向量空间的正交化

n
(1) 称非负实数
(α , α ) =
∑
i =1
n
ai
2
为向量
α
的长度， 的长度， 记为 α (2) 定义
R 中两向量 α , β 夹角的余弦为
n
cos θ =
(α , β )
α β
称长度为1的向量为单位向量， 称长度为1的向量为单位向量， 如果非零向量 长度不为1 长度不为1，则可取 α 0 =
中的一组标准正交基， 是 R 中的一组标准正交基，而
2
R 中的自然基
n
e1 = (1,0,⋯ ,0) , e2 = (0,1, ⋯,0) , ⋯, en = (0,0, ⋯ ,1)
也是标准正交基。 也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法 正交化方法
α1 , α 2 , ⋯ , α r
(r ≤ n) 是 R n 空间中的线性无关
定理1 定理1 若正交向量组
α1 , α 2 , ⋯, α r 中不含零向量，则 中不含零向量，
α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性无关。 线性无关。
证明： 对任意常数 ki , 设 证明：
∑k α
i =1 i
r
i
= 0，两边用 α j
作内积， 作内积，因为 (α i , α j ) = 0 , i ≠ j ，所以 r r 0 = (0, α j ) = ( ∑ kiα i , α j ) = ∑ ki (α i , α j ) = kj (αj ,αj ) 又因为 α j ≠ 0 , 所以 (α i , α j ) ≠ 0 ,
解：设 β = (x1 则
x2
x3
x4 )
T
与 α1 , α 2 , α 3 都正交
x1 + x2 − x3 + x4 = 0 x1 − x2 + x3 + x4 = 0 x + x + x + x = 0 1 2 3 4
对系数矩阵A作初等行变换 对系数矩阵 作初等行变换
1 1 − 1 1 A = 1 − 1 1 1 1 1 1 1
βi , i = 1,2, ⋯, n (βi , βi )
书例2 书例
四、 正交矩阵 定义 设A是n阶的实矩阵，若 AT A = I ，则称 阶的实矩阵， 是 阶的实矩阵 A是正交矩阵。 是正交矩阵。 是正交矩阵 正交矩阵的性质： 为正交阵 正交矩阵的性质： A为正交阵，则 若 为正交阵，
A−1 = AT 1） （ 1）
α , α
α
的
称 α 为与
0
α
同向的单位向量， 同向的单位向量， 从 α 到α 0 的过程也称为 向量的单位化。 向量的单位化。
设 α，β ∈ R n , 若有(α , β ) = 0 ，则称向量 定义3 定义3
α 与 β 正交。 零向量与任何向量都正交。 正交。 零向量与任何向量都正交。
例1
α1 = (1 1 − 1 1)T α 2 = (1 − 1 1 1)T 求与 α 3 = (1 1 1 1)T 都正交的单位向量。 都正交的单位向量。
第七章 向量空间的正交性
一 向量的内积 定义1 定义 对n 维向量空间 R n 中的向量
α = (a1 , a2 , ⋯, an )T , β = ( b1 , b 2 , ⋯ , b n ) T
定义 R n 中内积 ( α , β ) 为
( α , β ) = a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn = α T β
（2）线性性： (α1 + α 2 , β ) = (α1 , β ) + (α 2 , β ) ）线性性：
(kα , β ) = k (α , β )
n T
k为实数
（3）非负性：(α , α ) = α α = ∑ ai 2 ≥ 0 ）非负性：
i =1
当且仅当
α =0
时，等号成立
定义2 定义2
设 α ， β 是 R 中的向量
i =1
i =1
故 k j = 0 , j = 1,2, ⋯ , r
线性无关。 即向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性无关。
注： 空间
中一定存在n R 中一定存在 个非零向量组成的正交
n
向量组，它们是线性无关的，因此它们可以作为 向量组，它们是线性无关的，
R n 中的一组基，这种基称为正交基。 中的一组基，这种基称为正交基。
在空间 R 中，若一组基ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 满足标准正交
n
向量组的条件，即 向量组的条件，
1 i= j (εi , ε j ) = 0 i ≠ j
则称 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 为标准正交基。 为标准正交基。
ε 1 = (cos θ , − sin θ )T , ε 2 = (sin θ , cos θ )T 例如
所得向量组 β1 , β 2 , ⋯ , β r 是正交向量组。 是正交向量组。 当 r = n 时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基
α1 , α 2 , ⋯, α n 化为正交基 β 1 , β 2 , ⋯ , β n
然后单位化： 然后单位化：ε i = 则 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 即为标准正交基。 即为标准正交基。
1 1 −1 1 → 0 − 2 2 0 0 0 2 0
1 0 0 1 1 1 0 1 → 0 1 0 0 → 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
所以 β = (− t
0 0 t)
T
1 (1 0 0 − 1)T 为所求向量。 ± 为所求向量。 再单位化得 2
β1 = α1
(α 3 , β1 ) (α 3 , β 2 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
k −1
(α 2 , β1 ) β2 = α2 − β1 ( β1 , β1 )
(α k , β i ) βk = α k − ∑ β i , k = 2,3, ⋯, r i =1 ( β i , β i )
α1T T α 2 T A A = ⋅ (α1 , α 2 ,..., α n ) = I ⋯ α T n
1 即 (α , α j ) = 0
T i
i= j i≠ j
得证
书例3 书例
二 向量的正交性 设一个向量组 α1 , α 2 , ⋯ , α r ，若它们两两正交， 若它们两两正交， 称这个向量组为正交向量组。又若每一个向量 称这个向量组为正交向量组。 是单位向量，则称该向量组为标准正交组。 是单位向量，则称该向量组为标准正交组。 故一个向量组是标准正交组的充要条件是
1 (α i , α j ) = 0 i= j i≠ j
（2） | A |= ±1 ） （3） A − 1 也为正交阵 ） 为正交阵， （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵 ） ， 为正交阵 也为正交阵
定理2 定理
A为正交矩阵的充要条件是 的行（列）向 为正交矩阵的充要条件是A的行 为正交矩阵的充要条件是 的行（
量都是单位向量且两两正交。 量都是单位向量且两两正交。 证明：令 A = (α1 , α 2 ,..., α n ) ，则 证明：
r=n时 就是R 空间里的一组基） 向量组。 向量组。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基） 但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； 但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 时 这组向量组不定是（标准）正交基） 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 正交化方法，它是把线性无关向量组， 下述方法称为 正交化方法 转变为正交向量组的方法。 转变为正交向量组的方法。
注： n 中的内积是一个从 R n × R n 到实数集 的wk.baidu.com数， R 到实数集R的函数 的函数，
当 n = 3 时， (α , β ) = a1b1 + a2b2 + a3b3 = α T β
上述定义中给出的内积满足： 上述定义中给出的内积满足：
(α , β ) = α T β = β T α = ( β , α ) （1）交换性： ）交换性：