计算的z变换解

(1) 级数求和
例1.试求单位阶跃函数的z变换 解: 1(z) 1(nT)z-n 而1(nT ) 1
n 0
1 z -1 z 2 z n 若 z 1, 则1( z ) 1 1 z 1 z z 1
例2.试求取衰减的指数函数e-at(a>0)的z变换。 解:
(2) 部分分式法
e ( t )的拉氏变换E ( s ), Ai E (s) ss i i 1 N (s) M (s) si t si t 1 Ai 而L [ s s ] Ai e , Z [ Ae ] i Ai z E( z) i 1 z e siT Ai z siT ze
二.z变换的基本定理
(1)线性定理
Z[ae( t)] aE(z)
Z[e 1 (t) e 2 (t)] E1 (z) E 2 (z) n 证明 : 由 E(z) e(nT) z 有 n 0 n n Z[a e(t)] ae(nT) z a e(nT) z aE(z) n 0 n 0 n Z[e 1 (t) e 2 (t)] {e1 (nT) e 2 (nT)] z } n 0 n n e1 (nT) z e 2 (nT) z n 0 n 0 E1 (z) E 2 (z)
例4: 计算 sin ωt
解： 由 欧 拉 公 式 sinωt
有 1 e
的z变换。
jωt e 2j jωt
jωT jωT z z z -e e Z[sinωt ] [ ] j ω T j ω T 2j z-e 2 j (z - e jωT )( z - e jωT ) z-e e z 2 z 2 e jωT e 2j jωt e 2 jωt z 1 jωT zsinωT 2 z 2 cos ωT z 1
(3)留数计算法
已知e(t) E(s), 及全部极点s i (i 1, 2, , n ), 则 n n z E(z) res[E(si ) ] Ri z e siT i 1 i 1 当E ( s )具有一阶极点时 s s i时, R i为留数 R i lim (s - s i )[E(s) zsT ] s si z -e 当E ( s )有n重极点时 n-1 n d 1 z ] R (n-1)! lim [(s s ) E(s) i s si ds n-1 z -esT
例6:.试求e(t)=t 的z变换。 1 E ( s ) L { e ( t )} 解: s2
s i 0, n 2 Tz d 2 1 -zesT .T 1 z E(z) (2 -1)! lim ds [s 2 ] lim sT sT 2 2 z e s s 0 s 0 (z -e ) ( z 1)
例5.试求取E(s)=k/s2(s+a)的z变换。
解：
s1 0, n 2; s 2 -a, n 1 E(z) R 1 R 2 2 d k 1 z R 1 ( 2 1)! [ ds ( s 0 ) ] s 2 ( s a ) z e sT s 0 2 k z ( aT 1) z 2 a ( z 1) 2 k z R 2 lim ( s a ) 2 s ( s a ) z e aT s a k z 2 a z e aT 2 k z ( aT 1) z k z E ( z ) R1 R 2 2 a ( z 1) 2 a 2 z e aT -aT kz[(aT - 1 e ) z (1 2 2 a ( z 1) ( z e e -aT aT aTe ) -aT )]
§8-3
Z变换
一. Z变换(Z-transforms)
* e (t) e(nT) (t - nT) n 0 * -nTs 拉氏变换 : E (s) e(nT)e n 0 Ts -n 引入变量 z e , 则 E(z) e(nT)z n 0 * * E(z)即为脉冲序列e (t )的z变换, 记为E ( z ) Z [e (t )] * -n Z [e(t )] Z [e (t )] E z e(nT)z n 0 -n 由 E(z) e(nT)z , 展开有 n 0 1 2 n E(z) e(0) e(T) z e( 2T ) z e( nT ) z (1) 可求得z变换.
Z [e at ]
n 0 -aT 1 anT n e z
1 e
z
e 2 aT z 2 e nT z n
若 e aT z 1 1 即 e aT z 1, 则Z [e
aT
]
1 1 e
aT
z
1

z z e aT
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例3.求
E (s)
1 s ( s a )2
的z变换。
解:
a3 a1 a2 1 E (s) s sa 2 2 s( sa) ( sa) 1 a2 s 1 a (s a) 2 1 a2 sa
1 z 1 TzeaT 1 z E(z) 2 z 1 a a ( z e aT ) 2 a 2 zeaT Z[(1 - e aT aT aT aT aTe )z e ( aT 1 e )] 2 aT 2 a ( z 1)( z e )