，LC SC ⊥，所以△LOP ∽△LCS ．

于是，22LO LS R LP LC LC ⋅==

． 易知22LB LS LM R LM =⋅=⋅．

又因为2LQ LP R LM ⋅=⋅，所以2LP LQ LB ⋅=． 由于LB LI =，可得2LP LQ LI ⋅=． 特别地，Q I =等价于P I =．

又因为90CIH ∠=等价于Q I =，90IDL ∠=等价于P I =，所以，90CIH ∠=的充要条件是90IDL ∠=．

例3. 设四边形ABCD 有内切圆O ．求证：△OAB ，△OBC ，△OCD 和△ODA 的垂心共线．

证明：如图，设△OAB ，△OBC ，△OCD 与△ODA 的垂心分别为1H ，2H ，3H ，4H ． 设直线14H H 与BD 交于点P ．由于4DH AO ⊥，1BH AO ⊥，故4DH ∥1BH ，

于是

14BP BH DP DH =．由垂心性质，知4cot DH ADO AO =∠，1

cot BH ABO AO

=∠．设O 与AB ，AD 分别切

于点M ，N ，则

cot cot BP ABO BM

DP ADO DN

∠==

∠． 这说明点P 正是AC 与BD 的交点，这是因为若设AC ，BD 交于点P '，又设O 与CD 切于点J ，则有M ，P '，J 共线．考虑到MP B DP J ''∠=∠，以及180BMP DJP ''∠+∠=︒，

对△MBP '与△DJP '分别使用正弦定理，即得BP DP BM DJ ''=或BP BM BM

DP DJ DN '==

'．此即说明P 与P '重合．

同理，直线12H H ，23H H ，34H H 均过P 点，因此1H ，2H ，3H ，4H 必在一条直线上．

例4. 设圆内接△ABC 的垂心为H ，P 为圆周上任一点．求证：PH 被P 关于该三角形的西姆森线平分．

证明：如图，不妨设P 在弧BC 上，P 在直线AB ，BC 上的射影分别是M ，N ，MN 即为西姆森线．AL 是高，延长后交圆于点D ，PN 延长后交圆于点Q ，连PD ，QA ，CD ，BP ，则易知HCB BAD DCB ∠=∠=∠，得HL LD =．

又易知M ，N ，P ，B 共圆，因此ENP ABP AQP ∠=∠=∠，故MN ∥AQ ．又作HR ∥AQ ，于是由四边形AQPD 为等腰梯形，知四边形HRPD 也是等腰梯形，于是BC 垂直平分HD ，从而BC 垂直平分RP ．

由PN NR =及MNE ∥RH ，知MN 必将PH 平分．

B

例5. 锐角△ABC 中，AD ，BE ，CF 是高．求证：△AEF ，△BDF ，△CDE 的3条欧拉线共点，且此点在

△ABC 的九点圆上．

证明：先证一个引理：HC 中点C '为△CDE 外心，且垂心C H 在CO 直线上．如图（1），由90HDC HEC ∠==∠，有H ，D ，C ，E 在以CH 为直径的圆上，C '为圆心．

又90C H CA HCB B OCA ∠=∠=-∠=∠，故c H 在OC 上．引理得证． 下面回到原题．

由△CDE ∽△ABC 可知H ，C '，C H ，O 共圆，考虑△A B C '''，它的外接圆即为九点圆，只需证3条欧拉线交于它的外接圆上某一点即可．如图（2），设过A '的欧拉线交其于T ，则由引理同理知H ，A '，A H ，O 共圆，而A '为HA 中点，△A B C '''外心O '为HO 中点，

故A O ''∥AO ，

所以()()360360180180TB H B TA TA H A HB C HO A C ''''''''''∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-∠-∠-︒-∠ 2C HO A A O B HO A HO B '''''''''=∠-∠=∠-∠=∠．

故由引理知T 过B '的欧拉线上，同理T 在过C '的欧拉线上，原命题得证．