高中数学【人教B版】三角恒等变换PPT课件分析1

探究点一 半角公式的推导
Hale Waihona Puke 思考 1 如何用 cos α 表示 sin α2、cos α2、tan α2？
答 ∵cos α＝cos2α2－sin2α2＝1－2sin2α2，
∴2sin2α2＝1－cos α，
∴sin2α2＝1－c2os
α ，
∴sin α2＝±
1－cos α 2；
明目标、知重点
∵cos α＝2cos2α2－1，
；
明目标、知重点
3sin x－cos x＝ 2sinx－π6＝－2cos(x＋π3) ；
sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3＝2cos(x－π6)
；
sin x－ 3cos x＝ 2sinx－π3＝－2cos(x＋π6)
.
明目标、知重点
思考2 请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程.
明目标、知重点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
明目标、知重点
明目标、知重点
思考2 由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化
和差公式，请你试一试写出这四个公式：
sin αcos β＝
；
cos αsin β＝
；
cos αcos β＝
；
sin αsin β＝
.
明目标、知重点
思考 3 在上述①～④这四个等式中，如果我们令 α＋β＝θ， θ＋φ θ－φ
α－β＝φ，则 α＝ 2 ，β＝ 2 ，由此可以得出四个相应的 和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：
第五章三角函数
§
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学
三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变 换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式 结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角 的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数 式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并
∴cos2α2＝1＋c2os
α ，∴cos
α2＝±
1＋cos α 2；
∵tan2α2＝csoins22α2α2＝11－ ＋cc22ooss
α 1－cos
＝ α 1＋cos
α ，
α
∴tan α2＝±
1－cos α .
1＋cos α
小结 以上各公式统称为半角公式(不要求记忆).
明目标、知重点
答
tan
α2＝1＋sicnoαs
＝－
11－ ＋－ －3535＝－2.
明目标、知重点
方法二 ∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－ 1－cos2θ＝－ 1－295＝－45， ∴tan 2θ＝1＋sincoθs θ＝1＋－－45 35＝－2.
明目标、知重点
例2 已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解 f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝ 2sin2x－π4. 因此，函数f(x)的最小正周期为π.
答 asin x＋bcos x
＝
a2＋b2
a sin x＋ a2＋b2
b
cos x
a2＋b2
＝ a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝ a2＋b2sin(x＋φ)
(其中 sin φ＝ b ，cos φ＝ a ).
a2＋b2
a2＋b2
明目标、知重点
例1
已知 cos α＝13，α 为第四象限角，求 sin
还要注意运用公式 tan
2θ＝1＋sincoθs
1－cos
＝ θ
sin θ
θ 来求值.
明目标、知重点
跟踪训练 1 已知 cos θ＝－35，且 180°<θ<270°，求 tan 2θ的值. 解 方法一 ∵180°<θ<270°， ∴90°<2θ<135°，∴tan 2θ<0，
∴tan 2θ＝－
1－cos θ 1＋cos θ
明目标、知重点
θ＋φ θ－φ
sin θ＋sin φ＝ 2sin 2 cos 2
；
θ＋φ θ－φ
sin θ－sin φ＝ 2cos 2 sin 2
；
θ＋φ θ－φ
2cos cos θ＋cos φ＝
2 cos
2
；
θ＋φ θ－φ cos θ－cos φ＝ －2sin 2 sin 2 .
明目标、知重点
探究点三 辅助角公式
明目标、知重点
11－＋1313＝±
2 2.
sinα2＝ 33，cosα2＝－ 36，tanα2＝－ 22；
当α2为第四象限角时，
sinα2＝－
33，cosα2＝
36，tanα2＝－
2 2.
明目标、知重点
反思与感悟 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，
不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2θ，
明目标、知重点
思考 1 将下列各式化成 Asin(ωx＋φ)和 Acos(ωx－θ)的形式，
其中 A>0，ω>0，|φ|<π2，|θ|<π2.
sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4＝ 2cos(x－π4)
；
sin x－cos x＝ 2sinx－π4＝－ 2cos(x＋π4)
；
3sin x＋cos x＝ 2sinx＋π6＝2cos(x－π3)
α2、cos
α2、tan
α 2
的值. 解 sin α2＝±
1－cos α 2 ＝±
1－2 13＝± 33，
cos α2＝±
1＋cos α 2 ＝±
1＋2 13＝± 36，
明目标、知重点
tan α2＝±
1－cos α
1＋cos
＝± α
∵α为第四象限角， ∴α2为第二、四象限角. 当α2为第二象限角时，
1－cos
＝ α
sin α
α .
明目标、知重点
探究点二 积化和差与和差化积公式的推导
思考1 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： ①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ 2sin αcos β ； ②sin(α＋β)－sin(α－β)＝ 2cos αsin β ； ③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ 2cos αcos β ； ④cos(α＋β)－cos(α－β)＝ －2sin αsin β .
导引 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2cos(x－θ)成
立时，cos φ＝ a ，sin φ＝ b ，sin θ＝ a ，
a2＋b2
a2＋b2
a2＋b2
cos θ＝ b ，其中 φ、θ 称为辅助角，它的终边所在象限由点 a2＋b2
(a，b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用.