运筹学单纯形法计算步骤

0 1 0 0 1/4 12
0 0 -2 0 1/4
z* 2 2 33 13
X 2 (2, 3, 0,8, 0)T 15
表4：最终单纯形表
c j
CX
B
B
b
2 x1 4
0 3
xx52
4 2
c z
j
j
2 3 0 0 0
xxx
1
2
3
x 4
x5 min
1 0 0 1/4 0
0 0 -2 1/2检验数1<=0
Page 25
单纯形法的计算步骤
构造单纯形表
max Z 6x1 4x2 0 s1 0 s2
s.t.
32xx1123xx22

s1

s2
30 24
x1, x2 , s1, s2 0
cj
CB xB
0
x3
0
x4
σj
0
x3
6
x1
σj
6400
b
x1 x2 x3 x4
—
l al,mk
24/6 5/1
am ,mk
检验数 mk
10
用单纯形表求解例1
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3
8
s.t.
4
x1

4 x2
x4
16
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0

1 0 0 ... 0
a1m1
...
a2m1
...
......
amm1
...
m
cm1 ciai,m1 i 1
第一章 线性规划与单纯形法
4
xn
a1n a2n
amn
m
cn ciain i 1
b

b1

b2


bm


m i 1
cibi

单纯形表
表1：列初始单纯形表
（单位矩阵对应的变量为基变量）
c j
CX
B
B
b
x x x x x 2
3
000
最小的值对应

1
2 的3 行为主4 行 5 min
0
x 3
8
0
x 4
16
1 21 0 0 4 4 0 0 1 0—
0 x 12 5
040
0
13
c z
j
j
2 3 0 主元0化为10
主列单位向量
正检验数中最大者对 应的列为主列 13
第一章 线性规划与单纯形法
11
表1：列初始单纯形表
（单位矩阵对应的变量为基变量）
c j
CX
B
B
b
0
x 3
8
0
x 4
16
0 x 12 5
c z
j
j
230 0 0
xxx x x
1
2
3
4
5
1 21 0 0
400 1 0
040 0 1
2 30 0 0
z0
X 0 (0, 0,8,16,12)T 12
c j
CX
B
B
j m1
b
令：2
x1
1
xj 2
(c
n
jC0Z
j
)
0
xm
0 检验 数
xn min
c1 x1 b '1 Z Z0 j x j
—
cm xm bm'
A jm1
24/6 5/1
z c z
j
求j 0
有时不
检验数
写此项
7
m
m
令：Z0 cibi' 单纯形表 i1
c j
CX
B
B
b
0
x 3
15/2
2
x 1
7/2
1
x 2
3/2
2 1 0 0 0
x 1
x 2
x 3
x 4
x5 min
0 0 1 5/4 -15/2
1 0
0 1
0 0
1/4 -1/4
-31/检/22 验数<=0
c z
j
j
0 0 0 -1/4 -1/2
z* 2 7 1 3 0 15 8.5
a1 j
—
A

24/6 5/1
am j
z c z
j
j0
检验数 求j
8
单纯形表
min
单纯形表结构 i


a
bi'
' imk
a' imk

0


bl' a'
lmk
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b '1

cm xm bm'
z c z
j
j0
1 C0
x2
次迭代计算只要表示出当前的约束方程组 及目标函数即可。
x1

x2

a1m1xm1 ..... a1n xn b1 a2m1xm1 ..... a2n xn b2 ...................................

xm amm1xm1 ..... amn xn bm
A
0 0
xm xn min
a1,mk 主行—

25求/41l/6
am ,mk
检验数 mk
不妨设此
9 为主列
单纯形表
单纯形表结构
主元
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b '1

cm xm bm'
z c z
j
j0
1 C0
x2
A
0 0
xm xn min
a1,mk
x1, x2 0
17
解：化标准型
max z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
5x2 x3
15
s.
t.
6
x1 2x2 x1 x2
x4 24 x5 5

x1, , x5 0
18
表1：列初始单纯形表
（单位矩阵对应的变量为基变量）
Z j ciai'j
i 1
n
Z 单Z纯0 形j表m1(结c j 构 Z j )x j
令：c j (c j Z j ) j
2
x n
b ZCB Z0XB j x j 1
c1
x1j m
1
b
'
1

cm xm bm'
1 检验C0数 0 c j 0
x2 xm xn min
0 1 1/2 -1/8 0
0 0 -3/2 -1/8 0
z* 2 4 3 2 14
X * X 3 (4, 2, 0, 0, 4)T 16
用单纯形表求解LP问题例
max z 2x1 x2

5x2 15
s.t.
6
x1 2x2 x1 x2
24 5
c j
CX
B
B
b
0
x 3
15
0
x 4
24
0x5 5
c z
j
j
210 0 0
xxx x x
1
2
3
4
5
051 0 0
620 1 0
110 0 1
210 0 0
19
表1：列初始单纯形表
（单位矩阵对应的变量为基变量）
c j
2
CX
B
B
b
x 1
0
x 3
15
0
0
x 4
24
6
0
x 5
5
1
c z
j
j
2
正检验数中最大者对 应的列为主列
σj η=48 0 0 0 -2
4 x2 8.4 0 1 0.6 -0.4
6 x1 2.4 1 0 -0.4 0.6
σj
0 0 0 -2
Page 27
单纯形法解的情况
(8,0,14,0)和( 2.4,8.4,0,0)都是最优解。
12
10
C 8
6
(1)
4
2
(2)
D
0
2
4
6
8
10
12
max Z 6x1 4x2
2 1 000
正检验数对应 的列为主列 23
单纯形法的解的情况
单纯形法求解线性规划问题，解的情况也 有四种：
唯一最优解：上面的情况，所有的检验数都小 于等于0，并且非基变量的检验数都小于零
无穷多解 无界解 无解：下界讨论
Page 24
单纯形法的解的情况
例2： max Z 6x1 4x2
1
0最小的0值对应0
的行为主行

xx x
2
3
4
x5 min
5 1 0 0—
2 0 1 0 24/6
1 0 0 1 5/1
主元化为1 主1 列单位0 向量0 0
x 换出 x4
1 换入
20
表2：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
c j
CX
B
B
0
x 3
2
x 1
0
x 5
2 1 00
b xxx x
s.t.
32xx11
3x2 2x2

