第十一讲 垂心与欧拉线配套课程教案

第十一讲 垂心与欧拉线
【例题】
例1. 在锐角△ABC 中，1A ，1B ，1C 分别为边BC ，CA ，AB 的中点，△ABC 的垂心、外心分别为H ，O ，
射线1HA ，1HB ，1HC 分别与△ABC 的外接圆交于点0A ，0B ，0C ．证明：O ，H ，0H 三点共线，其中0H 为△000A B C 的垂心．
证明：如图，联结HB ，HC ，0A B ，0A C ，0A A ．
因为H 为△ABC 的垂心，所以0180BHC BAC BA C ∠=∠︒-∠=∠．
又1A 为边BC 的中点，由同一法知四边形BHC 0A 为平行四边形．故090ACA ∠=． 于是，0AA 为△ABC 外接圆的直径．
所以O 为△ABC 和△000A B C 的对称中心，0H 与H 关于O 对称，且O 为0HH 的中点．
例2. 已知锐角△ABC 垂心为H ，内心为I ，且AC BC ≠，延长CH ，CI ，分别与△ABC 外接圆交于D ，L ．求
证：9090CIH IDL ∠=⇔∠=．
证明：如图，设△ABC 的外心为O ，外接圆半径为R ，H 在CL 上的投影为Q ，HQ 交直线LO 于点K ，LO 与O 交于点S ，CL 交DS 于点P ，AB 分别交LO ，CD 于点M ，N ．
因为AHD ABC ADH ∠=∠=∠，且DH AB ⊥，所以DH 的中垂线为AB ．从而，N 是DH 的中点． 又因DC ∥SL ，HK ∥CS ，所以四边形DLKH 是等腰梯形．于是，AB 是LK 的中垂线．因此，有LQ LK LM LC LS R ==
，故LC LM
LQ R
⋅=． 因为PO LS ⊥，LC SC ⊥，所以△LOP ∽△LCS ．
于是，22LO LS R LP LC LC ⋅==
． 易知22LB LS LM R LM =⋅=⋅．
又因为2LQ LP R LM ⋅=⋅，所以2LP LQ LB ⋅=． 由于LB LI =，可得2LP LQ LI ⋅=． 特别地，Q I =等价于P I =．
又因为90CIH ∠=等价于Q I =，90IDL ∠=等价于P I =，所以，90CIH ∠=的充要条件是90IDL ∠=．
例3. 设四边形ABCD 有内切圆O ．求证：△OAB ，△OBC ，△OCD 和△ODA 的垂心共线．
证明：如图，设△OAB ，△OBC ，△OCD 与△ODA 的垂心分别为1H ，2H ，3H ，4H ． 设直线14H H 与BD 交于点P ．由于4DH AO ⊥，1BH AO ⊥，故4DH ∥1BH ，
于是
14BP BH DP DH =．由垂心性质，知4cot DH ADO AO =∠，1
cot BH ABO AO
=∠．设O 与AB ，AD 分别切
于点M ，N ，则
cot cot BP ABO BM
DP ADO DN
∠==
∠． 这说明点P 正是AC 与BD 的交点，这是因为若设AC ，BD 交于点P '，又设O 与CD 切于点J ，则有M ，P '，J 共线．考虑到MP B DP J ''∠=∠，以及180BMP DJP ''∠+∠=︒，
对△MBP '与△DJP '分别使用正弦定理，即得BP DP BM DJ ''=或BP BM BM
DP DJ DN '==
'．此即说明P 与P '重合．
同理，直线12H H ，23H H ，34H H 均过P 点，因此1H ，2H ，3H ，4H 必在一条直线上．
例4. 设圆内接△ABC 的垂心为H ，P 为圆周上任一点．求证：PH 被P 关于该三角形的西姆森线平分．
证明：如图，不妨设P 在弧BC 上，P 在直线AB ，BC 上的射影分别是M ，N ，MN 即为西姆森线．AL 是高，延长后交圆于点D ，PN 延长后交圆于点Q ，连PD ，QA ，CD ，BP ，则易知HCB BAD DCB ∠=∠=∠，得HL LD =．
又易知M ，N ，P ，B 共圆，因此ENP ABP AQP ∠=∠=∠，故MN ∥AQ ．又作HR ∥AQ ，于是由四边形AQPD 为等腰梯形，知四边形HRPD 也是等腰梯形，于是BC 垂直平分HD ，从而BC 垂直平分RP ．
由PN NR =及MNE ∥RH ，知MN 必将PH 平分．
B
例5. 锐角△ABC 中，AD ，BE ，CF 是高．求证：△AEF ，△BDF ，△CDE 的3条欧拉线共点，且此点在
△ABC 的九点圆上．
证明：先证一个引理：HC 中点C '为△CDE 外心，且垂心C H 在CO 直线上．如图（1），由90HDC HEC ∠==∠，有H ，D ，C ，E 在以CH 为直径的圆上，C '为圆心．
又90C H CA HCB B OCA ∠=∠=-∠=∠，故c H 在OC 上．引理得证． 下面回到原题．
由△CDE ∽△ABC 可知H ，C '，C H ，O 共圆，考虑△A B C '''，它的外接圆即为九点圆，只需证3条欧拉线交于它的外接圆上某一点即可．如图（2），设过A '的欧拉线交其于T ，则由引理同理知H ，A '，A H ，O 共圆，而A '为HA 中点，△A B C '''外心O '为HO 中点，
故A O ''∥AO ，
所以()()360360180180TB H B TA TA H A HB C HO A C ''''''''''∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-∠-∠-︒-∠ 2C HO A A O B HO A HO B '''''''''=∠-∠=∠-∠=∠．
