高一数学(正弦定理练习)含答案

b
a sin B
3
6 3
3 2．
sin A
3
3
6． 3
(2)由 B A 得, 2
cos B cos(A ) sin A 2
3， 3
由 A B C ，得 C (A B) ．
6 ，B A ．
解析：由已知得 sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝ 2cR，
所以2aR2－2bR2＝2cR2，
即 a2－b2＝c2，故 b2＋c2＝a2．所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形 7．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．
12．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 a 3, cos A
(1)求 b 的值； (2)求 ABC 的面积． 解：(1)在 ABC 中，
由题意知 sin A 1 cos2 A
3， 3
又因为 B A ， 2
所以 sin B sin(A ) cos A 2
由正弦定理可得
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR． ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2aR2＝2bR2＋2cR2，
即 a2＝b2＋c2， 故 A＝90°． ∴C＝90°－B，cos C＝sin B． ∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1．
∴sin B＝ 22． ∴B＝45°或 B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．
(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选 B 由题意有sina A＝b＝sinb B，则 sin B＝1，
即角 B 为直角，故△ABC 是直角三角形．
3．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c c，且 a 3bsin A ，则 sin B ( B )
10．在 ABC 中， a,b, c 分别是角 A, B,C 所对应的边，且 b 6, a 2 3, A 30 ，求 ac
的值．
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 sin B＝ 23．由条件 b＝6，a＝2 3，知 b>a， 所以 B>A．所以 B＝60°或 120°． (1)当 B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°． 在 Rt△ABC 中，C＝90°，a＝2 3，b＝6，则 c＝4 3， 所以 ac＝2 3×4 3＝24．
8．在锐角 ABC 中， BC 1, B 2A ，则 AC 的取值范围为
．
[30 , 60 ] 解: 由正弦定理得 AC BC ，∴ AC 1， AC 2cos A ，由锐角 sin 2A sin A 2 cos A
ABC 得 0 2A 90 ，∴ 0 A 45 ，又 0 180 3A 90 ，∴ 30 A 60 ，
A． 3
B． 3 3
C． 6 3
D． 6 3
解析：选 B 由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以 sin A＝ 3sin Bsin A，故 sin
B＝ 33．
4．已知 a,b, c 分别是 ABC 的内角 A, B,C 的对边，若 ABC 的周长为 4( 2 1)，且
sinB sinC 2 sinA，则 a ( )
(2)当 B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， 所以 A＝C，则有 a＝c＝2 3． 所以 ac＝2 3×2 3＝12．
11．在 ABC 中， sin2 A sin2 B sin2 C ，且 sin A 2sin B cos C ．试判断 ABC 的形
状． 解：由正弦定理，得
A． 2
B． 2
C． 4 D． 2 2
解析：选 C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝ 2sin A 可化为 b＋c＝ 2a，
∵△ABC 的周长为 4( 2＋1)，
∴a＋b＋c＝
2＋ ， 解得 a＝4．故选 C．
b＋c＝ 2a，
5．已知一个三角形的两个内角分别是 45 , 60 ，它们所夹边的长是1，则最小边长为 ．
解：设△ABC 中，A＝45°，B＝60°， 则 C＝180°－(A＋B)＝75°． 因为 C>B>A，所以最小边为 a． 又因为 c＝1，由正弦定理得， a＝cssiinnCA＝1×sisnin754°5°＝ 3－1， 所以最小边长为 3－1．
6．在 ABC 中，若 (sin A sinB )(sinA sinB ) sin2 C ，则 ABC 的形状是________．
① a 8,b 16, A 30 ，有两解； ② b 18, c 20, B 60 b＝18，有一解； ③ a 15,b 2, A 90 ，无解； ④ a 40,b 30, A 120 ，有一解．
解析：①中 a＝bsin A，有一解；②中 csin B<b<c，有两解； ③中 A＝90°且 a>b，有一解；④中 a>b 且 A＝120°，有一解．综上，④正确． 答案：④
1.1.1 正 弦 定 理
班级：
姓名：
1．在 ABC 中， a 3,b 5 ， sin A 1 ，则 sin B 3
(B)
A． 1 5
B． 5 9
C． 5 3
D．1
1 解析：选 B 在△ABC 中，由正弦定理sina A＝sinb B，得 sin B＝bsian A＝5×33＝59．
2．在 ABC 中， a bsin A ，则 ABC 一定是
Baidu Nhomakorabea
∴ 30 A 45 ，则 2 cos A 3 ，故 AC 2cos A( 2, 3) ．
2
2
9．已知方程 x2 (b cos A)x a cos B 0 的两根之积等于两根之和，且 a,b 为 ABC 角 A, B
所对的两边，则 ABC 的形状为________．
解析：设方程两根分别为 x1，x2， 由已知，得 x1＋x2＝bcos A， x1x2＝acos B，则 bcos A＝acos B． 由正弦定理，得 sin Bcos A＝sin Acos B， 即 sin(A－B)＝0． 因为 A，B∈(0，π)，所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形