2013-2014(2)线性代数B卷解答

课程：线性代数I 、II 考试形式：闭卷考试
3分，本大题满分15分） 且 |A| =4 ,则 |2A|= 32
二 P 3
1 —
I 2 4
丿 「2 0 0 =
<10 0" 3.已知 A = 2 2 0 ，且 |A>0，则 A =
1 1 0
1 14
2 1 丿 1
(2 1•已知矩阵A 的秩是，则元齐次线性方程组Ax = 0的解空间的维数等于 n -r
5•若2阶方阵A 满足方程A 2
-5A+6E =0，且A 的两个特征值不相等，则
|A|=
6
B 卷
院、系领导 审批并签名
广州大学2013-2014
学年第二学期考试卷解答
题次 一一一 -二二
四
五
、■
六 七 八 九 总分
评卷人
分数 15 15
8
10
10
10
12 12
8
100
得分
学院: 专业班级: 学号: 姓名:
二、选择题（每小题3分，本大题满分15分） 1.设为3维列向量，
（A ） 16 ； （B ） 2 5 3
1 （A ） 7; （B ）
2.二次多项式 -16 ； 11
X -5 8 —
且 1%,5,51 = 4,则 I 曲,25-3^202 1 = ( B ). (C) 24 ; (D) -24. 1,2, -7
1
6
-1
(C) 5 ; (D) -5. 中X 2
项的系数是（D ）. —、填空题（每小题 1.设A 为3阶方阵, <1 2、
2
•设 A
T 4）
则B T
A
(A) BCA = E ; (B) BAC = E; (C) CBA = E; (D) ACB = E .
4.矩阵方程AX =B有解的充分必
要条件是(C ).
(A) R(A)vR(A,B); (B)
(C)
R(A)=R(A,B); (D)
5.若向量组《1，|He m线性相关，
(A)
(C)
（本题满分10分）
解：令A1
1
<1
10
A12
A14
A
；
A
：
A
A8
2
1
0、
4
2>
2〕
1
丿，
,求 A8.
A2
2丫 1 1
人0
4 丫1
1人0
8丫 1 1
人0
4 丫2
2人1
2、2 …
广2 u
2L 1丿
4L 1丿
8L 1丿
4L 2丿
14
、2 ,2
4J,则
P 4】 10
1丿
〔1 8],
10 1丿
<1 16]
1丿，
16
8
2
_ 2
=(AT=(4 A)2=42A2=43A
=(Q2 =(43A2)2
=4 A ,
)
-3 *
「
1
=46A； = 47A2 , ---- 8
0、
216
215丿
16
1
215
214
10 分
R(B)cR(A,B);
R(B) = R(A,B). 且
k1%+H|+km%=0，则(D ).
k1,iii,k m全不为0;
前述情况都可能出现.
1 >
k1，川,k m 全为0; (B)
knHLk m不全为0; (D)
四.（本题满分8分）
四.（本题满分8分）
六、（本题满分10分）
计算行列式D =
解: c a +b +c a +b +C a +b +c a +b +c a +b +c
-b 0 -c =—abc(a +b +c). -- 8 五、（本题满分10分） （1
设 A =(%严2,(/3,(/4)=
1宀2严3, -3 12 8 -2
12 X
1） 求矩阵A 的行最简形和秩； 2） 求向量组a 1«2,0^3,口4的一个最大无关组，再把其余向量用该最大无关组线性 表示. 解：
1） A T 「
1 0 L 0 12
丿 「
1 -9 6 -4 L0 3
2
3 0 21 ii 0」
R （A ） =2 .——5 2）向量组«1^2^3^4的一个最大无关组为a*0 分 1^2 ^3 , 2 5 =3% - J ,
3 2
叫=2a 1 +-口2 o o
3
1严 2, 00000000000000000 7 分 0 0 0 10
分
七、（本题满分 12
(3 1 1 解：由AX =2X 0 3 1 1 0 0 3 1 0' 0 0 3>
,解矩阵方程AX =2X +A .
+ A ，得 (A-2 E )X = A ，
0 1 1 (1 1 A-2 E = 1 〔1 0 1 1 1 0
、
1丿
所以A-2E 可逆，于是X =(A-2E 尸A . 利用(A-2E , A )-J(E ,( A-2E )」A )求 X (A — 2E ,
A )= (1 0 0 0 『3
-2 0
.0 0
1 0
0 3 -2
勺 1 1 J 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 3 -2 0 0 1 1 3 -2 0 0 0、 0 0 . 3
丿
0 0 0 1 0 3
-2 0 3 1 1 1 0 3 1 1 0 0 3 -2 10 ,| A —2E 1=1, 0 0 3 1
0、 0
3> ---5 分
=(A-2 E )」A :
0、
0 0 3丿
八、（本题满分
12
[X ] -3x 2 + 2 X 3 -4 X 4 — 3
求方程组4 3x 4 — 2x 2中
X 3 -3x 4 ：= 4的通解. W +4x 2 -3x 3 +5x 4 =
「
1 3 -3 -
2 解：（A,b ） = L 1
「
1
T 0 -2 -3 3 4 -3 -2 —4 3 - -5 L 0 「
1
0 L ° -7 __5
-7 9
7
同解方程组为 1 1 X 1 -- X 3 —-X4
7 7 5 +9 X 2 ——X 3 +-X 4 .2
7 3
7 4
6
L 9
分
令 X 3 = k i , f
f '1 -
f
'6 -
7
7
7
5
9
5
=k1
7
+ k 2 ~ 7 + 7
1
[ 0. [ 1 ” [ 0 ”
得通解为
=k2, X 4 「X I
〕 X 2
X 3
L x -
，其中k 1,k 2为任意实数.------12 分
的特征值和特征向量.
9-A 2
2 6-Z
A 的特征值为人=5，打=10.------6
分
（1 、
当人=5时，解（A-5E ）x=0，得基础解系p ,=l 0 ，
2
」
对应于特征值打=5的全部特征向量为k , p, （ k^0）. ------ 9 分 /2 \
当=10时，解（A -10 E ）x=0，得基础解系 ^=>2 , V 丿
对应于特征值 薦=10的全部特征向量为k 2 P 2 （ k^0） ——12 分
九、（本题满分8分）
设n 是非齐次线性方程组Ax = b 的一个解，0,1 H ,0 J 是Ax = 0的一个基础解系. 证明n ,n +q ,|||,n+©工线性无关. 证明：设存在一组数X,X,,|||,X n_r ,使
x n +X 1（
5） + lil+ 人」（5_r ） = 0， （1）
+ |IKXn_r)n+ X1&+|||+Xn_r 紀=0， ⑵——2 分 A E = 0(i =1,川，n-r)，用矩阵A 左乘⑵ 的两边，得
(X + X 1 +|||+X n_r )b = 0，
因bH0,得
x + xi +HI+ 焉」=0,
(3)-——5
分
代入（2）得
X 1 S +111 +X n _r 51亠=0，
因基础解系5,川，紀 线性无关，所以X1=lil=Xn,=0，代入⑶得X = 0. 因此⑴只有零解，从而n 汕5,川，n 昭线性无关.------8 分
解
I A-A E 1=
=仏_5)仏-10)
(X +M
由题设A n =。