分类计数原理与分步计数原理ppt课件

解：由题意可知，艺术组9人中，只会钢琴的有6人，只会 小号的有2人，既会钢琴又会小号的有1人(可把该人称为多面 手)．因此，选出会钢琴与会小号的各1人可分两类：
第一类：不选多面手，分2步：第一步从只会钢琴的6人中 选1人，有6种选法；第二步从只会小号的2人中选1人，有2种选 法，因此，共有6×2=12(种).
解：不同的信号可分为三类：
第一类：升一面旗，又可分三类，有1+1+1=3种
第二类：升两面旗，可分两步，有3×3=9种
第三类：升三面旗，可分三步，有3×3×3=27种
故共有 3+9+27=39(种)
评注：先分类，再在每一类中分类或分步. 9
例6 如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色 使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同 的涂色方案有多少种？ （染色问题）
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例6 如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻 区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区
域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 根据乘法原理, 得到不同的涂色 方案种数共有: N = 3 × 2
晚班 乙
白班 乙
Βιβλιοθήκη Baidu晚班 丙
排甲
丙
丙
甲
法乙
甲
丙
乙
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例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字 的两位数共有多少个？
分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类， 在每一类中满足条件的两位数分别是：
1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据 加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).
内，共有
种不同的放法。
（3）四名学生分配到三个车间劳动
骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的
共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互相独
区别三 立的
各步之间是互相关联的 3
例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺 这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？
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分类计数与分步计数原理的区别和联系：
加法原理
乘法原理
联系
区别一
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完 成这件事情。它是独立
的、一次的、且每次得到 的是最后结果，只须一种 方法就可完成这件事。
思考:若有①4种或②5 种颜色可供选择,结果 分别如何？
×1×1 = 6 种.
提示:涂色种数分别是 : ①4×3×2×2 = 48种；
②5×4×3×3 = 180种；
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例7 (1)将3封信投入4个不同的信箱，
共有 43 种不同的投法。
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例7 （2）由4名学生争夺3个比赛 项目的冠军，冠军获得者共有多少种 可能？
1.1.2分类计数原理
与 分步计数原理(二)
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1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在
第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步
第二类：选多面手，分2步：第一步从多面手中选，有1种 选法；第二步从非多面手中选，有8种选法，因此，共有 1×8=8(种).
故共有12+8=20(种).
注：先分类，后分步.特殊元素优先考虑法. 8
例5 用红、黄、蓝不同颜色旗各3面，每次升一 面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以 组成多少种不同的信号？
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例2 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白 班和晚班，有多少种不同的选法？
解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成:第1步 是从甲、乙、丙3人中选1人上白班,有3种选法:第2步是 选1人上晚班,但这时只能从剩下的2人中选1人,有2种方 法,根据分步计数原理,不同的选法种数是：3×2=6.
具 白班 体甲
N 43
住店法: 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类 元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重 复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”, 再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”.
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变式：（1）3名学生走进有4个大门
的商店，共有
种不同的走法。
（2）3个不同的球放入4个不同的布袋
合要求，共 8 个
第二类：两位数中十位、个位都
不含8的数,有 9×8=72个. 第三类:三位数中符合要求
的数,共有 9×9+1=82 个.
则满足条件的总的自然数有:
N=8+9×8+9×9+1=162个.
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例4某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐 器，其中有7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与 会小号的各1人，有多少种不同的选法？
分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，在 每一类中满足条件的两位数分别是：
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (6个).
变式：从1到200的自然数中,各个 数位上都不含8的自然数有多少个？
分三类:第一类：一位数中除8以外的数符
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 54 种 .