电磁学专题复习一及习题参考解答

导体球壳b：内表面带电：−qa ，外表面：qb

导体球c只能看到导体球壳b的外表面，导体球壳b的电势
qa + qc = Q (1)
同时导体球壳c的电势（当r很大时，球壳b看成点电荷） φc =
qb qc qb qc + =0 → + = 0 (2) 4πϵ0 b 4πϵ0 r b r qb qc qc + ≈ 4πϵ0 r 4πϵ0 c 4πϵ0 c
（课堂给图） ，外场对偶极子做功 沿外场反方向移动了dr ⃗− ，
�⃗中，设想在外场的作用下，使得正电荷+q沿外场方向移动了dr 如果偶极矩为p �⃗的电偶极子处于外电场E ⃗+，负电荷−q �⃗ � ⃗ L L �⃗+ ∙ dr �⃗− ∙ dr �⃗ ∙ (dr �⃗ ∙ � + dr �⃗ ∙ dL �⃗ = E �⃗ ∙ dp �⃗� dW = F ⃗+ + F ⃗− = qE ⃗+ + dr ⃗− ) = qE ⃗+ − + dr ⃗− � = qE �⃗ = d�p �⃗ ∙ E 2 2 ⃗� → U = −p ⃗ dU = −dW → dU = −dW = −d�p �⃗ ∙ � E �⃗ ∙ � E F= q2 2ϵ0 A
��⃗，� ��⃗的方向亦即转轴的方向必定垂直于p ⃗构成的平面。我们设想在这力 们记电场作用于电偶极子的力矩矢量为� M M �⃗和� E 矩作用下，θ有微小改变dθ，从而使电偶极子的势能W减小，即 Mdθ = −dW → M = − dW = −pE sin θ dθ
实际上，转动是朝着θ减小的方向

与重力平衡
0
6.
⃗中的静电能为 （费曼物理学讲义习题集第 105 页 8-4 和 8-5 题）证明偶极矩为p �⃗的偶极子，放在电场� E �⃗作用在偶极矩上的转矩。 并计算电场E 提示： �⃗ U = −p �⃗ ∙ E
9 2 2 2 2Rρg 2 πR ϵ0 E0 = π R 3 ρ g → E0 = � 4 3 3 3ϵ0
5.
一个质量密度为ρ、半径为R的导体半球平放在导体平板上（使球面朝上） ，试求E0 至少应多大，才能将这半球从导体平 板上拉起来。
（国际物理奥赛的培训与选拔热学部分 3.16 题）在一很大的水平接地导体平板上方存在竖直方向的均匀电场E0 ，现将
提示：关键点—镜像法和均匀极化强度 镜像法：等效于均匀外场中的导体球问题，导体球均匀“极化” ，即有球表面电荷密度分布 ⃗ = P cos θ σ(θ) = n �⃗ ∙ � P �⃗ ′ = − E 1 �⃗ P 3ϵ0
提示：空间电荷密度堆积及边界处理 在平行于板面方向取板间x → x + dx立方区域（底面面积为S）应用高斯定理（设期间的电荷密度为ρ(x)，电场方向 −E(x + dx)S + E(x)S = ρ(x)Sdx dE(x) → ρ(x) = −ε0 ε0 dx
沿与x轴反向，与电子流方向相反）

dr dt
于是

�金 运动离子围绕导线形成的圆柱形薄层，这个薄层在t时刻位于上面计算的r处。下面计算电势：设t时刻导线带电Q
dr V0 1 2V0 w 2V0 w 2 =w → r = � r0 + t = r0 � 1 + 2 t dt ln(R⁄r0 ) r ln(R⁄r0 ) r0 ln(R⁄r0 )
综合题型 8.
WO = qUO =
以后正负离子层之间将沿着该方向来回振动，求振动频率。
数密度都是n，每个离子的质量分别为m+ 和m− 。由于扰动，正负离子层之间沿着与平面垂直的方向发生微小的位移，
（国际物理奥赛的培训与选拔热学部分 3.07 题） 相距为L的两个大平面之间充满着等离子体， 正负离子的带电量都是e，
���⃗ = p �⃗ M �⃗ × E
用来减少偶极子在外场中的静电能
证明平行板电容器极板的相互作用力为
使极板间距由x增至（x + dx）需做功多大？ 提示：用电场方式定义静电场的能量
静电能定域在电场所在的空间里，而不是发生在电荷分布处。于是我们不用电荷而是用电荷产生的场来描述能量更 为本质。能够证明： U= ϵ0 ⃗∙� ⃗dτ �� E E 2 V q ⃗ i ϵ0 A

