04 第四节 正态总体的置信区间

第四节 正态总体的置信区间

与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.

本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;

4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;

5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;

6. 双正态总体方差比的置信区间.

注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.

分布图示

★ 引言

★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间

★ 例1 ★ 例2

★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4

★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间

★ 例7 ★ 例8

★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4

内容要点

一、单正态总体均值的置信区间(1)

设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间

,,2/2/⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα

二、单正态总体均值的置信区间(2)

设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量

n S X T /μ-=,

从第五章第三节的定理知).1(~/--=

n t n

S X T μ

对给定的置信水平α-1, 由

αμαα-=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,

即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P

因此, 均值μ的α-1置信区间为

.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα

三、单正态总体方差的置信区间

上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.

设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差

2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,

)1(~122

2

--n S n χσ

, 对给定的置信水平α-1, 由

,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/22

2

/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n S

n P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ

而方差σ的α-1置信区间

.)1()1(,)1()1(2

2/1222/2

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ

四、双正态总体均值差的置信区间(1)

在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。

设X 是总体),(211σμN 的容量为1n 的样本均值, Y 是总体),(2

22σμN 的容量为2n 的样本

均值, 且两总体相互独立, 其中2

221,σσ已知.

因X 与Y 分别是1μ与2μ的无偏估计, 从第五章第三节的定理知

),1,0(~//)

()(2

2

2

12121N n n Y X σσμμ+---

对给定的置信水平α-1, 由

,1//)()(2/22

212121ασσμμα-=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧<+---u n n Y X P

可导出21μμ-的置信度为α-1的置信区间为

.,2221212

/2221212/⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+⋅+-+⋅--n n u Y X n n u Y X σσσσαα

五、双正态总体均值差的置信区间(2)

设X 是总体),(21σμN 的容量为1n 的样本均值, Y 是总体),(22σμN 的容量为2n 的样本

均值, 且两总体相互独立, 其中1μ,2μ及σ未知.从第五章第三节的定理知

).2(~/1/1)()(212

121-++---=

n n t n n S Y X T w μμ

其中.2

1212

2212212112

S n n n S n n n S w -+-+-+-=

对给定的置信水平α-1, 根据t 分布的对称性, 由

,1)}2(|{|212/αα-=-+

可导出21μμ-的α-1置信区间为

.11))2()(,11))2()(21212/21212/⎪⎪⎭

⎫+⋅-++- ⎝⎛+⋅-+--n n S n n t Y X n n S n n t Y X w w αα

六、双正态总体方差比的置信区间

设21S 是总体),(211σμN 的容量为1n 的样本方差, 22S 是总体),(2

22σμN 的容量为2n 的样本

方差, 且两总体相互独立, 其中222211,,,σμσμ未知. 21S 与22S 分别是21σ与22σ的无偏估计, 从第五章第三节的定理知

),1,1(~2122

212

12--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n F S S F σσ

对给定的置信水平α-1, 由

,1)}1,1()1,1({212/212/1ααα-=--<<---n n F F n n F P ,1)1,1(1)1,1(12221212/122212221212/ασσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--<<⋅---S S n n F S S n n F P 可导出方差比2

221/σσ的α-1置信区间为

.)1,1(1,)1,1(12221212/1222121

2/⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⋅--⋅---S S n n F S S n n F αα

例题选讲

单正态总体均值（方差已知）的置信区间

例1(E01) 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额80=x 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差12=σ元, 求该地旅游者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间.

解 对于给定的置信度 ,95.01=-α ,05.0=α ,025.02/=α

查标准正态分布表,96.1025.0=u 将数据,100=n ,80=x ,12=σ ,96.1025.0=u 代入n

u x σ

α⋅

±2/计算得μ的置信度为95%的置信区间为),4.82,6.77( 即在已知12=σ情形

下, 可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在77.6元至82.4元之间.

例2 设总体),,(~2σμN X 其中μ未知, .42=σ n X X ,,1 为其样本. (1) 当16=n 时, 试求置信度分别为0.9及0.95的μ的置信区间的长度. (2) n 多大方能使μ的90%置信区间的长度不超过1? (3) n 多大方能使μ的95%置信区间的长度不超过1? 解 (1) 记μ的置信区间长度为A, 则