故由引理知T 过B '的欧拉线上，同理T 在过C '的欧拉线上，原命题得证．
图（1）
图（2）
例6. 如图，设H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点．一个以H 为圆心的圆交直线
DE 于P ，Q ，交直线EF 于R ，S ，交直线FD 于T ，U ． 证明：CP CQ AR AS BT BU =====．
证明：设AL ，BM ，CN 为△ABC 的三条高，AL 交中位线EF 于K ，则K 为AL 的中点，且AK 垂直平分SR ，故AS AR =． 同理，BT BU =，CP CQ =． 下面证明AR BT CP ==．
设H 的半径为r ，则()22222222AR AK KR AK r HK r AH AK HK r AH HL =+=+-=+-=+⋅． 同理，22BT r BH HM =+⋅，22CP r CH HN =+⋅．
而AH HL BH HM CH HN ⋅=⋅=⋅，故AR BT CP ==．
例7. 设△ABC 是锐角三角形，且BC AC >，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作
OF 的垂线交边CA 于P ．证明：FHP BAC ∠=∠．
证明：延长CF 交O 于D ，连BD ，BH ，由性质6（1）知F 为HD 的中点．
设FP 所在直线交O 于M ，N ，交BD 于T 点．由OF MN ⊥，知F 为MN 的中点．由蝴蝶定理知F 为PT 的中点．又因F 为HD 的中点，故HP ∥TD ，于是FHP BDC BAC ∠=∠=∠．
例8. 设ABC 是一个三角形，一个过B ，C 两点的圆分别与边AB ，AC 相交于C '，B '．
证明：BB '，CC '，HH '三线共点，其中H 与H '分别为△ABC 与△AB C ''的垂心．
证明：由AB C ABC ''∠=∠，知△AB C ''∽△ABC ．同样，△H B C '''∽△HBC ．设BB '与CC '相交于P ，由BB C CC B ''∠=∠，知PBH PCH ∠=∠（等角的余角相等）．①
由PB C PCB ''∠=∠，知△PB C ''∽△PCB ．作平行四边形PBDC ，则△DBC ≌△PCB ．因而，△
S
N
DBC ∽△PB C ''，由此可知四边形BHCD ∽四边形B H C P '''． 于是，△BHD ∽△B H P ''．因而，HDB H PB ''∠=∠．② 作平行四边形HPCE ，则PCH CHE ∠=∠．③
注意到平行四边形BHED ，则DHE HDB ∠=∠．④ 从而△BPH ≌△DCE ，有CDE PBH ∠=∠．⑤ 及BPH DCE ∠=∠．⑥
利用⑤，①与③，可知CDE CHE ∠=∠，从而知H ，C ，E ，D 四点共圆，即有DCE DHE ∠=∠．⑦ 再由⑥，⑦，④与②，知BPH H PB ''∠=∠．因此，H H ''也通过P 点，故BB '，CC '，HH '三线共点．
注：上述证明中，也可将△PHB 平移至△CED 处，再证△B H P ''∽△CHD ．
例9. 在锐角△ABC 中，以三边为直径分别在三角形外作三个半圆．O 为△ABC 内一点，AO ，BO ，CO
的延长线分别交所对半圆于1A ，1B ，1C ．若ACO ABO ∠=∠，BCO BAO ∠=∠，CAO CBO ∠=∠，求证：11AB AC =，11BA BC =，11CA CB =．
证明：令1ACO ∠=∠，2ABO ∠=∠，3CAO ∠=∠，4CBO ∠=∠，5BCO ∠=∠，6BAO ∠=∠．由于12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，则13524690∠+∠+∠=∠+∠+∠=，即1AA BC ⊥． 故O 为△ABC 的垂心．设1BB 交AC 于E ，1C C 交AB 于F ，从而B ，F ，E ，C 四点共圆，有AF AB AE AC ⋅=⋅．
在Rt △1AC B 中，21AC AF AB =⋅；在Rt △1AB C 中，21AB AE AC =⋅，从而11AC AB =． 同理，11BA BC =，11CA CB =．
A
D
例10. 自O 外一点P 引O 的两条切线P A ，PB ，其切点为A ，B ．在劣弧AB 上任取一点C ，经过点C
作O 的切线，分别交P A ，PB 于点D ，E ．又AB 与OD ，OE 分别相交于G ，F ，DF 与EG 相交于H ．求证：O ，H ，G 三点共线．
证明：如图，连OA ，OB ，OC ，有OA AP ⊥，OB BP ⊥，
OC DE ⊥，90OAP OBP OCD OCE ∠=∠=∠=∠=．
又PA PB =，DA DC =，EB EC =，则PAB PBA ∠=∠，AOD COD ∠=∠，BOE OCE ∠=∠．于是
()11802PAB PBA P ∠=∠=
︒-∠，()111
90222
DOE AOC BOC AOB P ∠=∠+∠=∠=-∠， 故PAB DOE PBA ∠=∠=∠，即DAF DOF EBG EOG ∠=∠=∠=∠，所以O ，A ，D ，F 及O ，B ，E ，G 均四点共线，有90DFE OAP OBP EGD ∠=∠=∠=∠=，故DF OE ⊥，EG OD ⊥．又DF 与EG
相交于H ，因而点H 是△DOE 的垂心，有OH DE ⊥．又DE 切O 于C ，则OC DE ⊥．故OC ，OH 重合，所以O ，H ，C 三点共线．
1
P。