30 24
x1, x2 0
第一步：转换为标准形式
max Z 6x1 4x2 0 x3 0 x4
2x1 3x2 x3 30
s.t. 3x1 2x2
x4 24

x1, , x4 0
单纯形表结构
c j
C c12 c21 0
已知 C X
B
B
b
x1
x2

c1 x1 b '1

A
cm xm bm'
cm 0 c0 n
xm xn min
— 24/6 5/1
c z
j
j
z0
检验数
5
单纯形表
单纯形表结构
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b '1

cm xm bm'
Ө
30 2 3 1 0 15
24 3 2 0 1 8 6400
14 0 5/3 1 -2/3 8.4
8 1 2/3 0 1/3 12 0 0 0 -2
Page 26
cj
b 6400
CB xB
x1 x2 x3 x4
Ө
0 x3 14 0 5/3 1 -2/3 8.4
6
x1
8
1 2/3 0 1/3 12
c j

z j
z0
基可行解：
X (b1, , bm ,0, ,0)
1 C0
x2
A
0 0
xm xn min
— 24/6 5/1
检验数
6
单纯形表令：Z0

m
cibi'
i 1
m
Z j ciai'j i 1
n
单纯形表结构Z Z0 (c j Z j )x j
唯一最优解：上面的情况，所有的检验数都小 于等于0，并且非基变量的检验数都小于零
无穷多解：所有的检验数都小于等于0，至少 有一个非基变量的检验数为0
无界解 无解：下界讨论
Page 29
单纯形法解的情况
例： max z 36 x1 30 x2 3x3 4x4
s.t.6x1x1x52 x2
Z c1x1 ... cm xm cm1xm1 ... cn xn 0
第一章 线性规划与单纯形法
2
单纯形表
- Z x1基x变2量..X.Bxm
0 1
0 1B

基矩....阵...
0
1
1 c1 c20... cm
xm非基1.变..量. XxNn
x1 换入
正检验数中最大者对
X 1应的(0列,3为,主2,列16, 0)T 14
表3：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
c j
CX
B
B
b
2 x1 2
0 3
xx42
8 3
c z
j
j
2 3 0 0 0
xxx
1
2
3
x 4
x5 min
1 0 1 0 -1/2 —
0 0 -4 1 2 4
x3
x4
5
10
xi 0,i 1,2,3,4
转换为标准形式
max z 36 x1 30 x2 3x3 4x4 0s1 0s2
1
2主元 3
4
15 0*5 0 5 1 0
4 1
2*2/610
2/6 4/6
0 1 /6 0 -1/6
+0*4/6
0
x5 min
0 15/5 0 24/2 1 6/4
c j

z1j-
2/3=0
1/3
0 -1/3 0
检验数>0
最小
确定主行
确定主列 21
表3：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
x5 换出
x2 换入
表2：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
c j
CX
B
B
b
2 3 0 最小0的值对应0
x x x x x 的行为主行
1
2
3
4
5 min
0
x 3
2
1 0 1 0 -1/2 2
0
x 4
16
3 x2 3
c z
j
j
z 33 9
4 0 0 1 04 0 1主主列元单0化位为向1量0 1/4 — 2 0 x30 换出 0 -3/4
a1m1 ...a1n
a2mN1 ...a2n ...非... 基阵
a mm 1 ...a mn cm1 N cn
第一章 线性规划与单纯形法
3
b
b1
b2


bm 0

单纯形表
-Z x1 x2... xm xm1
....


0
1
0 1

.......
0
1
第四节 单纯形法的计算步骤
为书写规范和便于计算，对单纯形法的计算
设计了单纯形表。每一次迭代对应一张单纯形 表，含初始基可行解的单纯形表称为初始单纯 形表，含最优解的单纯形表称为最终单纯形 表。本节介绍用单纯形表计算线性规划问题的步
骤。
第一章 线性规划与单纯形法
1
在单上纯一节形单表纯形法迭代原理中可知，每一
s.t.
32xx11

3x2 2x2

30 24
x1, x2 0
当有一个非基变量的检验数（imp）值为0时， 线性规划问题有多重最优解
任意最优解为λ(8,0,14,0) +(1-λ)( 2.4,8.4,0,0)
Page 28
单纯形法的解的情况
单纯形法求解线性规划问题，解的情况也 有四种：
2
2
2
X * ( 7 , 3 , 15 , 0, 0)T 22 2
22
思考:
一般主列选择正检验数中最大者对应的 列,也可选择其它正检验数的列.以第2列
为主列,用单纯形法求解。
c j
CX
B
B
b
0
x 3
15
0
x 4
24
0
x 5
5
c z
j
j
2 1 000
xxx
1
2
3
x 4
百度文库x 5
0 5 100 6 2 010 1 1 001