考虑平行电容器极板之间的空间静电能，期间的电场强度 �⃗ = E
于是静电能 U=
让极板间距由x增至x + dx，这时极板间的静电能增加了
ϵ0 d q 2 q2 � � � Adx = d 2 0 ϵ0 A 2ϵ0 A dU = q2 dx 2ϵ0 A
平行板电容器极板的相互作用力为
7.
若球壳上没有净电荷，将一电荷q自无穷远处通过小孔送到坐标原点需做功多少？又若球壳已带电为q2 ，则做功多少？ 提示：求电势 球壳不带电： 1) 当电荷q放在球心处时，金属球壳内壁带电−q，外壁带电q，外壁电势（以无穷远处电势为零） U外壁 = U内壁 = q 4πϵ0 b

⃗，� ⃗由负电荷指向正电荷，即此时偶极子定义 设空间两电荷+q和−q相距� L L �⃗中，它将与外电场E �⃗发生相互作用而具有一定的势能。形成过程：将一个正电 当偶极矩为p �⃗的电偶极子处于外电场E ⃗的位置，两个电荷在外场中的势能分别是 荷+q和一个负电荷−q分别独自从无穷远处移到场内相距为� L 形成的偶极子p �⃗的势能为 W+ = qU+ ，W− = −qU− �⃗ → dp �⃗ p �⃗ = qL �⃗ = qdL
提示：经典等离子振荡效应，参见近代物理专题中的等离子体振荡内容 9. （国际物理奥赛的培训与选拔热学部分 3.19 题）在半径为R的接地金属圆柱面轴上放有半径为r0 的细长导线，导线处于 设想在导线表面有N个电子从原子上电离出去，形成N个离子，它们将在电场的作用下，开始离开导线运动，假定离子 迁移率（离子速度除以电场）为常量w，且运动离子围绕导线形成的圆柱形薄层。 1) 造成的电场电场改变） 。 2) 求离子的径向位置r作为时间t（从离子在导线表面形成的时刻开始计算）的函数（本小题计算时忽略雪崩和离子 如果电势V0 保持不变，当离子沿径向漂移时，一定有电荷Q流向导线，已知全部离子电荷为Q i ，计算电荷Q作为时
（费曼物理学讲义习题集第 105 页 8-7 题） 一金属球壳， 内外半径分别为a和b， 其中心位于坐标原点， 在壳上开一小孔，
� ⃗=− F
dU q2 ⃗ i=− ⃗ i dx 2ϵ0 A
2)
带电内壁−q相对于中心的电势差
3)
电荷q在球心的静电能
UO − U内壁 =
q q q → UO = + 4πϵ0 a 4πϵ0 a 4πϵ0 b q2 1 1 � + � 4πϵ0 a b

导体球壳a只能看到导体球壳b的内表面，导体球壳a的电势 φa = 0 +

导体球壳a和导体球c等势
qa qa qa 1 1 − = � − � 4πϵ0 a 4πϵ0 b 4πϵ0 a b qc 1 1 ≈ qa � − � (3) c a b
φa = φc →

联立(1)(2)(3)得

1 1 c� − �Q Q b a b ，qb ≈ − qc ，qc = 1 1 1 1 r 1 + c� − � 1 + c� − � a b a b 当r很大时，球壳b和球c均可看成点电荷，作用于导体球的作用力为 qa ≈ F≈ qb qc bq2 c ≈− 4πϵ0 r 2 4πϵ0 r 3
电磁学专题复习（一）及习题参考解答
静电场及稳定电流部分（5 月 15 日）
基本知识点 库仑定律：电场、电力线、电势 高斯定律：电荷堆积 金属中的静电屏蔽：静电感应、镜像法 稳恒电流：欧姆定律 电极化：电偶极子、铁电体 静电能：保守势场
基础题型 1. （国际物理奥赛的培训与选拔静电场部分 3.04 题）均匀带电q，半径为a的圆环与均匀带电−q、半径为b的圆环同心、 的电场强度的r分量Er 和θ分量Eθ ，精确到a2 ⁄r 2 量级。
电势：沿电场方向的电场梯度

