数学建模之随机性模型与模拟方法

在建立随机性模型时，首先要注意，将要处理的是 离散还是连续的随机变量。
1、离散随机变量
离散随机变量的理论模型是由概率函数 pxPXx
来刻画的。这个式子说明随机变量 X 取值 x 时的概
率。对于离散型的随机变量有下面三种重要的分布
a
6
（0－1）分布 设随机变量 X 只可能取0、1两
个值，它的分布规律是
量，它服从如下的二项分布
P x k n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 ,1 ,2 ,...,n
特别，当 n 1 时二项分布就是（0－1）分布。
a
8
（3）泊松分布 设随机变量 X 所有可能的取值
为 0,1, 2,..., 而取各个值的概率为
Px k ke , k0,1,2,...n,
S (A) p
S ( )
设一共投掷 n 次（n 是一个事先选好的相当大
的自然数），观察到针和直线相交的次数为 m 。
a
15
从上式我们看到，当比值 l / a 不变时， p 值始终
别进行登记，检查产品的质量是否合格等都可以
用（0－1）分布的随机变量来描述。
aFra Baidu bibliotek
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（2）二项分布 设实验E 只有两个可能的结果，
将 E 独立地重复地进行 n 次，则称这一串重复的
独立实验为 重贝努利实验。它是一重和重要的
数学模型，有着广泛的应用。若用 X 表示 n 重贝
努利实验中事件 A 发生的次数，X 是一个随机变
，且 f (
的概率可由
x)dx
x2 x1
1
f (x
)d
，随机变量落在区间 ( x1 , x 2 ] x 来给出，在连续型随机变
量中下述两种是重要的 。
a
10
(1)均匀分布 设连续型随机变量 X 具有概率密度
f (x) b1a, a x b
0,
其他
则称 X 在区间（a，b）上服从均匀分布。
P X k p k ( 1 p ) 1 k ,k 0 , 1 ( 0 p 1 )
则称 X 服从（0－1）分布。对于一个随机实验，如
果它的样本空间只包含两个元素，
即 S e1,e2 ，我们总能在 S 上定义一个服
从（0－1）分布的随机变量
0 XX(e)1
当ee1 当ee2
来描述这个随机实验的结果。例如，对新生儿的性
3
4
0.3
0.4
这个表给出了随机变量 X 的变化规律，频率告
诉某个特定的事件发生的频繁程度。如果我们需要
构造一个含有随机变量的模型，可以假设这个规律
总是成立的，模型的假设可以基于这几个数据之上。
实际操作时可以把频率分布当作概率函数来处理，
但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。
在处理一个简单的理论模型时，对概率函数
a
4
必须作出合适的选择。例如，假设在上述问题中的 随机变量取三个值时等于可能的，这样其概率函数 为
X
0
1
2
P x
1 3
1 3
1 3
这个例子说明在处理随机变量的模型时有以下两种
选择：
（1）使用一个理论模型。这在任何一本概率统计 的书上都可以找到一些标准的理论模型如二项分布 等。每一个都基于一定的假设之下成立的，所以在 选用时要特别注意其假设条件。
1面度7上为77画l年l有法 等0国 距科的离学针a家，a蒲随 丰0机 提地的出向一了有些下平平述行行著线线名的，问平取题面一：上根平掷长
去，求针与平行线相交的概率。
我后表们的示 用 中 针几 点 于何 平，x概 行表型线示来的中解交点决角M这，到一如最问图近题2一.1。8条所设平示M行为。线针那的落么距下基离，
（2）使用基于实际数据的频率表，并不去套用不 准理论模型。
a
5
使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在 处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一 好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂 性的增加，数学就变的太难。使用后者的好处在于 模型时基于观测到的数据而不是基于假设之上。增 加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数 理统计而得求助于模拟以及模型的统计结果。
随机性模型与模拟方法
a
1
随机变量 蒙特卡罗方法 随机数的生成 模拟
a
2
一、随机变量
何谓随机变量？随机变量是一个其值不可 预测的变量。虽然一个随机变量在个别试验 中其结果不确定，但在大量重复试验中其结 果是具有统计规律的。正是随机变量的这种 规律性使我们可以利用它来建模。例如我们 可以利用下述的数据：
时间t（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
变量X
1 02 2 1 2 0 1 0 2
得出一个模型。
a
3
X 是一个离散的随机变量并取值于 0，1和2。我们 不可能给出X 与 t 的确定的关系式，但是可以通 过数 X 的不同值出现次数来描述这随机型 的规律
列表如下：
X
0
频数
3
频率
0.3
1
2
k!
其中， 0 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松 分布。可以证明当 p 很小时，以n , p 为参数的二 项分布，当 n 时趋于以 为参数的泊松分布，
其中 n p
a
9
2、连续的随机变量
理论模型的连续型随机变量可以由概率密度函数
(pdf ) f (x) 来描述，对所有的 x 存在 f (x) 0
本时间区域
xa,|0xa 2,0 13
a
M
x
x
a
2
x l sin 2
o
图2.18
a
14
它为平面上的一个矩形，其面积为 S () a 。
2
为使针与平行线（与 最后的一条平行线）相
交，其充要条件是
A
0
x
a
2
0
相A 交的的面概积率为为S(A)012lsindl ，这样针与平行线
正态分布。
连续型随机变量的值如同离散的一样可以用频 率表给出，但不同的是离散的随机变量每个频率 对应于随机变量的一个值，而对于随机变量每一 个频率对应于随机变量的一个取值范围。
a
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二、蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法是计算模拟的基础，其名字来源于 世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗。其思想 来源于著名的蒲丰投针问题。
在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量 X ，具 有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任 意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落 在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间 的位置无关。
（2）正态分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为
f(x)
1
x2
e22 ,x
2
其中 , 0为常数，则称a X 服从参数为 , 的 11