高等数学学习中几种泰勒级数

浅谈高等数学学习中几种泰勒级数

【关键词】高等数学；泰勒级数；应用

在高等数学中，我们学习级数的时候会学习到泰勒级数，它是一种非常有用的工具。在某些方面如果能够利用泰勒级数，可以取得意想不到的好处。在泰勒级数的发展过程中，最初的希腊哲学家芝诺得出了不能利用无穷级数求和来得到有限结果的结论，后来德谟克利特利用阿基米德的穷举法推翻了芝诺的结论，证明了无穷级数之和可以得到有限结果。14世纪，数学家们就找到了比如正弦、余弦之类的特殊泰勒级数。苏格兰科学家麦克劳林在研究中发现了一些泰勒函数的特例，比如函数在自变量为零时求得的泰勒级数，该级数也就被命名为麦克劳林级数。17世纪，布鲁克泰勒终于找到了一个方法，该方法对所有的函数都能够使用，进行函数的级数展开，这就是我们现在熟知的泰勒级数。本文将先介绍高等数学中的几种泰勒级数，再探讨泰勒级数的重要应用。

一、泰勒级数概述

简而言之，泰勒级数就是用无数项相加来表示一个具体的函数，而这些相加项得来是通过计算该函数在某一点的导数。在高等数学中的准确定义如下：假设函数f（x）在x=x0某一领域内的任意阶导数都存在，则以下幂级数：

麦克劳林级数是泰勒级数的一种特例，它是在泰勒级数中对自变量的取值为0得到的。函数f（x）的麦克劳林级数在点的某个领域内的收敛性跟具体收敛于函数f（x）处并不是相一致的。也就是说，

即使函数f（x）在某处的各阶导数都存在，相应的麦克劳林级数也能够计算出来，但是该级数是否收敛，收敛最终是不是在函数f（x）处都是不确定的，需要采用其它进一步的方法进行验证。

将函数进行泰勒级数展开具有很多种方法，主要可以分为直接展开法和间接展开法两大类。在直接展开法中，首先要求出函数的各阶导数，然后将自变量的取值代入到各阶导数中去，接下来就可以按照泰勒级数的定义式直接写出泰勒级数，最后还要考虑余项在x0的某一领域内的极限是否为零。直接展开法具有结果准确的优点，但也存在展开的过程复杂的缺点，而间接展开法就克服了直接法的缺点，简化了整个展开过程，取得了更广泛的应用。目前常见的间接展开法有代换法、逐项微分法以及待定系数法等。

有些函数存在一些奇点，所以不能展开为泰勒级数。但是如果变量的指数幂小于0的话，该函数能够展开为洛郎级数。

二、泰勒级数应用

泰勒级数在数学的很多方面都有重要的作用，可以解决现实生活中的一些问题，下面将探讨分析泰勒级数的一些重要应用。

泰勒级数在解决非线性数学问题时具有重要作用。在我们的日常生活中，很多的实际问题都不是线性的，都是非线性的，比如桥梁的振动、车辆的振动等。这些非线性问题的求解，在数学发展过程中一直是一个难题。传统的解决方法都是以牛顿法为基础的，但是这些传统方法求解过程比较复杂，对过程参数的控制要求也比较严格，通常需要进行多次的计算才能够得出最佳的结果。而利用泰勒

级数进行非线性问题的求解具有很大的优势。泰勒级数求解的基本思想如下：首先，在已知值处将非线性函数展开成泰勒级数；然后，将展开的泰勒级数中的二次以上的项进行删除，只保留一次项，从而使非线性问题线性化；最后，对最后的求解精度进行检验，如果精度不够的话，可以在泰勒级数中保留二阶多项式进行求解，以提高求解精度。

泰勒级数可以用来进行极限的计算。一般对分式项进行极限求值时，可以利用洛必达法则进行求解，但是当分子分母极限都为零时，洛必达法则便无能为力。此时可以根据泰勒级数进行极限求解。在具体的计算过程中需要观察分子和分母的各项是几阶可微的，再将各项进行泰勒级数展开，并将高阶部分略去，然后进行重新计算求值。

泰勒级数是求解非线性的常微分方程的一个重要工具。我们知道常微分方程的求解过程是比较困难的，而利用泰勒级数可以取得不错的效果。在求解的过程中，非常关键的一步是要把方程的右端项和未知数都看成一个参考变量t的函数，然后把把它们展开成泰勒级数，从而可以把求解问题转化为寻求未知数的泰勒系数。只要方程所对应的问题具有一定的连续性，相应的泰勒级数就有合适的收敛区间，也就能够确定未知数的泰勒级数，从而求出方程的解。

此外，泰勒级数还能证明级数以及广义积分的收敛性，能确定一些无穷小量的阶数，还能够证明中值定理以及一些复杂的不等式。

三、结语

目前，泰勒级数是高等数学中的一种重要应用工具。本文先对泰勒级数的发展历史、基本概念以及常见的几种泰勒级数、展开方式等进行了简单的介绍，再重点探讨了泰勒级数在各个方面的重要应用。我们在高等数学学习的过程中，应当积极学习泰勒级数，并针对生活中的实际问题运用泰勒级数知识进行求解，学为所用才是最佳的学习。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[m].5版.北京：高等教育出版社，2002

[2]田华.巧用泰勒级数展开式求解一类概率问题[j].高等数学研究，2007