2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)

2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）

1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）

A． B． C．D．

2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）

A．1 B．0 C．﹣1 D．2

3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）

A．﹣1 B．8 C．2 D．2

4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）

A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S2

5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）

A．32 B．36 C．40 D．44

7．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．4

8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E 作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）

A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN

9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）

A．8个 B．10个C．12个D．14个

10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P 从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）

A． B．C．2D．

二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）

11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．12．（6分）如图，圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为．

13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6=．

14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．

15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，

则k=．

16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=．

17．（6分）函数y=2+的最大值为．

18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为．

三、解答题（共2小题，满分42分）

19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）

（1）求k的值；

（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）若S=2，求t的值；

（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．

20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；

（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x的取值．

2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）

1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A． B． C．D．

【解答】解：过A作AE⊥BC，如图所示：

∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC═60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB=1，

∴AE=BE=，

∴内切圆半径为，

∴内切圆面积=π•（）2=；

故选：A．

2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2

【解答】解：，

②×5﹣①得：14y+3z=﹣17④，

②×2﹣③得：5y+2z=﹣7⑤

④×2﹣⑤×3得：13y=﹣13，

解得：y=﹣1，

把y=﹣1代入⑤得：z=﹣1，

把y=﹣1，z=﹣1代入②得：x=2，

则（a，b，c）=（2，﹣1，﹣1），

则a+b+c=2﹣1﹣1=0．

故选：B．

3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）

A．﹣1 B．8 C．2 D．2

【解答】解：

∵圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，

∴4﹣1＞2，故两圆内含，

不妨设截得的弦为AB，切点为C，连接O1A，连接O1O2，O2C，

∵半径确定，

∴弦心距越小，则弦越长，

∵AB是⊙O2的切线，

∴O2C⊥AB，

∴当O1、O2、C在一条线上时，弦AB最短，

由题意可知OC1=2+1=3，AO1=4，

在Rt△ACO1中，由勾股定理可得AC==，

∴AB=2AC=2，

故选：C．