在发射端应用高斯定理
−
dφ(x) 4 4 = E(x) = Kx1/3 → E发 = 0，E收 = − Kd1/3 dx 3 3 E发 S − 0 = σ发 S ε0 → σ发 = ε0 E发 = 0
在接收端应用高斯定理
4.
小洞，从此洞穿出一绝缘导线把内球与一半径为c的第三个导体相连，该导体与电容器的距离r很大，将电容器的外球壳 接地，而让两相连导体带电荷Q，求作用在第三个导体上的静电力的近似表达式。
板的直径小得多，电动势为U的电源的负极与第 1 块板相连并接地，正极依次与第N块板，第N − 1块板，⋯，第k块板， 第k块板与第1块板所带电量绝对值之比：|qk |⁄|q1 |；
（国际物理奥赛的培训与选拔静电场部分 3.13 题）N块不带电导体圆板共轴等距离平行放置，并依次编号，彼此间距比
提示：关键点—电容串联分析 详细解答见国际物理奥赛的培训与选拔 3. （费曼物理学讲义习题集第 101 页 5-5 题）在某一电子管中，由一热金属平面发射电子，并为另一平行于发射极相距为 d的平面金属板所收集（d小于版面的线度大小） 。两板间某处的电势φ = Kx 4/3 来决定，式中x是该处到发射极的距离 1) 2) 发射极上面电荷密度σ多大？收集极上又如何？ 在0 < ������������ < ������������ 的区域，电荷的体密度ρ(x)为多大？
（国际物理奥赛的培训与选拔热学部分 3.15 题）一电容器由半径各为a，b（a < ������������）的两薄导体球壳组成，外球壳有一
0 − E收 S =
σ收 S ε0
4 → σ收 = −ε0 E收 = ε0 Kd1/3 3
提示：关键点—电力线分析 球壳a、b、c带电量分析
导体球壳a：内表面带电：0，外表面：qa 导体球c：qc 依题意可知
正的高电压V0 ，这就构成了一个圆柱形计数器。电离辐射一出现，就会在导线表面附近（那里电场很强）触发“雪崩” 。
间t的函数。
提示：无限长圆柱体电荷分布的圆柱体外电场和电势 离子迁移率（离子速度除以电场）为常量w，则漂移运动速度 ud = wE =

本小题计算时忽略雪崩和离子造成的电场电场改变，根据高斯定理得电场强度 E= V0 1 ln(R⁄r0 ) r

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
球壳带电q2 ： 1)
WO = qUO =
当电荷q放在球心处时，金属球壳内壁带电−q，外壁带电q + q2 ，外壁电势（以无穷远处电势为零） U外壁 = U内壁 = q + q2 4πϵ0 b
2)
带电内壁−q相对于中心的电势差
3)
电荷q在球心的静电能
UO − U内壁 =
q q q + q2 → UO = + 4πϵ0 a 4πϵ0 a 4πϵ0 b q q q + q2 � + � 4πϵ0 a b
共面放置，P为远处一点，P与环心O的距离为r，与环的轴（取为z轴）成θ角，且a < ������������ ≪ ������������，求P点的电势Φ，并求P点
提示：关键点—通过电势求解，利用电场强度与电势的关系求电场强度相对简单些 �⃗ = −∇φ E
详细解答见国际物理奥赛的培训与选拔 2.
⋯，第3块板，第2块板相连。求： 1) 2) 第k块板的电势Uk

⃗ = −p ⃗ ∙ dl ⃗ W = W+ + W− = q(U+ − U− ) = −q � � E �⃗ ∙ � E
⃗ � L

电偶极子受到外电场的作用力为 �⃗ = −∇W = −∇�−p �⃗� = (p �⃗ F �⃗ ∙ E �⃗ ∙ ∇)E
可见，若外电场是均匀场，偶极子在外场中的作用力为零；如果外电场是非均匀场，外场力将把电偶极子拉向场强 较高的方向，静电吸尘及静电选矿，就是利用这个原理。 由于F+ 和F− 两者不共线，故必定会对电偶极子形成一个净力矩，并使电偶极子朝着θ = 0即外电场的方向转动。我

根据面电荷密度分布可求出极化电场（见去年暑期静电学理论应用）
要求球体内电场强度处处为零

带点导体表面单位面积受力沿电场方向的分量 F=�
π ⁄2
�⃗0 + E �⃗ ′ = 0 → P �⃗ = 3ϵ0 E �⃗0 → σ(θ) = 3ϵ0 E0 cos θ E σ2 (θ) 9 2 ∙ 2πR sin θRdθ ∙ cos θ = πR2 ϵ0 E0 2ϵ0 4